現(xiàn)代控制理論.(穩(wěn)定性)第1頁，共56頁，2023年，2月20日，星期六第三章控制系統(tǒng)的李亞普諾夫

穩(wěn)定性§3.1李亞普諾夫第二法概述§3.2李亞普諾夫意義下的穩(wěn)定性§3.3李亞普諾夫穩(wěn)定性定理§3.4線性系統(tǒng)的李亞普諾夫穩(wěn)定性分析第2頁，共56頁，2023年，2月20日，星期六§3.1李亞普諾夫第二法的概述一、物理基礎(chǔ)一個自動控制系統(tǒng)要能正常工作，必須首先是一個穩(wěn)定的系統(tǒng)，即當(dāng)系統(tǒng)受到外界干擾后，顯然它的平衡狀態(tài)被破壞，但在外擾去掉以后，它仍有能力自動地在平衡狀態(tài)下繼續(xù)工作，系統(tǒng)的這種性能，通常叫做穩(wěn)定性，它是系統(tǒng)的一個動態(tài)屬性。第3頁，共56頁，2023年，2月20日，星期六舉例說明：

1.電壓自動調(diào)節(jié)系統(tǒng)--保持電機電壓恒定

2.電機自動調(diào)速系統(tǒng)--保持電機轉(zhuǎn)速一定

3.火箭飛行系統(tǒng)--保持航向為一定具有穩(wěn)定性的系統(tǒng)稱為穩(wěn)定系統(tǒng)。不具有穩(wěn)定性的系統(tǒng)稱為不穩(wěn)定系統(tǒng)。第4頁，共56頁，2023年，2月20日，星期六穩(wěn)定性概念

系統(tǒng)的穩(wěn)定性--系統(tǒng)在受到外界干擾后，系統(tǒng)偏差量（被調(diào)量偏離平衡位置的數(shù)值）過渡過程的收斂性，

用數(shù)學(xué)方法表示就是：第5頁，共56頁，2023年，2月20日，星期六現(xiàn)代控制理論的優(yōu)點線性定常系統(tǒng)穩(wěn)定性判斷—1.勞斯-赫爾維茨判劇2.奈奎斯特穩(wěn)定判劇現(xiàn)代控制系統(tǒng)—結(jié)構(gòu)復(fù)雜，非線性或時變,上述穩(wěn)定判劇難以勝任;通用的方法是李亞普諾夫第二法.第6頁，共56頁，2023年，2月20日，星期六李亞普諾夫穩(wěn)定性判據(jù)1982年，李亞普諾夫歸納出兩種方法

李亞普諾夫第一法:解系統(tǒng)的微分方程，然后根據(jù)解的性質(zhì)來判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。如果特征方程的根全部具有負(fù)實部，則系統(tǒng)在工作點附近是穩(wěn)定的.李亞普諾夫第二法（也稱直接法）:不必求解系統(tǒng)的微分方程式，就可以對系統(tǒng)的穩(wěn)定性進行分析判斷，而且給出的穩(wěn)定信息不是近似的。它提供了判別所有系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法。第7頁，共56頁，2023年，2月20日，星期六

李亞普諾夫第二法建立的物理事實：

如果一個系統(tǒng)的某個平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定的，即:

那么隨著系統(tǒng)的運動，其貯存的能量將隨著時間的增長而衰減，直至趨于平衡狀態(tài)而能量趨于極小值。第8頁，共56頁，2023年，2月20日，星期六

對系統(tǒng)而言，并沒有這樣的直觀性，因此，李亞普諾夫引入了“廣義能量函數(shù)”，稱之為李亞普諾夫函數(shù)，表示為,它是狀態(tài)和時間t的函數(shù)。

如果動態(tài)系統(tǒng)是穩(wěn)定的，則僅當(dāng)存在依賴于狀態(tài)變量的李亞普諾夫函數(shù)對任意（平衡點）時，成立，且對時，才有。第9頁，共56頁，2023年，2月20日，星期六

李亞普諾夫第二法可歸結(jié)為:1.在不直接求解的前提下，

2.通過李亞普諾夫函數(shù)的符號

3.及其對時間的一次導(dǎo)數(shù)的符號

就可給出系統(tǒng)平衡狀態(tài)穩(wěn)定性的信息。

應(yīng)用李亞普諾夫穩(wěn)定理論的關(guān)鍵:能否找到一個合適的李亞普諾夫函數(shù)!

