2022年哈三中第一次高考模擬考試數(shù)學(xué)試卷（理工類）第Ⅰ卷（選擇題，共60分）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B2.已知為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D3.已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，且，則（）A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4【答案】C4.等差數(shù)列中，為其前n項(xiàng)和，，則的值為（）A.18 B.19 C.180 D.190【答案】D5.為了宣傳2022年北京冬奧會(huì)和冬殘奧會(huì)，某學(xué)校決定派小明和小李等共5名志愿者將兩個(gè)吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”安裝在學(xué)校的體育廣場，每人參與且只參與一個(gè)吉祥物的安裝，每個(gè)吉祥物都至少由兩名志愿者安裝．若小明和小李必須安裝不同的吉祥物，則不同的分配方案種數(shù)為（）A.8 B.10 C.12 D.14【答案】C6.人們把最能引起美感的比例稱為黃金分割．黃金分割是指將整體一分為二，較大部分與整體部分的比值等于較小部分與較大部分的比值，其比值為稱為黃金分割比．人們稱底與腰之比為黃金分割比的三角形為最美三角形，它是一個(gè)頂角為的等腰三角形，由此我們可得（）A. B. C. D.【答案】A7.已知是定義在R上的偶函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，且，則的解集是（）A. B.C. D.【答案】B8.直線與圓有兩個(gè)不同交點(diǎn)的一個(gè)必要不充分條件是A B. C. D.【答案】C9.已知一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，俯視圖為等腰三角形，則該幾何體的體積為（）A. B. C.2 D.【答案】B10.已知函數(shù)，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）A.的最小正周期為B.是圖象的一個(gè)對(duì)稱中心C.是圖象的一條對(duì)稱軸D.將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度，即可得到函數(shù)的圖象【答案】B11.已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，，A為雙曲線右支上一點(diǎn)，設(shè)，，若，則雙曲線的漸近線方程為（）A. B. C. D.【答案】B12.已知實(shí)數(shù)a，b滿足，，則（）A. B. C. D.【答案】A第Ⅱ卷（非選擇題，共90分）二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知向量，滿足，，，則實(shí)數(shù)的值為______．【答案】或14.橢圓內(nèi)，過點(diǎn)且被該點(diǎn)平分的弦所在的直線方程為______．【答案】15.關(guān)于圓周率，數(shù)學(xué)發(fā)展史上出現(xiàn)過許多很有創(chuàng)意的求法，如著名的蒲豐實(shí)驗(yàn)和查理斯實(shí)驗(yàn)．受其啟發(fā)，我們也可以通過設(shè)計(jì)下面的實(shí)驗(yàn)來估計(jì)的值：先請(qǐng)120名同學(xué)，每人隨機(jī)寫下一個(gè)x、y都小于1的正實(shí)數(shù)對(duì)，再統(tǒng)計(jì)x、y兩數(shù)能與1構(gòu)成鈍角三角形時(shí)的數(shù)對(duì)的個(gè)數(shù)m，最后再根據(jù)m來估計(jì)的值．假如統(tǒng)計(jì)結(jié)果是，那么的估計(jì)值為______．【答案】3.216.對(duì)于正整數(shù)n，設(shè)是關(guān)于x的方程：的實(shí)根，記，其中表示不超過x的最大整數(shù)，則______；若，為的前n項(xiàng)和，則______．【答案】①.1②.506三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟．第17～21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．17.在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，已知．（1）求內(nèi)角B的大??；（2）已知的面積為，，，求線段BM的長．【答案】（1）（2）【解析】【小問1詳解】解：因?yàn)?，所以所以由正弦定理邊化角得：，因?yàn)椋?，即，因?yàn)?，所?【小問2詳解】解：因?yàn)榈拿娣e為，，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以，即為直角三角形，因?yàn)椋?，所?18.如圖所示的四棱錐中，底面ABCD為正方形，平面平面ABCD，點(diǎn)O，M，E分別是AD，PC，BC的中點(diǎn)，，．（1）求證：平面；（2）求三棱錐的體積．【答案】（1）證明見詳解（2）【解析】【分析】(1)根據(jù)給定條件證得及即可推理作答.(2)由給定條件可得點(diǎn)到平面的距離是點(diǎn)到平面的距離的，再借助三棱錐等體積法轉(zhuǎn)化求解即得.【小問1詳解】在中，，為的中點(diǎn)，則，又平面平面，平面平面，平面，于是得平面，而平面，則，又底面是正方形，，分別是，的中點(diǎn)，即，因，平面，所以平面.【小問2詳解】因?yàn)榈闹悬c(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離是點(diǎn)到平面的距離的，如圖，

因此，，所以三棱錐的體積為.19.北京時(shí)間2022年2月6日，中國女足在0-2落后的情況下，最終以3-2逆轉(zhuǎn)絕殺韓國女足，時(shí)隔16年再次問鼎亞洲之巔，成為亞洲唯一一支亞洲杯九冠王球隊(duì)，為此全民又掀起了足球熱潮．為了響應(yīng)習(xí)總書記關(guān)于深化足球體制改革，大力發(fā)展青少年足球，落實(shí)到每個(gè)地區(qū)每一所學(xué)校的號(hào)召，哈三中成立了校足球隊(duì)，其中守門員2人，前鋒4人，中場10人，后衛(wèi)6人，其中每個(gè)前鋒射門的平均命中率都是，每個(gè)中場球員射門的平均命中率都是，每個(gè)后衛(wèi)射門的平均命中率都是，且每位隊(duì)員射門是否命中相互獨(dú)立．（1）為了備戰(zhàn)一場友誼賽，現(xiàn)從前鋒、中場、后衛(wèi)中各隨機(jī)選一人組成一個(gè)射門訓(xùn)練小組，該小組每個(gè)人射門一次為一輪訓(xùn)練，若該小組三人均射進(jìn)則獎(jiǎng)勵(lì)3個(gè)哈三中百年校慶紀(jì)念版?；眨糁挥袃扇松溥M(jìn)則獎(jiǎng)勵(lì)1個(gè)?；?