數(shù)學(xué)建模穩(wěn)定性模型第1頁(yè)，共32頁(yè)，2023年，2月20日，星期六穩(wěn)定性模型對(duì)象仍是動(dòng)態(tài)過(guò)程，而建模目的是研究時(shí)間充分長(zhǎng)以后過(guò)程的變化趨勢(shì)——平衡狀態(tài)是否穩(wěn)定。不求解微分方程，而是用微分方程穩(wěn)定性理論研究平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。第2頁(yè)，共32頁(yè)，2023年，2月20日，星期六6.1捕魚(yú)業(yè)的持續(xù)收獲再生資源（漁業(yè)、林業(yè)等）與非再生資源（礦業(yè)等）再生資源應(yīng)適度開(kāi)發(fā)——在持續(xù)穩(wěn)產(chǎn)前提下實(shí)現(xiàn)最大產(chǎn)量或最佳效益。問(wèn)題及分析在捕撈量穩(wěn)定的條件下，如何控制捕撈使產(chǎn)量最大或效益最佳。如果使捕撈量等于自然增長(zhǎng)量，漁場(chǎng)魚(yú)量將保持不變，則捕撈量穩(wěn)定。背景第3頁(yè)，共32頁(yè)，2023年，2月20日，星期六產(chǎn)量模型假設(shè)無(wú)捕撈時(shí)魚(yú)的自然增長(zhǎng)服從Logistic規(guī)律單位時(shí)間捕撈量與漁場(chǎng)魚(yú)量成正比建模捕撈情況下漁場(chǎng)魚(yú)量滿足不需要求解x(t),只需知道x(t)穩(wěn)定的條件r~固有增長(zhǎng)率,N~最大魚(yú)量h(x)=Ex,E~捕撈強(qiáng)度x(t)~漁場(chǎng)魚(yú)量第4頁(yè)，共32頁(yè)，2023年，2月20日，星期六一階微分方程的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性一階非線性（自治）方程F(x)=0的根x0~微分方程的平衡點(diǎn)設(shè)x(t)是方程的解，若從x0某鄰域的任一初值出發(fā)，都有稱x0是方程(1)的穩(wěn)定平衡點(diǎn)不求x(t),判斷x0穩(wěn)定性的方法——直接法(1)的近似線性方程第5頁(yè)，共32頁(yè)，2023年，2月20日，星期六產(chǎn)量模型平衡點(diǎn)穩(wěn)定性判斷x0穩(wěn)定,可得到穩(wěn)定產(chǎn)量x1穩(wěn)定,漁場(chǎng)干枯E~捕撈強(qiáng)度r~固有增長(zhǎng)率第6頁(yè)，共32頁(yè)，2023年，2月20日，星期六平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性6.2微分方程組的穩(wěn)定性理論1.線性常系數(shù)微分方程組平衡點(diǎn)P0(x0,y0)=(0,0)~代數(shù)方程的根若從P0某鄰域的任一初值出發(fā)，都有稱P0是微分方程的穩(wěn)定平衡點(diǎn)第7頁(yè)，共32頁(yè)，2023年，2月20日，星期六記系數(shù)矩陣特征方程特征根微分方程一般解形式平衡點(diǎn)P0(0,0)穩(wěn)定平衡點(diǎn)P0(0,0)不穩(wěn)定1,2為負(fù)數(shù)或有負(fù)實(shí)部p>0且q>0p<0或q<0第8頁(yè)，共32頁(yè)，2023年，2月20日，星期六2.(二階)非線性(自治)方程的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性平衡點(diǎn)P0(x10,x20)~代數(shù)方程的根若從P0某鄰域的任一初值出發(fā)，都有稱P0是微分方程的穩(wěn)定平衡點(diǎn)第9頁(yè)，共32頁(yè)，2023年，2月20日，星期六判斷P0(x10,x20)穩(wěn)定性的方法——直接法(1)的近似線性方程平衡點(diǎn)P0穩(wěn)定(對(duì)2,1)p>0且q>0平衡點(diǎn)P0不穩(wěn)定(對(duì)2,1)p<0或q<0第10頁(yè)，共32頁(yè)，2023年，2月20日，星期六6.3種群的相互競(jìng)爭(zhēng)一個(gè)自然環(huán)境中有兩個(gè)種群生存，它們之間的關(guān)系：相互競(jìng)爭(zhēng)；相互依存；弱肉強(qiáng)食。當(dāng)兩個(gè)種群為爭(zhēng)奪同一食物來(lái)源和生存空間相互競(jìng)爭(zhēng)時(shí)，常見(jiàn)的結(jié)局是，競(jìng)爭(zhēng)力弱的滅絕，競(jìng)爭(zhēng)力強(qiáng)的達(dá)到環(huán)境容許的最大容量。建立數(shù)學(xué)模型描述兩個(gè)種群相互競(jìng)爭(zhēng)的過(guò)程，分析產(chǎn)生這種結(jié)局的條件。第11頁(yè)，共32頁(yè)，2023年，2月20日，星期六模型假設(shè)有甲乙兩個(gè)種群，它們獨(dú)自生存時(shí)數(shù)量變化均服從Logistic規(guī)律;兩種群在一起生存時(shí)，乙對(duì)甲增長(zhǎng)的阻滯作用與乙的數(shù)量成正比;甲對(duì)乙有同樣的作用。對(duì)于消耗甲的資源而言，乙(相對(duì)于N2)是甲(相對(duì)于N1)的1倍。對(duì)甲增長(zhǎng)的阻滯作用，乙大于甲乙的競(jìng)爭(zhēng)力強(qiáng)模型第12頁(yè)，共32頁(yè)，2023年，2月20日，星期六模型分析(平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性)模型代數(shù)方程組的根第13頁(yè)，共32頁(yè)，2023年，2月20日，星期六種群競(jìng)爭(zhēng)模型的平衡點(diǎn)及穩(wěn)定性不穩(wěn)定平衡點(diǎn)2>1,1>1,P1,P2是一個(gè)種群存活而另一滅絕的平衡點(diǎn)P3是兩種群共存的平衡點(diǎn)1<1,2<1P1穩(wěn)定的條件1<1?1<12<1穩(wěn)定條件第14頁(yè)，共32頁(yè)，2023年，2月20日，星期六0S1S2S3平衡點(diǎn)穩(wěn)定性的相軌線分析從任意點(diǎn)出發(fā)(t=0)的相軌線都趨向P1(N1,0)(t)P1(N1,0)是穩(wěn)定平衡點(diǎn)(1)2>1,

