2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷

注意事項(xiàng)

1.考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回.

2.答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫(xiě)在試卷及答題卡的規(guī)定位置.

3.請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符.

4.作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他

答案.作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無(wú)效.

5.如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫(xiě)清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗.

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

22

1.設(shè)點(diǎn)P是橢圓T+寧=Ka>2)上的一點(diǎn)，耳鳥(niǎo)是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，若花國(guó)=46,則|P用+忸可=()

A.4B.8C.4夜D.477

2.高三珠海一模中，經(jīng)抽樣分析，全市理科數(shù)學(xué)成績(jī)X近似服從正態(tài)分布N(85,且尸(60<X<85)=0.3.從

中隨機(jī)抽取參加此次考試的學(xué)生500名，估計(jì)理科數(shù)學(xué)成績(jī)不低于110分的學(xué)生人數(shù)約為()

A.40B.60C.80D.100

x/(x.)/(x)

3.已知函數(shù)f(x)=eJ-or,%￡(0,+oo),當(dāng)元2>不時(shí)，不等式一^〈一2^2恒成立，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為()

XX2X

A.(-oo,e]B.(-oo,e)C.(一D.卜GO，'|

4.已知等差數(shù)列｛4｝滿足q=2,公差d#0,且4,4，%成等比數(shù)列，則4=

A.1B.2C.3D.4

5.已知復(fù)數(shù)二滿足>z=3+2i(i是虛數(shù)單位)，則[=()

A.2+3iB.2—3/C.—2+3iD.—2—3i

6.若(l-2x)"的二項(xiàng)展開(kāi)式中/的系數(shù)是4(),則正整數(shù)〃的值為()

A.4B.5C.6D.7

7.若函數(shù)=滿足=且0<a<。，則”二匕3的最小值是()

4a+2b

A.0B.1C.-D.272

2

8.a〃a,〃〃/,a//夕，則。與。位置關(guān)系是()

A.平行B.異面

C.相交D.平行或異面或相交

9.已知復(fù)數(shù)二滿足，=1+"貝!I忖的值為（）

Z

1l八五

A.-B.V2C.—D.2

2?2

22

io.已知雙曲線。：二-齊=1（。＞0力＞0）的左，右焦點(diǎn)分別為片，工，o為坐標(biāo)原點(diǎn)，P為雙曲線在第一象限上

的點(diǎn)，直線PO,2入分別交雙曲線C的左，右支于另一點(diǎn)M,N,若忸4=3|0閭，且居N=6（）,則雙曲線的

離心率為（）

A.立B.3C.2D.—

22

11.半徑為2的球。內(nèi)有一個(gè)內(nèi)接正三棱柱，則正三棱柱的側(cè)面積的最大值為（）

A.9GB.12百C.\6垂）D.186

12.AABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為已知a+2c=2Z?cosA,則角B的大小為（）

2萬(wàn)4幾_re454

A.—B?—C.—D.—

3366

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

17

13.已知點(diǎn)尸是拋物線y=2/的焦點(diǎn)，M,N是該拋物線上的兩點(diǎn)，若|M/q+|NEb—,則線段MN中點(diǎn)的縱

4

坐標(biāo)為.

14.已知同=2,忖=6,a,5的夾角為30。，（a+2b）//（2a+Ab）,貝?。菸?初?僅-5）=.

15.已知角二+9的終邊過(guò)點(diǎn)尸（一1,一2&）,貝（jsina=.

6

16.已知等差數(shù)列｛a,,｝的前〃項(xiàng)和為S“，4=9,—=一4,則為=.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.（12分）已知拋物線E：V=2px（p＞0）,焦點(diǎn)尸到準(zhǔn)線的距離為3,拋物線E上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)A（口，口）和8（孫,

了2）,其中且Xl+X2=l.線段AB的垂直平分線與X軸交于點(diǎn)C.

（1）求拋物線E的方程；

（2）求A48c面積的最大值.

