2012屆高考數(shù)學(xué)(理)考前60天沖刺【六大解答題】

空間向量與立體幾何專練

1.如圖，棱柱ABCD—ABCD的底面ABCD是邊長為2的菱形,

ZBAD=60*,ACflBD-O,側(cè)棱AA,IBD,AA1=4,棱AA1與

底面所成的角為60?，點(diǎn)F為DC1的中點(diǎn).

(I)證明:0F〃平面BCWB"

(ID求三棱錐Ci-BCD的體積.

2.如圖，在四棱錐P—A8CZ)中，PO_L平面A8CO,四邊形

A6CO是菱形，AC=6,BD=6E是PB上任意一

點(diǎn).

(1)求證：AC1DE；

(2)當(dāng)A4EC面積的最小值是9時(shí)，證明EC,平面PAB.

3.如圖，在四棱錐P-ABCD的底面是邊長為2的正方形，

PD_L平面ABCD,E、F分別是PB、AD的中點(diǎn),PD=2.

(1)求證：BC1PC；

(2)求證：EF//平面PDC；

(3)求三棱錐B—AEF的體積。

4.如圖是某直三棱柱被削去上底后所得幾何體的直觀圖、左視圖、俯視圖，在直觀圖中，M

是BD的中點(diǎn)，左視圖是直角梯形，俯視圖是等腰直角三角形，有關(guān)數(shù)據(jù)如圖所示。

(I)求該幾何體的體積;

俯視圖

5.如圖，AC是圓0的直徑，點(diǎn)B在圓0上，N8AC=30°,6〃J_AC交AC于點(diǎn)M,

EA_L平面ABC,FCEA,AC=4,EA=3,FC=1.

(I)證明：EM±BF；

(II)求平面BEF與平面ABC所成的二面角的余弦值.

B

(第IS題圖)

6.如圖，在底面為直角梯形的四棱錐尸-ABC。中40〃/GZABC=90,平面

ABCD,AD=1,AB=也,BC=4.

⑴求證：BDLPC；

(2)設(shè)點(diǎn)E在棱PC上，PE=APC,若。E〃平面PAB,求幾的值.

AB=EC=2,

AE=BE=0。為AB的中點(diǎn).

(I)求證：EOl^ABCD,

(II)求點(diǎn)。到面AEC的距離.

9.在三棱錐P-46C中，△為C和△詠都是邊長為出的等邊三角形，AB=2,0,〃分別是

AB,陽的中點(diǎn).

(1)求證：①〃平面為C；

(2)求證：P6LL平面48G

(3)求三棱錐一一｛a1的體積.

11如圖所示,三棱柱ABC-AqG中，AB=AC=AAi=2,ABC}_L平面4ACG，

又ZAAtC,=ZBAC,=60°,AC,與A}C相交于點(diǎn)O.

(I)求證：30_L平面AACC1;

(ID求AB1與平面4ACG所成角的正弦值;

12.如圖所示，直角梯形ACOE與等腰直角A4BC所在平面互相垂直，E為BC的中

點(diǎn),ABAC=ZACD=90°,AE//CD,DC=AC=2A￡=2.

(I)求證：平面BCD上平面ABC;

(H)求證：AF〃平面BOE；

(IH)求四面體8—COE的體積.A

13.如圖是某直三棱柱被削去上底后所得幾何體的直觀圖、左視圖、俯視圖，在直觀圖中,

M是BD的中點(diǎn)，左視圖是直角梯形，俯視圖是等腰直角三角形，有關(guān)數(shù)據(jù)如圖所示。

(I)求該幾何體的體積；

(II)求證：EM〃平面ABC；

15.如圖所示，四棱錐P-ABCD,底面ABCD是邊長為2的正方形，PAL面ABCD,PA=2,過點(diǎn)A

作AEJ_PB,AFJ_PC,連接EF.

(1)求證:PCJ■面AEF；

(2)若面AEF交側(cè)棱PD于點(diǎn)G(圖中未標(biāo)出點(diǎn)G)，求多面體P—AEFG的體積。

16.如圖，在三棱錐尸-4BC中，P4_L平面ABC,AC1BC,。為側(cè)棱PC上一點(diǎn)，它的

正(主)視圖和側(cè)(左)視圖如圖所示.

