2017屆四川省成都市第七高三三診模擬數(shù)學（理）試題一、選擇題1．在一次拋硬幣實驗中，甲、乙兩人各拋一次硬幣一次，設命題是“甲拋的硬幣正面向上”，是“乙拋的硬幣正面向上”，則命題“至少有一人拋的硬幣是正面向下”可表示為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】解：命題“至少有一人拋的硬幣是正面向下”即“甲拋的硬幣反面向上”或“乙拋的硬幣反面向上”，此命題可表示為：.本題選擇A選項.2．已知集合，則（）A.B.C.D.【答案】B【解析】由得：，，則，故選B.3．若，則（）A.B.C.D.【答案】D【解析】解：由題意可知：，則.本題選擇D選項.4．設是定義在上周期為2的奇函數(shù)，當時，，則（）A.B.C.D.【答案】C【解析】解：由題意可知：.本題選擇C選項.5．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】解：由三視圖可知原幾何體是一個組合體，如圖所示，下面是半徑為2，高為4的半圓柱，上面是長為4、寬為2、高為2的一個長方體，∴S表=S半圓柱底+2S長方體表面積=.本題選擇C選項.6．設為中邊上的中點，且為邊上靠近點的三等分點，則（）A.B.C.D.【答案】A【解析】由平面向量基本定理可得：，故選A.7．執(zhí)行如圖的程序框圖，則輸出的值是（）A.2016B.1024C.D.-1【答案】D【解析】解：由題意可知：該程序框圖計算的問題可轉(zhuǎn)換為如下的數(shù)列問題：已知中，，有遞推關(guān)系：，求的值.該數(shù)列為周期為3的周期數(shù)列，且，輸出值為：.本題選擇D選項.8．已知是橢圓上的一點，是的兩個焦點，若，則的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】解：由題意可知：，則：，點在橢圓上，則：，故：，解得：，即的取值范圍是.本題選擇A選項.點睛：解析幾何問題和向量的聯(lián)系：可將向量用點的坐標表示，利用向量運算及性質(zhì)解決解析幾何問題．以向量為載體求相關(guān)變量的取值范圍，是向量與函數(shù)、不等式等相結(jié)合的一類綜合問題．通過向量的坐標運算，將問題轉(zhuǎn)化為解不等式或求函數(shù)值域，是解決這類問題的一般方法．9．等差數(shù)列中的是函數(shù)的兩個極值點，則（）A.B.4C.D.【答案】C【解析】由，得，由，且是的極值點，得，，∴，則，故選C.10．函數(shù)的最小正周期是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】化簡，則其最小正周期為，故選B.11．某醫(yī)務人員說：“包括我在內(nèi)，我們社區(qū)診所醫(yī)生和護士共有17名。無論是否把我算在內(nèi)，下面說法都是對的。在這些醫(yī)務人員中：醫(yī)生不少于護士；女護士多于男醫(yī)生；男醫(yī)生比女醫(yī)生多；至少有兩名男護士.”請你推斷說話的人的性別與職業(yè)是（）A.男醫(yī)生B.男護士C.女醫(yī)生D.女護士【答案】C【解析】設女護士人數(shù)為，男護士人數(shù)為，女醫(yī)生人數(shù)為，男醫(yī)生人數(shù)為，則有：（1）（2）（3）（4）得出：，假設，僅有：，，時符合條件，又因為使abcd中一個數(shù)減一符合任一條件，只有符合，即女醫(yī)生，假設則沒有能滿足條件的情況，綜上，這位說話的人是女醫(yī)生，故選C.點睛：本題考查的知識點是邏輯推理，難度中檔；設女護士人數(shù)為，男護士人數(shù)為，女醫(yī)生人數(shù)為，男醫(yī)生人數(shù)為，根據(jù)已知構(gòu)造不等式組，推理可得結(jié)論.12．設集合，，若，則實數(shù)的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】解：集合A表示以(3,4)為圓心,半徑為的圓，集合B表示以(3,4)為圓心,半徑為的圓，集合C在λ>0時,表示以(3,4)為中心，四條邊的斜率為±2的菱形，如圖所示，若(A∪B)∩C≠?，則菱形與A或B圓有交點，當時，菱形在小圓的內(nèi)部，與兩圓均無交點，不滿足題意；當時，菱形在圓環(huán)的內(nèi)部，與兩圓均無交點，不滿足題意；當菱形與小圓相切時,，當菱形與大圓相切時,，綜上可得：實數(shù)λ的取值范圍是.本題選擇A選項.點睛：解答圓的問題，應注意數(shù)形結(jié)合，充分運用圓的幾何性質(zhì)，簡化運算．“以形助數(shù)”是已知兩圖象交點問題求參數(shù)范圍常用到的方法，解決此類問題的關(guān)鍵在于準確作出不含參數(shù)的函數(shù)的圖象，并標清一些關(guān)鍵點，對于含參數(shù)的函數(shù)圖象要注意結(jié)合條件去作出符合題意的圖形．二、填空題13．已知向量，且，則向量的夾角的余弦值為__________．【答案】【解析】解：由題意可知：，則：.14．二項式的展開式中，含的項的系數(shù)是，若滿足，則的取值范圍是__________．【答案】【解析】的展開式的通項為，令，得，根據(jù)已知條件畫出可行域，這里可以把換成，如圖所示，與交于點，當直線過點時，取得最小值，當直線過點時，取得最大值4，所以其取值范圍是，故答案為.點睛：本題主要考查線性規(guī)劃中利用可行域求目標函數(shù)的最值，屬簡單題.求目標函數(shù)最值的一般步驟是“一畫、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是實線還是虛線）；（2）找到目標函數(shù)對應的最優(yōu)解對應點（在可行域內(nèi)平移變形后的目標函數(shù)，最先通過或最后通過的頂點就是最優(yōu)解）；（3）將最優(yōu)解坐標代入目標函數(shù)求出最值.15．成都112歲生日當天在操場開展學生社團活動選課超市，5名遠端學生從全部六十多個社團中根據(jù)愛好初選了3個不同社團準備參加.若要求這5個遠端學生每人選一個社團，而且這3個社團每個社團都有遠端學生參加，則不同的選擇方案有__________種.（用數(shù)字作答）【答案】150種【解析】第一步：將5名學生分為3份，共有種；第二步：分到三個社團種，則不同的選擇方案有種，故答案為.16．已知函數(shù)，若函數(shù)有且僅有一個零點，則實數(shù)的取值范圍是__________．【答案】【解析】解：繪制函數(shù)的圖象，實數(shù)為過點且與函數(shù)圖象只有一個交點的直線的斜率，據(jù)此可得：.三、解答題17．在中，角所對應的邊分別為，已知，.（1）求角；（2）若，求.【答案】（1）（2）【解析】試題分析：(1)利用題意求得，則．(2)利用題意解三角形可得，且，三角形面積公式可得：．試題解析：（1）因為，所以，解得，（舍去）．所以，又，所以．（2）因為，所以，又，所以，所以，又因為，由得，所以．點睛：在解決三角形問題中，面積公式S＝absinC＝bcsinA＝acsinB最常用，因為公式中既有邊又有角，容易和正弦定理、余弦定理聯(lián)系起來.18．某商場為吸引顧客消費推出一項優(yōu)惠活動．活動規(guī)則如下：消費額每滿100元可轉(zhuǎn)動如圖所示的轉(zhuǎn)盤一次，并獲得相應金額的返券，假定指針等可能地停在任一位置.若指針停在A區(qū)域返券60元；停在B區(qū)域返券30元；停在C區(qū)域不返券.例如：消費218元，可轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤2次，所獲得的返券金額是兩次金額之和．（1）若某位顧客消費128元，求返券金額不低于30元的概率；（2）若某位顧客恰好消費280元，并按規(guī)則參與了活動，他獲得返券的金額記為（元）．求隨機變量的分布列和數(shù)學期望．【答案】（1）；（2）隨機變量的分布列為：