18.（12分）已知函數(shù)"x）=ln（x+l）+q3,其中。為實(shí)常數(shù).

（1）若存在心〃拒-1,使得“X）在區(qū)間（根,〃）內(nèi)單調(diào)遞減，求。的取值范圍;

（2）當(dāng)。=0時(shí)，設(shè)直線y=依-1與函數(shù)y=的圖象相交于不同的兩點(diǎn)A（%，x）,B（x2,y2）,證明：

C2

+4+2>%?

19.（12分）已知數(shù)列｛4｝和｛〃,｝滿足，4=2,瓦=1,a“+]=2a“（〃eN*）,

b.H—b,H—仇+…H—b—b.—\（nGN）.

123nv）

（I）求a“與b”；

—，〃為奇數(shù)，

,、bbq

（II）記數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為7；,且q,="J?,若對(duì)〃eN*,（“2（&恒成立，求正整數(shù)Z的值.

-」,〃為偶數(shù)，

I/

Y~V~1

20.（12分）已知橢圓E：=+4=1的離心率為一，左、右頂點(diǎn)分別為A、B,過(guò)左焦點(diǎn)的直線/交橢圓E于C、

ab~2

。兩點(diǎn)（異于A、B兩點(diǎn)）,當(dāng)直線/垂直于x軸時(shí)，四邊形ABC。的面積為1.

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)直線AC、BD的交點(diǎn)為Q;試問(wèn)。的橫坐標(biāo)是否為定值？若是，求出定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

x=2A/3+at

21.（12分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線/的的參數(shù)方程為「（其中，為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)。為極

y=4+>/3f

點(diǎn)，X軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的極坐標(biāo)為（2,直線/經(jīng)過(guò)點(diǎn)A.曲線C的極坐標(biāo)方程為

psin2^=4cos^.

（1）求直線/的普通方程與曲線。的直角坐標(biāo)方程；

（2）過(guò)點(diǎn)P（百,0）作直線/的垂線交曲線C于。,E兩點(diǎn)（。在x軸上方），求血一向的值.

22.（10分）已知函數(shù)/（x）=〃/_2〃x+21nx.

（1）若曲線y=/（x）在（1,/（1））處的切線為y=2x+4,試求實(shí)數(shù)。，匕的值；

（2）當(dāng)6=1時(shí)，若y=/（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)玉，/，且玉<々，?>|?若不等式/（內(nèi)）2相士恒成立，試求實(shí)數(shù)所

的取值范圍.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.B

【解析】

?.?山閭=4g

??[￡閭=2c=46

,c—2-\/3

Vc2-a2-b2>b2=4

,a=4

.?.附|+|%=2a=8

故選B

點(diǎn)睛：本題主要考查利用橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)及橢圓的定義.求解與橢圓性質(zhì)有關(guān)的問(wèn)題時(shí)要結(jié)合圖形進(jìn)行分析，既使不

畫(huà)出圖形，思考時(shí)也要聯(lián)想到圖形，當(dāng)涉及頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、長(zhǎng)軸、短軸等橢圓的基本量時(shí)，要理清它們之間的關(guān)系，挖

掘出它們之間的內(nèi)在聯(lián)系.

2.D

【解析】

由正態(tài)分布的性質(zhì)，根據(jù)題意，得到P(XN110)=P(X<60),求出概率，再由題中數(shù)據(jù)，即可求出結(jié)果.

【詳解】

由題意，成績(jī)X近似服從正態(tài)分布N(85,<T2),

則正態(tài)分布曲線的對(duì)稱軸為x=85,

根據(jù)正態(tài)分布曲線的對(duì)稱性，求得尸(X2110)=P(X460)=0.5-0.3=0.2,

所以該市某校有50()人中，估計(jì)該校數(shù)學(xué)成績(jī)不低于110分的人數(shù)為500x0.2=100人，

故選:。.

【點(diǎn)睛】

本題考查正態(tài)分布的圖象和性質(zhì)，考查學(xué)生分析問(wèn)題的能力，難度容易.