(1)證明：4。_1平面尸8。；

(2)求三棱錐O-A8C的體積；

(3)在乙4c8的平分線上確定一點(diǎn)。，使得P?！ㄆ矫鍭B。，并求此時(shí)P。的長.

17.已知在四棱錐P—A8CO中，底面A6C1。是邊長為4的正方形，APAO是正三角形,

平面PAOJ?平面ABC。，E/,G分別是PD,PC,8c的中點(diǎn).人

(I)求平面EFGX平面PAD；

(H)若M是線段CO上一點(diǎn)，求三棱錐M—ER7的體積./；\\,

18.如圖，在梯形ABC。中，

AB//CD,AD=DC=CB=2,NC48=30°,

四邊形ACFE為矩形，平面ACEE_L平面A8CO,

CF=3.J

(I)求證：平面ACFE；I

(II)設(shè)點(diǎn)用為“中點(diǎn)，/HI

求二面角8—AM—C的余弦值.//

19.如圖，F(xiàn)D垂直于矩形ABCD所在平面，CE〃DF,NDEF=9。＞\

(I)求證：BE〃平面ADF；W

A(第

(II)若矩形ABCD的一個(gè)邊AB=6EF=26，則另一邊BC的長為

何值時(shí)，三棱錐F-BDE的體積為JJ?

21.已知正四棱錐尸一4靦中，底面是邊長為2的正方形,

高為亞.M為線段％的中點(diǎn).

(I)求證：為〃平面物6；

(II)N為｛尸的中點(diǎn)，求0「與平面,儂所成角的正切

AB

（第20題）

22.如圖，已知直四棱柱48。。一41用62,底面46co為菱形，ND48=120。,

E為線段CG的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段BDI的中點(diǎn).------7f

(I)求證：EF〃平面A8CO；

(II)當(dāng)」一的比值為多少時(shí)，OEJ_平面〃E6,

AD

并說明理由.

EFc面面防,?B工DtEB,EFQD,B=F,DF1平面QE8.

23.如圖，棱柱ABC-A^G的側(cè)面BCCB是菱形，必

(1)證明：平面平面4陽；

(2)設(shè)。是4G上的點(diǎn)，且48〃平面夕以，求的值.

B

24.如圖，在四棱錐P—ABCO中，PO,平面A6CO,四邊形A8CO是菱形，AC=6,

BD=6yf3,E是P8上任意一點(diǎn)。

(1)求證：ACIDE；

(2)當(dāng)A4EC面積的最小值是9時(shí)，在線段BC上是否存在點(diǎn)G,使EG與平面P48所

成角的正切值為2?若存在？求IU8G的值，若不存在，請說明理由

25.如圖，在四棱錐P—ABCO中，「。_1平面48。。，四邊形ABC。是菱形，AC=6,

BD=673,E是P8上任意一點(diǎn)。

(1)求證：ACIDE；

(2)當(dāng)A4EC面積的最小值是9時(shí)，在線段BC上是否存在點(diǎn)G,使EG與平面848所

成角的正切值為2?若存在？求出BG的值，若不存在，請說明理由

如圖：在矩形力式》中，48=5,BC=3,沿對角線加把△4?〃折起，使力移到4點(diǎn)，過

點(diǎn)4作40，平面BCD,垂足。恰好落在CD上.

(1)求證：BCLAQ

(2)求直線46與平面6曲所成角的正弦值.

27.如圖的幾何體中，48_1平面4?！?gt;,OE_L平面AC。，△ACO為等邊三角形,

AD=DE=2AB=2，尸為CO的中點(diǎn).

(1)求證：〃平面8CE；

(2)求證：平面8CE_L平面COE.

28一個(gè)空間幾何體的三視圖及部分?jǐn)?shù)據(jù)如圖所示.

正(主制圖惻左)視圖

4(O|------------------43)

曾提留

(1)請畫出該幾何體的直觀圖，并求它的體積；

(2)證明:4c，平面464；

(3)若〃是棱S的中點(diǎn)，在棱48上取中點(diǎn)￡,判斷"是否平行于平面/臺G,并證明

你的結(jié)論.

29.一個(gè)空間幾何體的三視圖及部分?jǐn)?shù)據(jù)如圖所示.