--尚未有一個簡便的、一般性的方法！第10頁，共56頁，2023年，2月20日，星期六*由于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)日益復(fù)雜，對李亞普諾夫穩(wěn)定理論的研究和應(yīng)用受到人們的重視；*特別是在從典型的數(shù)學(xué)函數(shù)及非線性特性出發(fā)尋求李亞普諾夫函數(shù)方面頒有進展。*李亞普諾夫函數(shù)是對前述的不具有直觀性的物理事實的表現(xiàn)，這個“廣義能量”概念與能量概念又不完全相同。

李亞普諾夫函數(shù)的選取不是唯一的！很多情況下李亞普諾夫函數(shù)可取為二次型二次型及其定號性，是該理論的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。第11頁，共56頁，2023年，2月20日，星期六二、數(shù)學(xué)基礎(chǔ)(二次型及其定號性)

1．二次型n個變量的二次齊次多項式:

稱為二次型。式中，是二次型的系數(shù)。設(shè)，既對稱且均為實數(shù)。第12頁，共56頁，2023年，2月20日，星期六用矩陣表示二次型較為方便，即必須指出，二次型是一個標(biāo)量，最基本的特性就是它的定號性，也就是V(X)在坐標(biāo)原點附近的特性。第13頁，共56頁，2023年，2月20日，星期六定號性

(1)正定性當(dāng)且僅當(dāng)X=0時，才有V(X)=0；對任意非零X，恒有V(X)＞0，則V(X)為正定。

(2)負(fù)定性當(dāng)且僅當(dāng)X＝0時．才有V(X)＝0；對任意非零X，恒有V(X)＜0，則V(X)為負(fù)定。

(3)正半定性與負(fù)半定性如果對任意X≠0，恒有V(X)≥0，則V(X)為正半定。如果對任意X≠0，恒有V(X)≤0，則V(X)為負(fù)半定。

(4)不定性如果無論取多么小的零點的某個鄰域,V(X)可為正值也可為負(fù)值．則V(X)為不定。第14頁，共56頁，2023年，2月20日，星期六賽爾維斯特準(zhǔn)則①二次型或?qū)ΨQ矩陣P為正定的充要條件是P的主子行列式均為正，即如果則P為正定，即V(X)正定。②二次型或?qū)ΨQ陣P為負(fù)定的充要條件是：

P的主子行列式滿足(為奇數(shù))；(為偶數(shù))=1,2,…,。

返回第15頁，共56頁，2023年，2月20日，星期六§3.2李亞普諾夫意義下的穩(wěn)定性研究系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題，實質(zhì)上是研究系統(tǒng)平衡狀態(tài)的情況。一般說來，系統(tǒng)可描述為

式中X為n維狀態(tài)向量。當(dāng)在任意時間都能滿足(3.1)時，稱為系統(tǒng)的平衡狀態(tài)。凡滿足式(3.1)的一切X值均是系統(tǒng)的平衡點，對于線性定常系統(tǒng)

，A為非奇異時,X=0是其唯一的平衡狀態(tài)，如果A是奇異的．則式(3.1)有無窮多解，系統(tǒng)有無窮多個平衡狀態(tài)。對于非線性系統(tǒng)，有一個或多個平衡狀態(tài)。第16頁，共56頁，2023年，2月20日，星期六由式(3.1)可知，在系統(tǒng)的平衡點，狀態(tài)變量的變化率為0，由古典控制理論知道，該點即為奇點，因此，系統(tǒng)微分方程式的奇點代表的就是系統(tǒng)在運動過程中的平衡點。任何彼此孤立的平衡點，均可以通過坐標(biāo)的變換，將其移到坐標(biāo)原點，這就是經(jīng)常以坐標(biāo)原點作為平衡狀態(tài)來研究的原因，因此常用的連續(xù)系統(tǒng)的平衡狀態(tài)表達(dá)式為對同一問題用不同理論去研究．會得到不同含義的結(jié)果與解釋。如非線性系統(tǒng)中的自由振蕩，古典的穩(wěn)定性理論認(rèn)為是不穩(wěn)定的，而李亞普諾夫穩(wěn)定性理論則認(rèn)為是穩(wěn)定的。第17頁，共56頁，2023年，2月20日，星期六因此，明確李亞普諾夫意義下的穩(wěn)定定義是重要的。

