杭州重點(diǎn)中學(xué)2022-2023學(xué)年第二學(xué)期高三年級(jí)4月月考數(shù)學(xué)試題第Ⅰ卷（選擇題共60分）一、選擇題I：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．若集合，，則A． B． C． D．2．已知平面、，直線，滿足，則“”是“”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件3．某公司在年的銷售額(萬元)如下表，根據(jù)表中數(shù)據(jù)用最小二乘法得到的回歸方程為201720182019202020212022則當(dāng)關(guān)于的表達(dá)式取到最小值時(shí)，A．5 B．13 C．8059 D．80774．已知矩形中，，，是的中點(diǎn)，沿直線將△翻折成△，則三棱錐的體積的最大值為A． B． C． D．5．已知等比數(shù)列公比不為1，為其前項(xiàng)和，滿足，則下列等式成立的是A． B．C． D．6．已知復(fù)數(shù)滿足且有，則A． B．C． D．7．設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，過且斜率為的直線交橢圓于，兩點(diǎn)（在軸上方）．關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，連接并延長(zhǎng)交軸于點(diǎn)，若，，成等比數(shù)列，則橢圓的離心率的值為A． B． C． D．8．已知，則下列有關(guān)的大小關(guān)系比較正確的是A． B． C． D．二、選擇題II：本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分9．甲、乙兩人參加某商場(chǎng)舉行的抽獎(jiǎng)活動(dòng)，中獎(jiǎng)名額不限，設(shè)事件為“甲中獎(jiǎng)”，事件為“乙中獎(jiǎng)”，事件為“甲、乙中至少有一人中獎(jiǎng)”，則A．與為互斥事件 B．與為對(duì)立事件C．與為互斥事件 D．與為對(duì)立事件10．在二項(xiàng)式的展開式中，下列說法正確的是A．常數(shù)項(xiàng)是 B．各項(xiàng)系數(shù)和為 C．第5項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)最大 D．奇數(shù)項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)和為3211．若對(duì)于一個(gè)角，存在角滿足，則稱為的“伴侶角”。下列有關(guān)“伴侶角”的說法正確的是A．若，則是的“伴侶角”B．若存在“伴侶角”，則有且僅有一個(gè)為其“伴侶角”C．對(duì)任意，必存在為其“伴侶角”D．若存在“伴侶角”，則12．當(dāng)我們將導(dǎo)數(shù)的概念及定義推廣至方程時(shí)，有時(shí)會(huì)無法解出。為此，數(shù)學(xué)家提出了一種新的方法，使得對(duì)于任意方程，都能夠?qū)ζ渲幸粋€(gè)變量求導(dǎo)。例如，對(duì)于方程，對(duì)求導(dǎo)：將視作的函數(shù)，兩邊同時(shí)對(duì)求導(dǎo)，得：，即。從而解得下列說法正確的是A．對(duì)于方程B．對(duì)于方程C．對(duì)于方程D．對(duì)于方程第Ⅱ卷（非選擇題共90分）三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13．已知，，則▲．14．在一個(gè)圓周上有8個(gè)點(diǎn)，用四條既無公共點(diǎn)又無交點(diǎn)的弦連結(jié)它們，則連結(jié)方式有▲種．15．若,，點(diǎn)在線段（含端點(diǎn)）上移動(dòng)，則的最小值為▲．16．設(shè)是定義在上的函數(shù)，且有唯一解或無解，且對(duì)任意,均有，請(qǐng)寫出一個(gè)符合條件的▲．四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（本題滿分10分）在銳角△中，角所對(duì)的邊分別為，已知．（Ⅰ）求角的大??；（Ⅱ）若，求△內(nèi)切圓半徑的取值范圍．18．