3.D

【解析】

f(x}f(x.}

由.<二一二^變形可得尢］/(芭)<%2/(%2)，可知函數(shù)g(X)=4(X)在XW(O，+°°)為增函數(shù)，由

X2%

g'(x)="-2ax20恒成立，求解參數(shù)即可求得取值范圍.

【詳解】

???XG(0,+8),

「?Xl/(X1)<(工2)，即函數(shù)g(x)=V(^)=，一以2在X￡(0,+oo)時(shí)是單調(diào)增函數(shù).

貝!Jg'(x)=ex-2ax20恒成立.

.ex

2。4—?

x

令m(x)=幺，貝!1in(x)=――

xx

x￡(0』)時(shí)，加(x)<0,m(x)單調(diào)遞減,xe(1,+8)時(shí)加(x)>0,m(x)單調(diào)遞增.

2a</〃(x)min=rn(l)=e,...aW彳

故選:D.

【點(diǎn)睛】

本題考查構(gòu)造函數(shù),借助單調(diào)性定義判斷新函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，考查恒成立時(shí)求解參數(shù)問(wèn)題,考查學(xué)生的分析問(wèn)題的能力

和計(jì)算求解的能力，難度較難.

4.D

【解析】

先用公差d表示出生，%，結(jié)合等比數(shù)列求出d.

【詳解】

々=2+",%=2+4火因?yàn)?,%,生成等比數(shù)列，所以(2+4)2=2(2+44),解得"=4.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式.屬于簡(jiǎn)單題，化歸基本量，尋求等量關(guān)系是求解的關(guān)鍵.

5.A

【解析】

把已知等式變形，再由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)得答案.

【詳解】

解：由i?z=3+2z,得/=----=------z----=2—3/9

i-i

?=z=2+3/.

故選A.

【點(diǎn)睛】

本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題.

6.B

【解析】

先化簡(jiǎn)(1-2力”的二項(xiàng)展開(kāi)式中第廠+1項(xiàng)2。，然后直接求解即可

【詳解】

(1—2司”的二項(xiàng)展開(kāi)式中第r+1項(xiàng)加=C〉L-(—2x)'.令r=2,則7；=(-，；?4C；=40,二〃=T

(舍)或”=5.

【點(diǎn)睛】

本題考查二項(xiàng)展開(kāi)式問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題

7.A

【解析】

由/(a)=/(。)推導(dǎo)出5=’,且0<。<1,將所求代數(shù)式變形為4“一+1-4=犯蟲(chóng)一_利用基本不等式

求得2a+Z?的取值范圍，再利用函數(shù)的單調(diào)性可得出其最小值.

【詳解】

函數(shù)/(x)=|lnx|滿足/(a)=/("),.[(Ina)'=(In即(lna—lnZ?)(lna+ln/?)=0,

,;0<a<b,lna<ln/?>Ina+In/>=0,即ln(aZ?)=0=ab=l,

l=ab>a2<則0<a<1,

由基本不等式得20+。=24+'22/2夕'=2夜，當(dāng)且僅當(dāng)。=工時(shí)，等號(hào)成立.

a\a2

4a2+l>2-4_(2a+b)2-4ab-4_(2a+b)2-8_2a+b4

?4a+2b~2(2a+b)-2(2a+b)~~2a+b'

由于函數(shù)＞=]-^在區(qū)間上為增函數(shù),

l4a2+/?2-42拒4

所以，當(dāng)2a+b=2&時(shí)，4取得最小值工一一［=0.

4a+2b22V2

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查代數(shù)式最值的計(jì)算，涉及對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)、基本不等式以及函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中等題.

8.D

【解析】

結(jié)合圖(1),(2),(3)所示的情況，可得。與占的關(guān)系分別是平行、異面或相交.

選D.

9.C

【解析】

由復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算整理已知求得復(fù)數(shù)z,進(jìn)而求得其模.