73

444)

8(1C)I--------------------------18g)C(CJ|1\

正(主海圖儡(左)視圖

-----------"阿

?'----------

帕視圖

(1)請畫出該幾何體的直觀圖，并求它的體積；

(2)證明：4a平面484；

(3)若〃是棱制的中點(diǎn)，在棱四上取中點(diǎn)E,判斷應(yīng)是否平行于平面ARG,并證明

你的結(jié)論.

30.如圖，已知矩形ACE尸的邊CE與正方形A8CO所在平面垂直，AB=C,A尸=1,

M是線段ER的中點(diǎn)。

(1)求異面直線CM與直線AB所成的角的大小;

(2)求多面體EFABCD的表面積。

31如圖，四棱錐。-屈笫中，用_L底面465被1”，點(diǎn)E在線段4。上，且CE〃AB。

(1)求證：CE_L平面為。；

(2)若為=1氏1,/分3,CD=五,/如=45°,求四棱錐尸T%的體

積

32.如下圖(圖1)等腰梯形PBCD,A為PD上一點(diǎn)，且ABLPD,AB=BC,

AD=2BC,霜AB折唇使得二面角P-AB-D為60°的二面角，連結(jié)PC,

PD,在AD上取一點(diǎn)E使得3AE=ED,連結(jié)PE得到如下圖(圖2)的一個(gè)幾何體.

(1)求證:平面PAB_L平面PCD；

(2)求PE與平面PBC所成角的正弦值.

33.如圖，在直三棱柱ABC-A14G中，ZBAC=90°,AC=AB=AAi,E是BC的

中點(diǎn).

(I)求異面直線AE與AC所成的角；

(H)若G為G。上一點(diǎn)，且EGLAC，求二面角4—AG—E的大

小.

解法一：

(I).?.異面直線AE與所成的角為

(II).,.所求二面角4一AG-E為萬一arctanj^.

34.如圖，在四棱錐P-ABCT)中，平面A8CO,四邊形ABC。是菱形，AC=6,

8。=66，E是PB上任意一點(diǎn)。

(1)求證：ACIDE；

(2)當(dāng)A4EC面積的最小值是9時(shí)，在線段BC上是否存在點(diǎn)G,使EG與平面所

成角的正切值為2?若存在？求出8G的值，若不存在，請說明理由

35.如圖，PAJ_平面ABCD,ABCD是矩

形，PA=AB=1,AZ)=6,點(diǎn)F是PB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在邊BC

上移動。

⑴求三棱錐E-PAD的體積；

⑵當(dāng)E點(diǎn)為BC的中點(diǎn)時(shí)，試判斷EF與平面PAC的

位置關(guān)系，并說明理由；

⑶證明：無論點(diǎn)E在邊BC的何處，都有PEJ_AF。

36.(本小題滿分12分)

如圖，在四棱錐P-ABCD'P,平面PAD上平面ABCD,AB//DC,Z\PAD是等邊三角形,

已知BD=2AD=8,AB=2DC=4也。

(I)設(shè)M是PC上的一點(diǎn)，證明：平面MBD,平面PAD；

(II)求三棱錐C—PAB的體積

答案

】如圖,棱柱ABCD—ABC仙的底面ABCD是邊長為2的菱形，ZBAD=60%ACDBD-。,

側(cè)棱AAiJLBD,AA,=4,棱AA1與底面所成的角為60?，點(diǎn)F為1)3的中點(diǎn).

(I)證明:0F〃平面BCGB*

(H)求三棱錐Ci-BCD的體積.

解：(I)?.?四邊形ABCD為菱形且AC口8。=0，

.,?。是8。的中點(diǎn).....................2分

又點(diǎn)尸為OG的中點(diǎn)，???在ADBC,中，

OF//BQ........................................4分

???0/2平面BCC\B\,8GU平面

BCCR,：.OFImBCCXBX.

(H)：四邊形ABCD為菱形，

ABDLAC,又

A4nAe=A,且A4”4Cu平面,

80_L平面ACGA,

BDu平面ABCD,

平面ABCD±平面ACC}At.

分

在平面AC］內(nèi)過A1作AM，4。于〃，貝I」4MJ_平面ABC。，

ZAtAM是AtA與底面所成的角

N4AM=60".10分

在放AA4附中，4M=4A?sin60°=2G,

故三棱錐G-BCD底面6C。上的高為26，又SMB=gBC-CO-sin6(r=G，

所以，三棱錐G-BCO的體積V=gSABCD?〃=；6,26=2..