0

30

60

90

120

其數(shù)學期望．【解析】試題分析：（1）由題意可知，A區(qū)扇形區(qū)域的圓心角為，根據(jù)幾何概型可知，指針停在A區(qū)的概率為，同理可求指針落在B區(qū)域的概率為，指針落在C區(qū)域的概率為，所以若某位顧客消費128元，根據(jù)規(guī)則，可以轉(zhuǎn)動一次轉(zhuǎn)盤，若返券金額不低于30元，則指針落在A區(qū)域或落在B區(qū)域，而由于指針落在A區(qū)域或落在B區(qū)域為互斥事件，根據(jù)互斥事件概率加法公式，返券金額不低于30元的概率為；（2）若某位顧客消費280，則可以轉(zhuǎn)動2次轉(zhuǎn)盤，那么他獲得返券的金額X的所有可能取值為0,30,60,90,120，概率為，，，，。即得到X的分布列，然后可以根據(jù)公式求X的數(shù)學期望。試題解析：設指針落在A,B,C區(qū)域分別記為事件A,B,C．則．（1）若返券金額不低于30元，則指針落在A或B區(qū)域．即所以消費128元的顧客，返券金額不低于30元的概率是．（2）由題意得,該顧客可轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤2次,隨機變量的可能值為0,30,60,90，120所以，隨機變量的分布列為：