【詳解】

故選：C

【點(diǎn)睛】

本題考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算與求復(fù)數(shù)的模，屬于基礎(chǔ)題.

10.D

【解析】

本道題結(jié)合雙曲線的性質(zhì)以及余弦定理，建立關(guān)于a與c的等式，計(jì)算離心率，即可.

【詳解】

結(jié)合題意，繪圖，結(jié)合雙曲線性質(zhì)可以得到PO=MO,而6。=6。，結(jié)合四邊形對(duì)角線平分，可得四邊形「月加入為

平行四邊形，結(jié)合N"N=60°,故/耳加工=60°

22

對(duì)三角形片運(yùn)用余弦定理，得到，F(xiàn)tM+F2M-FtF^=2-MFtMF2-cosZFiMF2

而結(jié)合|P用=3|「周，可得|阿|=a,|町|=3a,耳心=2c,代入上式子中，得到

/+9/一4C、2=3〃，結(jié)合離心率滿足e=￡,即可得出6=￡=近，故選D.

aa2

【點(diǎn)睛】

本道題考查了余弦定理以及雙曲線的性質(zhì)，難度偏難.

11.B

【解析】

設(shè)正三棱柱上下底面的中心分別為Q，底面邊長(zhǎng)與高分別為X,0,利用0A2=。。；+。2A2,可得配=16-

進(jìn)一步得到側(cè)面積S=3xh,再利用基本不等式求最值即可.

【詳解】

如圖所示.設(shè)正三棱柱上下底面的中心分別為a，o?,底面邊長(zhǎng)與高分別為乂〃，則

尤24n

在RfAOA。。中，土+土=4,化為/=16--X2,

433

S=3xh,

y

x2+12—%2

：.s2=9x%2=12/(12—/),,12二432,

、2-7

當(dāng)且僅當(dāng)x=卡時(shí)取等號(hào)，此時(shí)S=12百.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查正三棱柱與球的切接問(wèn)題，涉及到基本不等式求最值，考查學(xué)生的計(jì)算能力，是一道中檔題.

12.A

【解析】

先利用正弦定理將邊統(tǒng)一化為角，然后利用三角函數(shù)公式化簡(jiǎn)，可求出解A

【詳解】

由正弦定理可得sinA+2sinC=2sinBcosA,即sinA+2sin(A+8)=2sinBcosA,即有sinA(1+2cosB)=0,

12萬(wàn)

因?yàn)閟inA>0,貝!|cosB=——，而B(niǎo)e(0,i),所以B=—.

23

故選：A

【點(diǎn)睛】

此題考查了正弦定理和三角函數(shù)的恒等變形，屬于基礎(chǔ)題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.2

【解析】

運(yùn)用拋物線的定義將拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離等于到準(zhǔn)線距離，然后求解結(jié)果.

【詳解】

拋物線y=2f的標(biāo)準(zhǔn)方程為：則拋物線的準(zhǔn)線方程為y=—：,設(shè)M（x,”，y”），N（xN,yN）,則

28

|敏|+|即|=丁用+：+丁”+:=：,所以y”+yv=4,則線段MN中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為"曳=2.

oo42

故答案為：2

【點(diǎn)睛】

本題考查了拋物線的定義，由拋物線定義將點(diǎn)到焦點(diǎn)距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到準(zhǔn)線距離，需要熟練掌握定義，并能靈活運(yùn)用,

本題較為基礎(chǔ).

14.1

【解析】

由他+2亞/（2萬(wàn)+4）求出2,代入,+焉）.（萬(wàn)—5）,進(jìn)行數(shù)量積的運(yùn)算即得.

【詳解】

?.?（力+25）//（2@+焉），.,.存在實(shí)數(shù)左，使得2々+幾5=人（日+25）.

2=k

:不共線，2=4.

A=2k

:同=2,M=g，a,5的夾角為30。，

伍+丸5卜（汗-5）=（M+4bJ（G-5）=J+3a石一4萬(wàn)

=4+3x2x^xcos30"-4x3=1.