系統(tǒng)的狀態(tài)方程為

設(shè)且系統(tǒng)的平衡狀態(tài)為。有擾動使系統(tǒng)在時的狀態(tài)為，產(chǎn)生初始偏差，則后系統(tǒng)的運動狀態(tài)從開始隨時間發(fā)生變化。

由數(shù)學(xué)中數(shù)的概念知道，表示初始偏差都在以為半徑，以平衡狀態(tài)為中心的閉球域S()里，其中稱為范數(shù)，分別為與的分量。第18頁，共56頁，2023年，2月20日，星期六同樣表示平衡狀態(tài)偏差都在以為半徑，以平衡狀態(tài)為中心的閉球域:S()里。式中范數(shù)

為X的分量。第19頁，共56頁，2023年，2月20日，星期六下面用二維空間圖3.1來說明李亞普諾夫定義下的穩(wěn)定性。

第20頁，共56頁，2023年，2月20日，星期六1．穩(wěn)定與一致穩(wěn)定設(shè)為動力學(xué)系統(tǒng)的一個孤立平衡狀態(tài)。如果對球域S()或任意正實數(shù)＞0，都可找到另一個正實數(shù)或球域S()，當(dāng)初始狀態(tài)滿足時，對由此出發(fā)的X

的運動軌跡有，則此系統(tǒng)為李亞普諾夫意義下的穩(wěn)定。如果與初始時刻無關(guān)，則稱平衡狀態(tài)為一致穩(wěn)定。

第21頁，共56頁，2023年，2月20日，星期六2．漸近穩(wěn)定和一致漸近穩(wěn)定設(shè)為動力學(xué)系統(tǒng)的一個孤立平衡狀態(tài)，如果是穩(wěn)定的，且從充分靠近的任一初始狀態(tài)出發(fā)的運動軌跡

有或即收斂于平衡狀態(tài)，則稱平衡狀態(tài)為漸近穩(wěn)定。如果與初始時刻無關(guān)，則稱平衡狀態(tài)為一致漸近穩(wěn)定。漸近穩(wěn)定性等價于工程意義上的穩(wěn)定性。第22頁，共56頁，2023年，2月20日，星期六如果對狀態(tài)空間中的任意點，不管初始偏差有多大，都有漸近穩(wěn)定特性。即對所有點都成立，稱平衡狀態(tài)為大范圍漸近穩(wěn)定?？梢?，這樣的系統(tǒng)只能有一個平衡狀態(tài)。由于線性定常系統(tǒng)有唯一解，所以如果線性定常系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的，則它一定也是大范圍內(nèi)漸近穩(wěn)定的。第23頁，共56頁，2023年，2月20日，星期六在控制工程中．確定大范圍內(nèi)漸近穩(wěn)定的范圍是很重要的，因為漸近穩(wěn)定性是個局部概念，知道漸近穩(wěn)定的范圍，才能明確這一系統(tǒng)的抗干擾程度、從而可設(shè)法抑制干擾，使它滿足系統(tǒng)穩(wěn)定性的要求。古典理論的穩(wěn)定性概念，只牽涉到小的擾動，沒有涉及大范圍擾動的問題，因此它是有局限性的。第24頁，共56頁，2023年，2月20日，星期六3．不穩(wěn)定

如果平衡狀態(tài)既不是漸近穩(wěn)定的，也不是穩(wěn)定的，當(dāng)并無限增大時，從出發(fā)的運動軌跡最終超越域，則稱平衡狀態(tài)為不穩(wěn)定的。

返回第25頁，共56頁，2023年，2月20日，星期六§3.3李亞普諾夫穩(wěn)定性定理

定理3.1

設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為式中，如果有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)的標(biāo)量函數(shù)存在，并且滿足以下條件：是正定的；是負(fù)定的。則在原點處的平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定的。如果隨著有，則在原點處的平衡狀態(tài)是在大范圍內(nèi)漸近穩(wěn)定的。第26頁，共56頁，2023年，2月20日，星期六例3.1設(shè)系統(tǒng)方程為

試確定其平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。第27頁，共56頁，2023年，2月20日，星期六解:很明顯，原點是給定系統(tǒng)的唯一平衡狀態(tài)，選取一個正定的標(biāo)量函數(shù)為則將系統(tǒng)方程代人上式得