2.如圖，在四棱錐P-4BCO中，PD_L平面ABC。，四邊形A8CO是菱形，AC=6,

BD=6y/3,E是PB上任意一點(diǎn).

(1)求證：ACIDE；

(2)當(dāng)AAEC面積的最小值是9時(shí)，證明EC,平面P46.久

.解(1)證明：連接BD,設(shè)AC與8。相交于點(diǎn)尸。因

為四邊形48co是菱形，

所以AC，8。。又因?yàn)槭1平面ABC。，ACu平4

面PD8

E為PB上任意一點(diǎn),OEu平面P8O,所以AC_LOE-

(2)連ED.由(I),知ACJ_平面尸DB,EFu平面PBD,所以ACJ.EF.

S^CE=gaC-ER，在MCE面積最小時(shí)，EF最小，則EF_LPB.

S^CE=9,；X6XEF=9,解得E/=3-------------------10分

由P8，￡尸且尸8J.AC得P8_L平面AEC,則PB1EC,

又由EP=4/=尸。=3得EC_LAE,而P8nAE=E,故EC_L平面P46—

3.如圖，在四棱錐P-ABCD的底面是邊長為2的正方形，

PD_L平面ABCD,E、F分別是PB、AD的中點(diǎn),PD=2.

(1)求證：BCJLPC；

(2)求證:EF〃平面PDC；

(3)求三棱錐B—AEF的體積。

解證：(I)：四邊形ABCD是正方形

ABC1DC

又PD_L面ABCD,BCc面ABCD

ABCIPD,又PDcDC=D

.?.BC_L而PDC從而BC_LPC--------------------4分

(II)取PC的中點(diǎn)G,連結(jié)EG,GD,則EG〃,5C,所以GE//DF.

=2=

...四邊形EFGD是平行四邊形。.-.EF//GD,

又EF(Z平面PDC,DGu平面POC

，EF〃平面PDC...............8分

(III)取BD中點(diǎn)0,連接E0,則E0〃PD,

???PD_L平面ABCD,??.E0_L底面ABCD,EO=1

=2

y^o--Ar\EL.Fi=VLE-_ABF3~^r\AijiBF，"=~3~-2?1=-3------------12分

4.如圖是某直三棱柱被削去上底后所得幾何體的直觀圖、左視圖、俯視圖，在直觀圖中，M

是BD的中點(diǎn)，左視圖是直角梯形，俯視圖是等腰直角三角形，有關(guān)數(shù)據(jù)如圖所示。

(I)求該幾何體的體積；

(II)求證：EM〃平面ABC；

(I)*?EA_L平面ABC,AEA±AB,又AB±AC,:.AB1平面ACDE

四棱錐B-ACDE的高%=A3=2,又梯形ACDE的面積S=6

V=-Sh=4

EACDSq??????????????6分

(H)取BC的中點(diǎn)G,連結(jié)EM,MG,AG.

VM為BD的中點(diǎn)，，MG〃CD且MG=^CD,于是MG〃AE,且MG=AE,

所以四邊形AGME為平行四邊形，；.EM〃AG,...EM〃平面ABC

5.如圖，AC是圓0的直徑，點(diǎn)B在圓0上，N8AC=30°,8MLAC交AC于點(diǎn)M,

胡，平面ABC,FCEA,AC=4,EA=3,FC=1.

(I)證明：EM±BF；

(ID求平面BEF與平面ABC所成的二面角的余弦值.

B

(第一題圖)

19.(1)平面4BC,B&fu平面/BC,?

又???BA/J./C,EAr^AC=A,"

,5”一平面ACFE

而E.V二平面ACFE

???HC是圓。的直徑，二NABC=90'.“

又???/■&4c=30。，4C=4,?

=BC=2,AAf=3,CM=l."

v￡4±￥ffiABC,FC//EA,—

二FC_平面曲?D.

.-.SE.4M與AFCA/都是等腰直角三角形.B"

Z￡J￡4-ZFA/C=45e.

ZEMF=90°,即EM，MF(也可由勾股定理證得).

???MFcBM=M,EM1平面MBF.