1<1tx1,x2tx1,x2tx1,x2第15頁(yè)，共32頁(yè)，2023年，2月20日，星期六P1P2有相軌線趨向P1有相軌線趨向P2P1穩(wěn)定的條件：直接法2>1P1,P2都不(只是局部)穩(wěn)定0(3)1<1,2<10(2)1>1,2<10(4)1>1,2>1加上與(4)相區(qū)別的1<1

P2穩(wěn)定

P3穩(wěn)定P1全局穩(wěn)定第16頁(yè)，共32頁(yè)，2023年，2月20日，星期六結(jié)果解釋對(duì)于消耗甲的資源而言，乙(相對(duì)于N2)是甲(相對(duì)于N1)的1倍。對(duì)甲增長(zhǎng)的阻滯作用，乙小于甲乙的競(jìng)爭(zhēng)力弱

P1穩(wěn)定的條件：1<1,2>12>1甲的競(jìng)爭(zhēng)力強(qiáng)甲達(dá)到最大容量，乙滅絕

P2穩(wěn)定的條件：1>1,2<1

P3穩(wěn)定的條件：1<1,2<1通常11/2，P3穩(wěn)定條件不滿足第17頁(yè)，共32頁(yè)，2023年，2月20日，星期六6.4種群的相互依存甲乙兩種群的相互依存有三種形式1)甲可以獨(dú)自生存，乙不能獨(dú)自生存；甲乙一起生存時(shí)相互提供食物、促進(jìn)增長(zhǎng)。2)甲乙均可以獨(dú)自生存；甲乙一起生存時(shí)相互提供食物、促進(jìn)增長(zhǎng)。3)甲乙均不能獨(dú)自生存；甲乙一起生存時(shí)相互提供食物、促進(jìn)增長(zhǎng)。第18頁(yè)，共32頁(yè)，2023年，2月20日，星期六模型假設(shè)甲可以獨(dú)自生存，數(shù)量變化服從Logistic規(guī)律;甲乙一起生存時(shí)乙為甲提供食物、促進(jìn)增長(zhǎng)。乙不能獨(dú)自生存；甲乙一起生存時(shí)甲為乙提供食物、促進(jìn)增長(zhǎng)；乙的增長(zhǎng)又受到本身的阻滯作用(服從Logistic規(guī)律)。模型乙為甲提供食物是甲消耗的1倍甲為乙提供食物是乙消耗的2倍第19頁(yè)，共32頁(yè)，2023年，2月20日，星期六種群依存模型的平衡點(diǎn)及穩(wěn)定性P2是甲乙相互依存而共生的平衡點(diǎn)穩(wěn)定條件不穩(wěn)定平衡點(diǎn)第20頁(yè)，共32頁(yè)，2023年，2月20日，星期六平衡點(diǎn)P2穩(wěn)定性的相軌線0