0

30

60

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120

其數(shù)學期望【考點】1.幾何概型；2.隨機事件的概率；3.離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望。19．如圖三棱柱中，側(cè)面為菱形，．（1）證明：；（2）若，，求二面角的余弦值．【答案】（1）見解析（2）【解析】試題分析：（1）連接，交于點，連接，可證平面，可得，，進而可得；（2）以為坐標原點，的方向為軸正方向，為單位長，建立空間直角坐標系，分別可得兩平面的法向量，可得所求余弦值.試題解析：（1）連接，交于點，連接，因為側(cè)面為菱形，所以，且為及的中點，又，所以平面．由于平面，故，又，故．（2）因為，且為的中點，所以．又因為，所以，故，從而兩兩相互垂直，為坐標原點，的方向為軸正方向，為單位長，建立空間直角坐標系（圖略）因為，所以為等邊三角形，又，則，．，，設是平面的法向量，則，即，設是平面的法向量，則，同理可取．所以可取，，所以二面角的余弦值為．20．如圖，設拋物線的準線與軸交于橢圓的右焦點為的左焦點.橢圓的離心率為，拋物線與橢圓交于軸上方一點，連接并延長其交于點，為上一動點，且在之間移動.（1）當取最小值時，求和的方程；（2）若的邊長恰好是三個連續(xù)的自然數(shù)，當面積取最大值時，求面積最大值以及此時直線的方程．【答案】（1）（2）的面積最大值為．此時．【解析】試題分析：（1）由橢圓的性質(zhì)可得，故可得，故而可求得和的方程；（2）因為，則，設橢圓的標準方程為，聯(lián)立拋物線與橢圓的方程可得，得代入拋物線方程得，可得，可得直線與拋物線的方程，聯(lián)立得，求出點到直線的距離，結(jié)合面積公式可得最值.試題解析：（1）因為，則，所以取最小值時，此時拋物線，此時，所以橢圓的方程為；（2）因為，則，設橢圓的標準方程為，由得，所以或（舍去），代入拋物線方程得，即，于是，又的邊長恰好是三個連續(xù)的自然數(shù)，所以．此時拋物線方程為，，則直線的方程為．聯(lián)立，得或（舍去），于是．所以，設到直線的距離為，則，當時，，所以的面積最大值為．此時．21．已知函數(shù)．（1）當，取一切非負實數(shù)時，若，求的范圍；（2）若函數(shù)存在極大值，求的最小值．【答案】（1）（2）【解析】試題分析：（1）當時，，原題分離參數(shù)得恒成立，右邊求導求出其最大值即可；（2）對其求導，當時，在上為單增函數(shù)，無極大值；當時，在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，其中滿足，故可得極大值，令，得，對其求導可得其最小值.試題解析：（1）當時，，恒成立等價于恒成立，令，，，當時，恒成立，即在內(nèi)單調(diào)遞減，故，可得在內(nèi)單調(diào)遞減，故.（2），①當時，，所以，所以在上為單增函數(shù)，無極大值；②當時，設方程的根為，則有，即，所以在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，所以的極大值為，即，因為，所以，令則，設，則，令，得，所以在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，所以得最小值為，即的最小值為-1，此時．點睛：本題考查導數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調(diào)性，由，得函數(shù)單調(diào)遞增，得函數(shù)單調(diào)遞減；考查恒成立問題，正確分離參數(shù)是關(guān)鍵，也是常用的一種手段．通過分離參數(shù)可轉(zhuǎn)化為或恒成立，即或即可，利用導數(shù)知識結(jié)合單調(diào)性求出或即得解.22．選修4-4：坐標系與參數(shù)方程在極坐標系下，知圓和直線．（1）求圓與直線的直角坐標方程；（2）當時，求圓和直線的公共點的極坐標．【答案】（1）見解析（2）【解析】試題分析：(1)利用化簡所給的極坐標方程為直角坐標方程即可；(2)由(1)的結(jié)論求得直線與圓在直角坐標系下的公共點為，轉(zhuǎn)化為極坐標為．試題解析：（1）圓，即，故圓的直角坐標方程為：，直線，即，則直線的直角坐標方程為：．（2）由（1）知圓與直線的直角坐標方程，將兩方程聯(lián)立得解得．即圓與直線的在直角坐標系下的公共點為，轉(zhuǎn)化為極坐標為．23．選修4-5：不等式選講已知函數(shù)．（1）求不等式的解集；（2）若關(guān)于的不等式的解集非空，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）（2）或．【解析】試題分析：(1)分段討論