故答案為：1.

【點(diǎn)睛】

本題考查向量共線定理和平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

151-2遙

,6

【解析】

由題意利用任意角的三角函數(shù)的定義，兩角和差正弦公式，求得癡。=4叱￡+芻_芻的值.

66

【詳解】

解：?.?角1+9的終邊過(guò)點(diǎn)尸（一1,—2&）,

6

,吟7t(7r\.7T2V2V3f011-276

?.?.sincc—si.n17ocH-=sinexH—cos----cosexH—sin—=----------------?一=---------

K6)6」I6)6L6}632I31269

故答案為：上羋.

O

【點(diǎn)睛】

本題主要考查任意角的三角函數(shù)的定義，兩角和差正弦公式，屬于基礎(chǔ)題.

16.—2n+11

【解析】

利用3-*=-4求出公差d,結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可求明.

95

【詳解】

設(shè)公差為d,因?yàn)榻瘛?一4,所以44—2d=T,即d=—2.

所以=4+(〃-l)d=9-2(n-l)=-2n+l1.

故答案為：—2n+11

【點(diǎn)睛】

本題主要考查等差數(shù)列通項(xiàng)公式的求解，利用等差數(shù)列的基本量是求解這類問(wèn)題的通性通法，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核

心素養(yǎng).

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.(1)y2=6x(2)史立.

3

【解析】

(1)根據(jù)拋物線定義，寫(xiě)出焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程，列方程即可得解；

(2)根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)表示出以為和點(diǎn)到直線的距離，得出面積，利用均值不等式求解最大值.

【詳解】

(1)拋物線E：y2=2px(p>0),焦點(diǎn)尸(g,0)到準(zhǔn)線*=一々的距離為3,可得p=3,即有拋物線方程為爐=

6x；

(2)設(shè)線段A3的中點(diǎn)為M(必，jo),則/=受產(chǎn)=2,

…、，一)o_--y_6_3

%=一%-，kABx-xyXx+為先，

z2---}--2

66

則線段A8的垂直平分線方程為y-y()=-/(x-2),①

可得x=5,y=0是①的一個(gè)解，所以A5的垂直平分線與x軸的交點(diǎn)C為定點(diǎn),

且點(diǎn)C(5,0),由①可得直線A3的方程為y-yo=3(x-2),即1=曰(j-jo)+2②

%3

代入y2=6x可得/2=2,0(j-Jo)+12,即y2-2yoy+2yo2=0③，

由題意刈，,2是方程③的兩個(gè)實(shí)根，且》分2,

所以A=ljo2-1(2城-12)=-ljo2+18>O,解得-2百VyoV2百,

22

又C(5,0)到線段AB的距離h=\CM\=^(5-2)+(O-yo)=)9+城,

所以SAABC=；|AB|仁;小(9+%2)(12-%2),J9+%?

=韭(9+扃(2"2城)(9+),小出9+%”：。2M二苧,

當(dāng)且僅當(dāng)9+城=21-2城，即刈=±布，4(6+4,百+近)，BJ一乒,行—近),

33

或A(6+后,-75-77),BJ-后,-V5+V7)時(shí)等號(hào)成立,

33

所以SA.C的最大值為此巨.

3

【點(diǎn)睛】

此題考查根據(jù)焦點(diǎn)和準(zhǔn)線關(guān)系求拋物線方程，根據(jù)直線與拋物線位置關(guān)系求解三角形面積的最值，表示三角形的面積

關(guān)系常涉及韋達(dá)定理整體代入，拋物線中需要考慮設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)的技巧，處理最值問(wèn)題常用函數(shù)單調(diào)性求解或均值不等式

求最值.

18.(1)(4,+00)；(2)見(jiàn)解析.