1<1,2>1,12<1

P2穩(wěn)定第21頁(yè)，共32頁(yè)，2023年，2月20日，星期六12<1~2>1前提下P2存在的必要條件結(jié)果解釋2>1~甲必須為乙提供足夠的食物——甲為乙提供的食物是乙消耗的2倍1<1~2>1,12<1的需要，且1必須足夠小，才能在2>1條件下使12<1成立

P2穩(wěn)定條件：1<1,2>1,12<1甲可以獨(dú)自生存乙不能獨(dú)立生存第22頁(yè)，共32頁(yè)，2023年，2月20日，星期六6.5種群的弱肉強(qiáng)食(食餌-捕食者模型)種群甲靠豐富的天然資源生存，種群乙靠捕食甲為生，形成食餌-捕食者系統(tǒng)，如食用魚(yú)和鯊魚(yú)，美洲兔和山貓，害蟲(chóng)和益蟲(chóng)。

模型的歷史背景——一次世界大戰(zhàn)期間地中海漁業(yè)的捕撈量下降(食用魚(yú)和鯊魚(yú)同時(shí)捕撈)，但是其中鯊魚(yú)的比例卻增加，為什么？第23頁(yè)，共32頁(yè)，2023年，2月20日，星期六食餌（甲）數(shù)量x(t),捕食者（乙）數(shù)量y(t)甲獨(dú)立生存的增長(zhǎng)率r乙使甲的增長(zhǎng)率減小，減小量與y成正比乙獨(dú)立生存的死亡率d甲使乙的死亡率減小，減小量與x成正比方程(1),(2)無(wú)解析解食餌-捕食者模型(Volterra)a~捕食者掠取食餌能力b~食餌供養(yǎng)捕食者能力第24頁(yè)，共32頁(yè)，2023年，2月20日，星期六tx(t)y(t)020.00004.00000.100021.24063.96510.200022.56493.94050.300023.97633.9269………5.10009.616216.72355.20009.017316.2064………9.500018.47504.04479.600019.61363.99689.700020.83113.9587一.用數(shù)學(xué)軟件MATLAB求微分方程數(shù)值解x~y平面上的相軌線第25頁(yè)，共32頁(yè)，2023年，2月20日，星期六計(jì)算結(jié)果（數(shù)值，圖形）x(t),y(t)是周期函數(shù)，相圖(x,y)是封閉曲線觀察，猜測(cè)x(t),y(t)的周期約為9.6xmax65.5,xmin6,ymax20.5,ymin3.9用數(shù)值積分可算出x(t),y(t)一周期的平均值：x(t)的平均值約為25,y(t)的平均值約為10。食餌-捕食者模型(Volterra)第26頁(yè)，共32頁(yè)，2023年，2月20日，星期六二.從理論上討論方程的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性平衡點(diǎn)穩(wěn)定性分析p=0,q>0P:中心不穩(wěn)定q<0P′不穩(wěn)定第27頁(yè)，共32頁(yè)，2023年，2月20日，星期六?T2T3T4T1P初值1.相軌線的方向用相軌線分析點(diǎn)穩(wěn)定性第28頁(yè)，共32頁(yè)，2023年，2月20日，星期六?T2T3T4T1PT1

T2

T3

T4x(t)的“相位”領(lǐng)先y(t)相軌線是封閉曲線x(t),y(t)是周期函數(shù)(周期記T)第29頁(yè)，共32頁(yè)，2023年，2月20日，星期六求x(t),y(t)在一周期的平均值軌線中心第30頁(yè)，共32頁(yè)，2023年，2月20日，星期六模型解釋r~食餌增長(zhǎng)率d~捕食者死亡率b~食餌供養(yǎng)捕食者能力捕食者數(shù)量食餌數(shù)量Pr/ad/ba~捕食者掠取食餌能力捕食者數(shù)量與r成正比,與a成反比食餌數(shù)量與d成正比,與b成反比第31頁(yè)，共32頁(yè)，2023年