（V(X)為正定）又由于時，，因此系統(tǒng)在平衡點(0，0)是大范圍漸近穩(wěn)定的。第28頁，共56頁，2023年，2月20日，星期六定理3.2設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為式中，。如果存在一標(biāo)量函數(shù)，它有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，且滿足以下條件：是正定的；是負(fù)半定的；對任意和任意在時不恒等于零。則在原點處的平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定的。如果還有時，，則為大范圍漸近穩(wěn)定。式中表示時從出發(fā)的解軌跡。第29頁，共56頁，2023年，2月20日，星期六由于不是負(fù)定的，而只是負(fù)半定的，則典型點的軌跡可能與某個特定的曲面相切。然而，由于對于任意和任意在時不恒等于零，所以典型點就不可能保持在切點處(在切點上），而必須運動到原點。第30頁，共56頁，2023年，2月20日，星期六例3.2設(shè)系統(tǒng)方程為確定系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。

解:顯然，原點(0，0)為給定系統(tǒng)的唯一平衡狀態(tài)。選取標(biāo)準(zhǔn)型二次函數(shù)為李氏函數(shù)，即

（V(X)為正定）當(dāng)時，因此是負(fù)半定的。第31頁，共56頁，2023年，2月20日，星期六下面我們進一步分析的定號性，即當(dāng)時，是否恒等于零。由于恒等于零，必需要求在時恒等于零，而恒等于零又必需要求恒等于零。但從狀態(tài)方程來看，在時，要使和，必需滿足等于零的條件。這表明只可能在原點處恒等于零，因此系統(tǒng)在原點處的平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定的。又由于時,有，所以系統(tǒng)在原點處的平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定的。第32頁，共56頁，2023年，2月20日，星期六若在例中選取如下正定函數(shù)為李氏函數(shù)，即則是負(fù)定的。而且當(dāng)時，有所以系統(tǒng)在原點處的平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定的。由以上分析看出，選取不同的李氏函數(shù)，可能使問題分析得出不同的結(jié)果。上面第二種情況下的選擇，消除了進一步對判別的必要性。第33頁，共56頁，2023年，2月20日，星期六定理3.3設(shè)系統(tǒng)方程為式中，。如果存在一標(biāo)量函數(shù)，它具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，且滿足以下條件：是正定的；是負(fù)半定的，但在某一X值恒為零。則系統(tǒng)在原點處的平衡狀態(tài)在李亞普諾夫定義下是穩(wěn)定的。但非漸近穩(wěn)定。這時系統(tǒng)可以保持在一個穩(wěn)定的等幅振蕩狀態(tài)上。第34頁，共56頁，2023年，2月20日，星期六例3.3系統(tǒng)方程為

試確定系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。

解顯然，原點為平衡狀態(tài)。選取正定函數(shù)為李氏函數(shù)，即則由上式可見，在任意X值上均可保持為零，則系統(tǒng)在李亞普諾夫定義下是穩(wěn)定的．但不是漸近穩(wěn)定的。第35頁，共56頁，2023年，2月20日，星期六定理3.4設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為式中，。如果存在一標(biāo)量函數(shù)，它具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，且滿足以下條件：在原點的某一領(lǐng)域內(nèi)是正定的；在同樣的領(lǐng)域內(nèi)是正定的；則在原點處的平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的。第36頁，共56頁，2023年，2月20日，星期六例3.4設(shè)時變系統(tǒng)的狀態(tài)方程為顯然坐標(biāo)原點為其平衡狀態(tài)。試判斷系統(tǒng)在坐標(biāo)原點處平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。第37頁，共56頁，2023年，2月20日，星期六解

可以找一個函數(shù)為顯然，為一變量函數(shù)，在平面上的第一、三象限內(nèi)，有是正定的。在此區(qū)域內(nèi)取的全導(dǎo)數(shù)得所以當(dāng)時，因此根據(jù)定理4可知，系統(tǒng)在坐標(biāo)原點處的平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的。