【解析】

(1)將所求問(wèn)題轉(zhuǎn)化為f(x)<0在(-1,y)上有解，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問(wèn)題

-^11+12

x,+x+22x.+1

(2)將所證不等式轉(zhuǎn)化為'~=7—>—————進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為七一>

lnA+l,然后再通過(guò)構(gòu)

X]-x2ln(x+l)-ln(x2+1).+1_1

x2+1

x2+1

造機(jī)⑺=In，-9二D加以證明即可.

f+1

【詳解】

1a

(1)/(x)=(%>一1),根據(jù)題意，/(x)在(一1,田)內(nèi)存在單調(diào)減區(qū)間,

X+1(x+2)2

則不等式f(x)<0在(T,k)上有解，由一二一「之<0得”>色上空，設(shè)g(x)=(x+2>,

x+1(x+2/a6x+1

則g(x)=(讓D：±2(吐)1±1=(X+])+_J_+2N4,當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)，等號(hào)成立,

X4-1X+1

所以當(dāng)%>-1時(shí)，g(X)min=4,所以存在X>—1,使得4>g*)成立，

所以。的取值范圍為(4,+8)。

7人元1)一/(冗2)ln(x+l)-ln(x+1)

(2)當(dāng)。=0時(shí)，/(x)=ln(x+l),則、=/__2_1,從而

玉-x2Xj-x2

c2(x-x)

所證不等式轉(zhuǎn)化為X+H2>鬲內(nèi)之9與，不妨設(shè)>7則不等式轉(zhuǎn)化

為占+々+2>2______X_j+1+々+1_______2_______

3(冗1+1)-(入2+1)

斗一々ln(Xj+l)-ln(x2+1)ln(x+l)-ln(x2+1)

±±1+1

2_

即^—〉x,+1r+12

網(wǎng)+1令二”則不等式轉(zhuǎn)化為有'因?yàn)?/p>

M+1]In——

x2+1

x,+l>x2+l>0,貝!k>l,從而不等式化為inr>如二D,設(shè)〃2(。=Inf一型二D,則加?)=1—；~-f

■f+it+itQ+i)

=三~%>0,所以，〃⑺在(1，”)上單調(diào)遞增，所以加Q)>m⑴=0

即不等式Inf>改二2成立，故原不等式成立.

【點(diǎn)睛】

本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，這里要強(qiáng)調(diào)一點(diǎn)，在證明不等式時(shí)，通常是構(gòu)造函數(shù),

將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的極值或最值來(lái)處理，本題是一道有高度的壓軸解答題.

19.（I）?！?2"也="；（II）1

【解析】

（I）易得｛4｝為等比數(shù)列，再利用前"項(xiàng)和與通項(xiàng)的關(guān)系求解｛〃,｝的通項(xiàng)公式即可.

（D）由題可知要求T2I,的最小值,再分析7；,,-T2n_2的正負(fù)即可得T2I,隨n的增大而增大再判定可知k=1即可.

【詳解】

（I）因?yàn)?+1=24（“€”）,故｛%｝是以4=2為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列,故%=2".

又當(dāng)〃=1時(shí)，仇=%一1,解得打=2.

當(dāng)心2時(shí)，&+*+夭+…+1=加-1…①

4+(4+；4+.-+—=d_l…②

23n-\

①-②有-b?=%-〃，即組=紇(〃22).當(dāng)“=1時(shí)與=1也滿足.故(%)為常數(shù)列,

nn+1n1I〃，

bh

所以」=」=1.即d=〃.

n1

故aa=2"也=〃

(n)因?yàn)閷?duì)〃GN*,Nn人恒成立.故只需求&的最小值即可.

+

設(shè)"=0,則T2n-T2n_2=C21+c2tl,(n&N),

111111

又4I+C2"=4“也用一4=(2“_])(2，+])一聲=^1一下，

……1111cal111

又當(dāng)〃=1時(shí)一-------=-----〉0,“=2時(shí)—--------=------->

4n2-l4"344n2-l4"1516

當(dāng)“23時(shí)，因?yàn)?"=(《+C,+C；+...+C；)2

>(C"+C,',+C^)-23=81+〃+"(;二I=4〃2+4〃+8>4〃2—1.