而BFu平面MBF,

EMLBF.........................................................................................................................................................6分

(2)延長E尸交AC于G,連BG,過C作C/7L8G,連結(jié)尸H.

由(1)知FC_L平面ABC,8Gu平面A8C,

FC工BG.

而FCcCH=C,BG±平面FCH.

?：FHu平面FCH,

/.FHLBG,

ZFHC為平面BEF與平面ABC所成的

二面角的平面角.................8分

在放AA8c中，VZBAC=30°,AC=4,

3M=AB-sin3()°=G

由/=￡￡=]_,得GC=2.

EAGA3

Q3G=jBXf-J/G:=2赤.

又QAGCH-AG3.U,

，”，則加空也分

BGBMBG2V3

.?.△FC"是等腰直角三角形，NFHC=45°.

,平面BEF與平面ABC所成的銳二面角的余弦值為72?

V

6.如圖，在底面為直角梯形的四棱錐P-A8CO中AO〃方C,ZABC=9(),平面

ABCD,AD=1,AB=BBC=4.

⑴求證：BD上PC；

(2)設(shè)點(diǎn)E在棱PC上，PE=APC,若OE〃平面PA6,求人的值.

(1)證明：由題意知。C=20，則BC2=D32+OC2r.BOIOC

vPD±ffiJ?CD,：.,BDLPDPD[}CD=D

BD1面AQitf內(nèi)jPCPDCBD1PC.---------------------6分

(2)過。作OF//48交BC于歹連結(jié)ER,

AB,/〃平面P4B.

又：DE〃平面PA8,...平面力〃平面P48,E/〃A3.

又；AD=1,BC=4,BF=1,

pE8F111

---=

PC7C4-4-4-

7.圖，棱柱ABCD—ABCD的底面ABCD是邊長為2的菱形，NBAD=6(T,ACDBD-。，

側(cè)棱A&JLBD,AA|=4,棱AA1與底面所成的角為60,，點(diǎn)F為DJ的中點(diǎn).

(I)證明：0F〃平面BCGB*

(II)求三棱錐Ci-BCD的體積.

解：(I)?.?四邊形ABCD為菱形且4CnBO=O,

二。是8。的中點(diǎn).....................................2分

又點(diǎn)為OC|的中點(diǎn)在kDBC\中

OF//BC....................................4分

???OFZ平面BCCR,BQu平面

BCCR,：.OF〃平面5CC.fi,...................6分

(II)?.?四邊形ABCD為菱形,

BDVAC,又

A4nAe=4且平面ACC14,

BOJ_平面ACG4，

???80u平面ABC。,

平面ABCDJ_平面ACC{A{.

分

在平面AG內(nèi)過A作A.M±AC于朋，則A.M±平面A8CD,

ZA}AM是4A與底面所成的角

NRAM=60°............................................................10分

在放AA4附中，4河=4A?sin600=273，

故三棱錐G-8。底面6。上的高為26'又九0='。。種6。。=6'

所以，三棱錐「的體積]]

C「BRCmDV=3D.*g/=2.

8.已知四棱錐E—A8C0的底面為菱形，且NABC=60°,AB=EC=2,

AE=BE=母,。為AB的中點(diǎn).

(I)求證：EO±￥ffiABCD；

(II)求點(diǎn)。到面AEC的距離.

(D證明：連接C。

QAE=EB=&AB=2

:VAEB為等腰直角三角形

Q。為A8的中點(diǎn)

EO1AB,￡0=1..............................2分

又QAB=BC,N4BC=60°

.?VAC8是等邊三角形

C0—上>....................4分

又EC=2,

EC2^E02+CO2,即.?.EOLC。

EO1平面ABCD..............................6分

(II)設(shè)點(diǎn)。到面AEC的距離為h

QAE=0,AC=EC=2S?AEC=^-..............8分

QSwc=V3,E到面ACB的距離EO=1

Q^D-AEC=^E-ADC

SvAEC'h=SyADC'E°............................................1°分

2后

.?.點(diǎn)D到面AEC的距離為名包

7

9.在三棱錐夕一/1加7中，△為C和△陽。都是邊長為出的等邊三角形，AB=2,0,〃分別是

AB,陽的中點(diǎn).

(1)求證：①〃平面必。；

(2)求證：A?_L平面/8C；

(3)求三棱錐產(chǎn)一/比1的體積.