（本題滿分12分）已知數(shù)列為等差數(shù)列，其中，，前n項(xiàng)和為，數(shù)列滿足，（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（IⅠ）求證：數(shù)列中的任意三項(xiàng)均不能構(gòu)成等比數(shù)列．19．（本題滿分12分）如圖，為圓柱的一條母線，且．過點(diǎn)且不與圓柱底面平行的平面與平面垂直，軸與交于點(diǎn)，平面截圓柱的側(cè)面得到一條閉合截線，截線與平面的另一交點(diǎn)為．已知該截線為一橢圓，且和分別為其長(zhǎng)軸和短軸，為其中心．為在上底面內(nèi)的射影．記橢圓的離心率為．（Ⅰ）求的取值范圍；（IⅠ）當(dāng)時(shí)，求直線與平面所成的角的正弦值．20．（本題滿分12分）七選五型選擇題組是許多類型考試的熱門題型。為研究此類題型的選拔能力，建立以下模型。有數(shù)組和數(shù)組，規(guī)定與相配對(duì)則視為“正確配對(duì)”，反之皆為“錯(cuò)誤配對(duì)”。設(shè)為時(shí)，對(duì)于任意都不存在“正確配對(duì)”的配對(duì)方式數(shù)，即錯(cuò)排方式數(shù)。 （I）請(qǐng)直接寫出的值 （II）已知（i）對(duì)和進(jìn)行隨機(jī)配對(duì)，記為“正確配對(duì)”的個(gè)數(shù)。請(qǐng)寫出的分布列并求；（ii）試給出的證明.21．（本題滿分12分）已知拋物線，焦點(diǎn)為。過拋物線外一點(diǎn)（不在軸上）作拋物線的切線，其中為切點(diǎn)，兩切線分別交軸于點(diǎn)．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）證明：（i）是與的等比中項(xiàng)；（ii）平分.22．（本題滿分12分）已知函數(shù).（Ⅰ）求函數(shù)的極值；（Ⅱ）證明：（i）；（ii）（，且）參考答案一、選擇題I：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．C 2．A 4．B 5．B 6．A 7．D 8．C二、選擇題II：本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分9．CD 10．BD 12．BCD三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13． 14．14 15． 16．或四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．【解析】（Ⅰ）因?yàn)椋?故 （Ⅱ）由正弦定理： 故 因?yàn)樵阡J角△中，所以得，所以．18．【解析】（I）因?yàn)榈炔顢?shù)列滿足，，所以，所以，所以，所以（II）設(shè)數(shù)列中任意三項(xiàng)，，則，假設(shè)成等比數(shù)列，則即因?yàn)?，所以，所以，即，與矛盾，所以數(shù)列中的任意三項(xiàng)均不能構(gòu)成等比數(shù)列．19．【解析】（i）設(shè)上下底面圓的半徑為，橢圓短軸，當(dāng)移至下底面端點(diǎn)時(shí)，，長(zhǎng)軸的最大值，所以長(zhǎng)軸的取值范圍，則，，所以橢圓離心率的取值范圍是；（ii）當(dāng)離心率時(shí)，即，得，則，即，即點(diǎn)是母線的中點(diǎn)，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，,,,,,,,,設(shè)平面的法向量，則，令，得，，所以，設(shè)直線與平面所成角為，則.20．【解析】（I）（II）(i)012345(ii)分三類情況，和全錯(cuò)配eq\o\ac(○,1)和配對(duì)，余下和（或）。余下部分屬于n個(gè)時(shí)的錯(cuò)配，故總共eq\o\ac(○,2)和配對(duì)，且與配對(duì)。此時(shí)余下部分屬于n-1個(gè)時(shí)的錯(cuò)配，故總共eq\o\ac(○,3)和配對(duì)，且與不配對(duì)。此時(shí)可將等效為，則余下部分屬于n個(gè)時(shí)的錯(cuò)配，故總共綜上：21．【解析】22．【解析】（I）由題：。故易得 有極小值，無極大值（II）（i）要證原式，即證.令∵?！鄷r(shí)，，即在區(qū)間上為增函數(shù)?！?原命題得證。（ii）解法一：時(shí)，顯然成立，假設(shè)時(shí)若成立