1

故-->0.

4n2-l4"

綜上可知C2"T+。2”>0.故7；.隨著〃的增大而增大，故JN4,故攵=1

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了根據(jù)數(shù)列的遞推公式求解通項(xiàng)公式的方法,同時(shí)也考查了根據(jù)數(shù)列的增減性判斷最值的問(wèn)題，需要根據(jù)

題意求解T2?的通項(xiàng)，并根據(jù)二項(xiàng)式定理分析其正負(fù)，從而得到最小項(xiàng).屬于難題.

22

20.(1)—+^-=1

43

(2)是為定值，。的橫坐標(biāo)為定值T

【解析】

(1)根據(jù)“直線/垂直于x軸時(shí)，四邊形ABCO的面積為1”列方程，由此求得。，結(jié)合橢圓離心率以及。2=k+。2,

求得a，c,由此求得橢圓方程.

(2)設(shè)出直線/的方程x=1,聯(lián)立直線/的方程和橢圓方程，化簡(jiǎn)后寫(xiě)出根與系數(shù)關(guān)系.求得直線AC,8。的方

程，并求得兩直線交點(diǎn)。的橫坐標(biāo)，結(jié)合根與系數(shù)關(guān)系進(jìn)行化簡(jiǎn)，求得。的橫坐標(biāo)為定值T.

【詳解】

(D依題意可知!x2a?生=6,解得。2=3,即8=6；而e=L即a=2c,結(jié)合4=^+。2解得。=2,c=\,

2a2

22

因此橢圓方程為土+匕=1

43

(2)由題意得，左焦點(diǎn)廠(—1,0),設(shè)直線/的方程為：x=my—l,C(x,,y,),D(x2,y2).

由"消去X并整理得(3療+4)丁-6歿-9=0,.??乂+必=/^7,乂%=不*?

[3x+4y=12,'，3/+43m+4

直線AC的方程為：>=一三(％+2),直線8。的方程為：曠=一三(尤—2).

Xj+zx2-z

聯(lián)系方程，解得x=,又因?yàn)?3(y+%).

所以x=+%)+，％-6y=一?「4%=t.所以。的橫坐標(biāo)為定值y.

3y+必3,+%

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查根據(jù)橢圓離心率求橢圓方程，考查直線和橢圓的位置關(guān)系，考查直線和直線交點(diǎn)坐標(biāo)的求法，考查運(yùn)

算求解能力，屬于中檔題.

21.(1)y=&-2,y2=4x；(2)y

【解析】

x-pcos6

⑴利用代入法消去參數(shù)可得到直線/的普通方程,利用公式.八可得到曲線C的直角坐標(biāo)方程;(2)設(shè)直線OE

y=夕sin，

_5V3

x=5/3-------1,

的參數(shù)方程為〈2a為參數(shù)),

i

y=-t

-2

代入y2=4%得產(chǎn)+86/一166=0,根據(jù)直線參數(shù)方程的幾何意義，利用韋達(dá)定理可得結(jié)果.

【詳解】

x-2百+at,

(1)由題意得點(diǎn)A的直角坐標(biāo)為(G1)，將點(diǎn)A代入＜L得

y=4+J3力

則直線/的普通方程為y=瓜-2.

由psin)。=4cos6得，sin?6=4pcos6,即y2=4x.

故曲線C的直角坐標(biāo)方程為y2=4x.

_0V3

2

(2)設(shè)直線OE的參數(shù)方程為〈a為參數(shù)),

i

y=—t

-2

代入丁=?得產(chǎn)+8瘋—16百=0.

設(shè)。對(duì)應(yīng)參數(shù)為小￡對(duì)應(yīng)參數(shù)為則4+，2=—86，02=一1d石，且4＞。，/2＜。.

11_11_11_^+/_1

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