(1)?.?0,。分別為45,/58的中點(diǎn)，,。￡)〃凡4

又P4u平面PAC,平面PAC

...。?！ㄆ矫鍼AC..................................4分

(2)如圖，連結(jié)0C

?：AC=CB=42,。為AB中點(diǎn)，AB=2,

：.OCLAB,OC=1.

同理，POLAB,PO=1.....................6分

又PC=PC2=OC2+P02=2,：.4Poe=90，

APOLOC.PO1OC,PO1AB,ABC\OC=O,

.?.尸。J_平面ABC..............................................................................................8分

(3)由(2)可知。尸垂直平面ABC

二。尸為三棱錐P—ABC的高，且0P=l

V=—5ABC?OP=—x—x2xlxl=—.

rp-/AIHDC3323

11如圖所示,三棱柱ABC—A4G中，AB=AC=A\=2,ABC,_L平面4ACG，

又ZAA,C,=ZBAC,=60°,AC,與A,C相交于點(diǎn)。.

(I)求證:80_L平面A,ACC,;

(II)求AB,與平面A,ACC,所成角的正弦值；

【解】(I)由題知AC=A4=2,ZA4￡=60°,

所以AA4G為正三角形,所以AC,=2,.....................1分

又因?yàn)锳8=2,且NBAC|=60。

所以AB4G為正三角形，..............................2分

又平行四邊形AACG的對角線相交于點(diǎn)O,所以。為A&的中點(diǎn)，

所以8。LAG.....................................3分

又平面ABC,，平面AACG，且平面ABG0平面AtACCt=AC,,.............4分

且8。u平面氏4G............................................5分

所以BOJ_平面-ACG....................................6分

(IDK解法一》連結(jié)48交于E,取A0中點(diǎn)/，連結(jié)EF,AF,

則EF8。，又BO_L平面A/CG

所以EF_L平面A,ACC,,EF1AF,......7分

所以直線AB,與平面AtACC,所成角為NEAF..............8分

而在等邊A84cl中，A3=2,所以80=6,EF=與,

同理可知，A0=6,A、F=心~，

2

7

222

在AAA/中，AF=AA,+AtF-2AA,-A,Feos30*=-.....................]0分

所以RfAEFA中，AE=ylEF2+AF2=—,sinZfAF=—=—.

2AE10

所以A片與平面4ACC1所成角的正弦值為.........12分

k解法二R由于6月CG,BB0平面A.ACC,,所以BB1平面A,ACC,,……7分

所以點(diǎn)B,到平面AACG的距離即點(diǎn)B到平面4ACG的距離，

由8。平面HACC]，所以用到平面AACG的距離即80,........................8分

也所以與平面AACG所成角的正弦值為sina=-,........................9分

而在等邊AB4G中，A8=2,所以20=百,

同理可知，4。=6=。。，所以8。=/3。2+。。2=瓜B|G="...........10分

又易證0G±平面氏4。，所以O(shè)C，8C,

也所以oc_LB|G，AB、=[BC；+AC；=Vio11分

/.BO73V30

所以sine=——=-7==--

ABtW10

即A片與平面44CG所成角的正弦值為嚕.

12.如圖所示，直角梯形ACOE與等腰直角AA6C所在平面互相垂直，E為8c的中

點(diǎn)，ABAC=ZACD=90°,AE//CD,OC=AC=2A￡=2.

(I)求證：平面8co工平面ABC;

(II)求證：Ab〃平面BOE；n

(m)求四面體B-COE的體積.

解：（I）?.?面ABC_1面4。。后，面A8cn面ACOE=AC,CD1AC,

面ABC,.........................2分

又VDCu面BCD,；.平面BCO_L平面ABC................4分

（H）取BO的中點(diǎn)尸，連結(jié)EP、FP,則EPJL-DC,

2

又?；EAJLLDC,；.EAJLFP,...........................................6分

2

四邊形AFPE是平行四邊形，；.AF//EP,

又YEPu面BOE且A/7?面BOE,/〃面BOE.……8分

（皿）：胡，AC,面ABCCl面ACOE=AC,：.BAl^ACDE.

區(qū)4就是四面體B-COE的高，且區(qū)4=2..........................10分

VDC=AC=2AE=2,AE//DC,

??S梯形ACDE=5（1+2）X2=3,SMCE=—

14

:.S&CDF=3-1=2,7:.Vpft—CDF=-3x2x2=—3.