返回第38頁，共56頁，2023年，2月20日，星期六§3.4線性系統(tǒng)的李亞普諾夫穩(wěn)定性分析

由李亞普諾夫穩(wěn)定理論可知，在尋求函數(shù)時，要使

和具有定號性，兩者的符號相反，表示穩(wěn)定；兩者的符號相同，表示不穩(wěn)定；或者希望或中至少有一個是定號的，才能對穩(wěn)定性進行判斷。因此在構(gòu)造函數(shù)時，或者先試構(gòu)造出是正定的，然后考察的符號；或者先給出是負(fù)定的，然后確定是否為正定；或者使為正定，從系統(tǒng)穩(wěn)定性要求出發(fā)，推導(dǎo)出對于系統(tǒng)的限制。由上一節(jié)例題可見，對于某些簡單系統(tǒng)，特別是線性系統(tǒng)或近似線性系統(tǒng)，通常可取為X的二次型。第39頁，共56頁，2023年，2月20日，星期六一、線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析設(shè)線性定常系統(tǒng)為(3.2)式中，為維狀態(tài)向量，是X常系數(shù)矩陣，假設(shè)是非奇異矩陣。因為判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性，主要取決自由響應(yīng)，所以令控制作用=0，由系統(tǒng)狀態(tài)方程知，系統(tǒng)唯一的平衡狀態(tài)是原點。對于式(3.2)確定的系統(tǒng)，選取如下形式的正定無限大

函數(shù)，即式中，P是一個正定的赫米特矩陣(即復(fù)空間內(nèi)的二次型，如果X是一個實向量．則可取正定的實對稱矩陣)。沿軌跡的導(dǎo)數(shù)為第40頁，共56頁，2023年，2月20日，星期六第41頁，共56頁，2023年，2月20日，星期六對于系統(tǒng)在大范圍內(nèi)漸近穩(wěn)定性來說，要求是負(fù)定的，因此必須有為負(fù)定。式中(3.3)由上式可知，在已知P是正定的條件下，找到滿足式(3.3)的一個赫米特矩陣(或?qū)崒ΨQ短陣)Q是正定的，則由式(3.2)描述的系統(tǒng)在原點處的平衡狀態(tài)，必是大范圍內(nèi)漸近穩(wěn)定的。這樣得到如下定理。第42頁，共56頁，2023年，2月20日，星期六定理3.5設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為式中，是維狀態(tài)向量，是×常系數(shù)矩陣，且是非奇異的。若給定一個正定的赫米特矩陣(包括實對稱矩陣)Q

，存在一個正定的赫米特矩陣(或?qū)崒ΨQ矩陣)P，使得滿足如下矩陣方程則系統(tǒng)在X＝0處的平衡狀態(tài)是大范圍內(nèi)漸近穩(wěn)定的，而標(biāo)量函數(shù)就是系統(tǒng)的李亞普諾夫函數(shù)。對該定理需要說明如下幾點。第43頁，共56頁，2023年，2月20日，星期六①如果沿任意一條軌跡不恒等于零，則Q可取做半正定矩陣。②該定理闡述的條件，是充分且必要的。

③因為正定對稱矩陣Q的形式可任意給定，且最終的判斷結(jié)果將和Q的不同形式選擇無關(guān)，所以通常取Q＝I(單位陣)較為方便。這樣線性系統(tǒng)平衡狀態(tài)X＝0為漸近穩(wěn)定的充要條件為：存在一個正定對稱矩陣P，滿足矩陣方程④將上述定理同從的特征值分布來分析系統(tǒng)穩(wěn)定性聯(lián)系起來看，它實際上就是中矩陣的特征值均具有負(fù)實部的充要條件。第44頁，共56頁，2023年，2月20日，星期六可以證明，要求特征值均具有小于某一數(shù)

值的負(fù)實部，即的充要條件

(即考慮衰減程度)是：對任意給定的正定對稱矩陣Q，存在正

定對稱陣P，它為矩陣方程的解。第45頁，共56頁，2023年，2月20日，星期六證明用上述定理考察系統(tǒng)，若特征值均具有負(fù)實部(充要條件是對任意正定對稱矩陣Q，存在正定對稱矩陣P，滿足)，對系統(tǒng)作平移變換,將代替上式中的A，則有即:第46頁，共56頁，2023年，2月20日，星期六例3.5

設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為顯然，坐標(biāo)原點是系統(tǒng)的一個平衡狀態(tài)，試確定系統(tǒng)在這一平衡狀態(tài)下的漸近穩(wěn)定性條件，并求出系統(tǒng)的李亞普諾夫函數(shù)。第47頁，共56頁，2023年，2月20日，星期六解設(shè)系統(tǒng)的李亞普諾夫函數(shù)為式中P由下式?jīng)Q定取Q=I，得展開得解上式得第48頁，共56頁，2023年，2月20日，星期六式中，叫作系統(tǒng)方程中矩陣A的跡(代表矩陣A的主對角線上的各