，其他情況不獎(jiǎng)勵(lì)，設(shè)隨機(jī)變量表示該小組一輪訓(xùn)練所得的?；諗?shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；（2）為了強(qiáng)化隊(duì)員們的射門能力，現(xiàn)從前鋒、中場、后衛(wèi)隊(duì)員中隨機(jī)選3人進(jìn)行射門特訓(xùn)，求這3個(gè)人里中場球員的人數(shù)比前鋒人數(shù)多的概率．【答案】（1）分布列見解析，數(shù)學(xué)期望是（2）【解析】【分析】（1）首先由題意可知，再根據(jù)題意分別求概率，列分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）首先列舉3個(gè)人里中場球員的人數(shù)比前鋒人數(shù)多的事件，再求概率.【小問1詳解】由條件可知，，，；分布列如下：013；【小問2詳解】設(shè)事件是3人中有3人是中場，，事件是3人中有2人都是中場，，事件是3人中1人是中場，2人是后衛(wèi)，,所以3個(gè)人里中場球員的人數(shù)比前鋒人數(shù)多的概率.20.已知拋物線，F(xiàn)為其焦點(diǎn)，O為原點(diǎn)，A，B是E上位于x軸兩側(cè)的不同兩點(diǎn)，且．（1）求證：直線AB恒過一定點(diǎn)；（2）在x軸上求一定點(diǎn)C，使F到直線AC和BC的距離相等；（3）在（2）的條件下，當(dāng)F為的內(nèi)心時(shí)，求重心的橫坐標(biāo)．【答案】（1）證明見解析（2）見解析（3）【解析】【分析】（1）設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立，消得：，，，結(jié)合向量的數(shù)量積，轉(zhuǎn)化求解直線的方程，推出結(jié)果．（2）在x軸上求一定點(diǎn)C，使F到直線AC和BC的距離相等即平分，即直線與直線關(guān)于軸對(duì)稱，根據(jù)斜率和為零，從而可得結(jié)果；（3）設(shè)，，直線AB與軸交于N，由題意可得，坐標(biāo)化，結(jié)合點(diǎn)在拋物線上可得點(diǎn)的坐標(biāo)，從而得到結(jié)果.【小問1詳解】設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立，消得：，則，，由得：，所以：或（舍去），即，所以直線的方程為，所以直線過定點(diǎn)．【小問2詳解】由（1）知，直線過定點(diǎn)可設(shè)直線的方程為，此時(shí)，，設(shè)x軸上定點(diǎn)C坐標(biāo)為，要使F到直線AC和BC的距離相等，則平分，即直線與直線關(guān)于軸對(duì)稱，故，即，∴，∴，∴對(duì)任意恒成立，∴，，故在x軸上有一定點(diǎn)C，使F到直線AC和BC的距離相等；【小問3詳解】設(shè)，，直線AB與軸交于N，∵F為的內(nèi)心，∴，∴，即，又，∴，同理，∴是方程的兩個(gè)根，∴，∴三角形重心的橫坐標(biāo)為.21.已知函數(shù)．（1）若是函數(shù)的極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的值；（2）當(dāng)時(shí)，設(shè)函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)為，且，求證：．【答案】（1）（2）見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)是函數(shù)極值點(diǎn)，可得，即可求得，注意檢驗(yàn)；（2）根據(jù)函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)為，且，可得，要證，即證，即證，判斷導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，則只要證即可，構(gòu)造函數(shù)，證明其最小值大于0即可.【小問1詳解】解：，因?yàn)槭呛瘮?shù)的極值點(diǎn)，所以，解得，此時(shí)，令，則，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上遞減，即函數(shù)在上遞減，又，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以是函數(shù)的極值點(diǎn)，所以；【小問2詳解】證明：，因?yàn)楹瘮?shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)為，且，所以，兩式相減得，要證，即證，即證，令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上遞減，在上遞增，所以，則要證，只要證即可，即證，即，由，則，得，令，則，因?yàn)?，所以，所以在上恒成立，所以函?shù)在上遞增，所以，當(dāng)時(shí)，，證明即可，即證明，因?yàn)椋?，則要證明，只需要證明即可，即證明，即證明，因?yàn)?，所以，又，所以，則不等式得證，即．【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的極值點(diǎn)問題，考查了不等式的證明問題，考查了學(xué)生的數(shù)據(jù)分析能力和轉(zhuǎn)換思想，計(jì)算量很大，綜合性很強(qiáng)，難度很大.（二）選考題：共10分．請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答．如果多做，則按所做的第一題計(jì)分．選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程22.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線l的方程為，曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．（1）求曲線C的極坐標(biāo)方程；（2）若已知射線與曲線C交于點(diǎn)M，與直線l交于點(diǎn)N，求．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)二倍角的正弦和余弦公式，結(jié)合同角的三角函數(shù)的關(guān)系式、直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)互化公式進(jìn)行求解即可；（2）利用直角坐標(biāo)方程通過代入法求出兩點(diǎn)坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間距離公式進(jìn)行求解即可.【小問1詳解】；【小問2詳解】由（1）可知：曲線C的方程為：，射線的方程為：，代入中，得，或（舍去），所以，把代入中，得，所以，因此.選修4-5：不等式選講23.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；（2）若時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【