13.如圖是某直三棱柱被削去上底后所得幾何體的直觀圖、左視圖、俯視圖，在直觀圖中,

M是BD的中點(diǎn)，左視圖是直角梯形，俯視圖是等腰直角三角形，有關(guān)數(shù)據(jù)如圖所示。

(I)求該幾何體的體積；

(II)求證:EM〃平面ABC；

（I）：EAJ_平面ABC,EA1AB,又AB1AC,:.AB_L平面ACDE

..?四棱錐B-ACDE的高方==2,又梯形ACDE的面積S=6

??^B-ACDS=—Sh=A............6分

(11)取日。的中點(diǎn)6,連結(jié)EM,MG,AG.

為BD的中點(diǎn)，；.MG〃CD且MG=-CD,于是MG〃AE,且MG=AE,

所以四邊形AGME為平行四邊形，；.EM〃AG,；.EM〃平面ABC.19.(本小題滿分12分)

如圖，在四棱錐P—ABCD中，PA_L平面ABCD,底面ABCD是菱形，

A6=2,NBA。=600⑴求證：平面尸⑶；

(II)若PA=A5,求P8與AC所成角的余弦值;

(III)當(dāng)平面P8C與平面POC垂直時(shí)，求PA的長.

P

證明：(I)因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形，所以AC_LBD.

又因?yàn)镻A_L平面ABCD.所以PALBD.所以BDJ_平面PAC.

(II)設(shè)ACCBD=0.因?yàn)?BAD=60°,PA=PB=2,所以B0=l,A0=C0=5

如圖，以0為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系0—xyz,則

P(0,—52),A(0,—50),B(1,0,0),C(0,60).

所以麗=(1,43-2),AC=(0,273,0).

PBAC6y/6

cos3

~PB\AC2行x2a-4

設(shè)PB與AC所成角為6,則III

(III)由(II)知BC=(T,),0).設(shè)p(°,一百t)(t>0),則8尸=(-1,-瘋f)

設(shè)平面PBC的法向量加=",%z),則BC-m=Q,BP-m=0

-x+3y[y=0,

6(3,的

所以[_工_6/+泛_0令,=6,則x——.m=

t所以

rt=(-3,V3,-)

同理，平面PDC的法向量t

u36

-6+—二0

解得，=6所以PA="

因?yàn)槠矫鍼CBJ_平面PDC,所以憶.〃=(),即

(II)1+?a+%=13,「?瓦----卜練=100-(以1+%+生)=87，...6分

,.啜列儀｝是等差數(shù)列…..設(shè)數(shù)列僅｝公差為d，則得，4+%+-+&=6囪+15^

6瓦+15d=87,\,瓦=々=27,:.d=-5...8分句=32—5%…10分

0]+/+/+々+四+四+瓦_(dá)次+公__..一八

(111)//=---------------——-=0.91,(或"=----=0.91)...11分

100100

答:估計(jì)該校新生近視率為91%..........................12分

20.(本小題滿分12分)一個(gè)四棱錐S-月ECO的底面是邊長為乙的正方形，

支SA=a,SB=SD=&a。(1戌證:￡4,平面超CO；

(2)若SC為四棱錐中最長的側(cè)棱，點(diǎn)后為的中點(diǎn).

求直線SE.與平面SAC所成角的正弦值。

(1)證明：平面月8C3,

■：SA=a,SB=42a,SD=^/2a

：.弱_L弱_L⑷?，「._L平面期CO.

⑵解：作EF_LAC交于F,連接SF,易證EF_LSA:.EF，平面SAC(8分)

/.ZESF是直線SE.與平面SAC所成角.

EF^-BD^—aSE=—a(10分)sinZESF=—^

442SE10

15.如圖所示,四棱錐P-ABCD,底面ABCD是邊長為2的正方形,PAL面ABCD,PA=2,過點(diǎn)A

作AE_LPB,AF_LPC,連接EF.

(1)求證：PCJ_面AEF；

(2)若面AEF交側(cè)棱PD于點(diǎn)G(圖中未標(biāo)出點(diǎn)G)，求多面體P—AEFG的體積。

解析:(1)證明：?.?PA_L面ABCD,BC在面內(nèi)，...PA_LBCBA±BC,BCnBA=B,/.BC±?PAB,

又；AE在面PAB內(nèi)，BC±AEvAE±PB,BCAPB=B,,，AE_L面PBCXVPC在面PBC內(nèi)

?/AE1PC,vAE±PC,AEnAF=A,.,.PC±ffiAEF..5分

(2)PCJ_面AEF,；.AGJ_PC,vAGlDCAPCnDC=CAG_L面PDC,：GF在面PDC內(nèi)

.?.AG_LGF:Z\AGF是直角三角形，由⑴可知AAEF是直角三角形,

AE=AG=V2,EF=GF=——/.S~~>S.=~~又

33/Ctofr3

Ap2V6p2732百12V32734

AF-—-，PF———??S*,^P-AEFG—X--------X--------=—

AEFC亍3339

16.如圖，在三棱錐P-48C中，PA_L平面48C,AC1BC,。為側(cè)棱PC上一點(diǎn)，它的

正(主)視圖和側(cè)(左)視圖如圖所示.

(1)證明：4。_1平面28。；

(2)求三棱錐O-A8C的體積；

(3)在NAC8的平分線上確定一點(diǎn)。，使得P。〃平面480,并求此時(shí)PQ的長.

18.

解：(1)因?yàn)镻AJL平面48C,所以PA_L8C,

又ACJ.BC,所以BC1.平面PAC,所以BC_LA￡>.

由三視圖可得，在AP4C中，PA=AC=4,。為PC中點(diǎn)，所以4OJLPC,

所以平面PBC,...............4分

(2)由三視圖可得8c=4,

由⑴知￡4￡>C=90。，BC_L平面PAC,

又三棱錐D-ABC的體枳即為三棱錐B-ADC的體積，

所以，所求三棱錐的體積V=LL4x,x4x4=3................8分

3223

(3)取AB的中點(diǎn)。，連接C。并延長至。，使得CQ=2C0,點(diǎn)。即為所求.

p

D

A------3---V

Q--------------B

因?yàn)?。為C。中點(diǎn)，所以PQ〃O￡),

因?yàn)镻Q<Z平面A8。，OOu平面AB。，所以P?！ㄆ矫媪C,

連接4。，BQ,四邊形AC8。的對角線互相平分，

所以ACBQ為平行四邊形，所以AQ=4,又PAL平面A8C,

所以在直角\PAD中，PQ=yjAP2+AQ2=472.12分

17.已知在四棱錐P—A8CO中，底面A6CO是邊長為4的正方形，APAO是正三角形,

平面PAO，平面ABC。，E,F,G分別是PD,PC,BC的中點(diǎn).

(I)求平面EFG，平面PAO；

(H)若M是線段CO上一點(diǎn)，求三棱錐M—EFG的體積.一

(I)證明：-：AD1CD,PD1CD,

：.CD1平面PAD,

?.?明/以，EF_L平面PAD,

,?EFu平面EFG,：.平面平面PAD-,

(11)解：：CD//EF,：.⑺//平面EFG,故切上的點(diǎn)“到平

面的距離

V

等于〃到平面跖。的距離，...VMEFG=DEFG'

SAFFC——xEFxEH=2,平面￡7切_1_平面PAD于EH,

."至lj平面夕外的距離即三角形反0的高,等于百

18.如圖，在梯形ABCO中，

AB//CD,AD=DC=CB=2,NC48=30°,

四邊形ACFE為矩形，平面ACFE1平面ABCD,

CF=3.

(I)求證：BCJ_平面ACFE；

(II)設(shè)點(diǎn)M為EF中點(diǎn)，

求二面角8—AM-。的余弦值.

(1)證明：AD=DC=CB=2,ZABC=60°

則AB=4,AC2=12,則得AB2=AC~+8C

:.BCLAC,???面ACEfJ?平面ABC。,

面ACEfCl平面ABCD=AC

BC_L平面面CEF.

(ID過C作C"，交AM于點(diǎn)H,連BH,

則NC7/B為二眄角的平面角，在RTMHC中,CH=3,HB=A,

cosNCHB=豆叵，則二面甭6—AM—C的余弦值為主叵.

1313

19.如圖，F(xiàn)D垂直于矩形ABCD所在平面，CE〃DF,