數(shù)列不等式專項(xiàng)練一、單選題1．已知數(shù)列滿足，，令，若對(duì)于任意不等式恒成立，則實(shí)數(shù)t的取值范圍為（）A．B．C．D．2．已知數(shù)列的首項(xiàng)為，且，若，則的取值范圍是（）A．B．C．D．3．已知數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為1的等差數(shù)列，數(shù)列滿足．若對(duì)任意的，都有成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A．，B．C．，D．4．?dāng)?shù)學(xué)家也有許多美麗的錯(cuò)誤，如法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬于1640年提出猜想：是質(zhì)數(shù)，直到1732年才被善于計(jì)算的大數(shù)學(xué)家歐拉算出不是質(zhì)數(shù)，現(xiàn)設(shè)，若任意，使不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A．B．C．D．5．已知數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，設(shè)，，則當(dāng)時(shí)，的最小值是（）A．9B．10C．11D．126．已知數(shù)列滿足：，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若恒成立，則的取值范圍是（）A．B．C．D．7．已知數(shù)列中，其前項(xiàng)和為，且滿足，數(shù)列的前項(xiàng)和為，若對(duì)恒成立，則實(shí)數(shù)的值可以是（）A．B．2C．3D．8．?dāng)?shù)列滿足，且，若，則的最小值為（）A．B．C．D．9．已知數(shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，設(shè)，，則當(dāng)時(shí)，n的最大值是（）A．8B．9C．10D．1110．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列，公比為，且.則“”是“”的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分又不必要條件二、填空題11．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，首項(xiàng)且，若對(duì)任意的恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為___________.12．已知數(shù)列滿足，，若不等式對(duì)任意恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.13．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，若對(duì)于任意的，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為____________.三、解答題14．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為.從下面①②③中選擇其中一個(gè)作為條件解答試題，若選擇不同條件分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分.①數(shù)列是等比數(shù)列，，且，，成等差數(shù)列；②數(shù)列是遞增的等比數(shù)列，，；③.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)已知數(shù)列的前項(xiàng)的和為，且.證明：.15．設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，數(shù)列．(1)求和的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，證明：．16．已知數(shù)列滿足，，且對(duì)任意，都有．(1)求證：是等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；(2)求使得不等式成立的最大正整數(shù)m．17．已知數(shù)列滿足，．(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)令，若對(duì)任意n∈N*，都有，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．18．已知數(shù)列是等差數(shù)列，且，求：(1)的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，若對(duì)任意恒成立，求的最小值．1．D【詳解】，，，由累加法可得，又，，符合上式，，，對(duì)于任意不等式恒成立，則，解得.故選：D2．C【詳解】因?yàn)?，可得，所以，所以，各式相加可得，所以，由，可得恒成立，整理得恒成立，?dāng)時(shí)，，不等式可化為恒成立，所以；當(dāng)時(shí)，，不等式可化為恒成立；當(dāng)時(shí)，，不等式可化為恒成立，所以，綜上可得，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：C.3．D【詳解】解：根據(jù)題意：數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為1的等差數(shù)列，所以，由于數(shù)列滿足，所以對(duì)任意的都成立，故數(shù)列單調(diào)遞增，且滿足，，所以，解得．故選：．4．A【詳解】，由于，則，，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，即，故，解得或，故選：A．5．B【詳解】是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，，是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，，，而，所以數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，且，，，，所以．所以當(dāng)時(shí)，n的最小值是10．故選:B．6．D【詳解】，故，故恒成立等價(jià)于，即恒成立，化簡(jiǎn)得到，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以．故選：D7．D【詳解】若n=1，則，故；若，則由得，故，所以，，又因?yàn)閷?duì)恒成立，當(dāng)時(shí)，則恒成立，當(dāng)時(shí)，，所以，，，若n為奇數(shù)，則；若n為偶數(shù)，則，所以所以，對(duì)恒成立，必須滿足.故選：D8．B【詳解】因?yàn)椋仁絻蛇呁瑫r(shí)乘以可得，所以，且，所以，數(shù)列是等差數(shù)列，且首項(xiàng)和公差都為，則，所以，，因?yàn)?當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，即數(shù)列從第二項(xiàng)開始單調(diào)遞減，因?yàn)?，，故?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以，，則的最小值為.故選：B.9．B【詳解】解：因?yàn)閿?shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列所以因?yàn)槭且?為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列所以由得：當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以n的最大值是.故選：B.10．A【詳解】由題意，，，，則，因?yàn)?，，若要使即，則需使，即或，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A.11．【詳解】由題設(shè)，，則是首項(xiàng)、公比都為2的等比數(shù)列，所以，則，，則在上遞增，所以，要使恒成立，則.故答案為：12．【詳解】由題意，數(shù)列滿足，，則（常數(shù)），所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，所以，整理得，不等式對(duì)任意恒成立，即對(duì)任意恒成立，即對(duì)任意恒成立，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)數(shù)列為遞增數(shù)列；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)數(shù)列為遞減數(shù)列，又由，所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.13．【詳解】當(dāng)時(shí)，，得，當(dāng)時(shí)，由，得，兩式相減得，得，滿足此式，所以，因?yàn)?，所以?shù)列是以為公比，為首項(xiàng)的等比數(shù)列，所以，所以對(duì)于任意的，不等式恒成立，可轉(zhuǎn)化為對(duì)于任意的，恒成立，即在上恒成立，所以，解得或，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為故答案為：14．(1)(2)證明見解析(1)解：若選①：因?yàn)閿?shù)列是等比數(shù)列，設(shè)公比為，，且，，成等差數(shù)列，所以，解得，所以；若選②：因?yàn)閿?shù)列是遞增的等比數(shù)列，，，所以，所以，，所以；若選③：因?yàn)?，所以，兩式相減可得，即，又時(shí)，，所以，所以數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以；(2)證明：由（1）知，所以，因?yàn)?，所以，?15．(1)，(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)可得，從而可得；（2）利用錯(cuò)位相減法可得，從而可得，又，即可證明不等式成立.(1)解：∵，∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴，經(jīng)檢驗(yàn)，也符合，∴，；(2)證明：因?yàn)?，∴，∴∴，又∵，∴，所以?6．(1)證明見解析；(2)【分析】(1)由條件可得從而可證明，再根據(jù)累加法可求出的通項(xiàng)公式.(2)由錯(cuò)位相減法求出的表達(dá)式，然后再解不等式從而得出答案.（1）由，得，所以是等比數(shù)列.所以從而所以，．（2）設(shè)即，所以，，于是，．因?yàn)?，且，所以，使成立的最大正整?shù)．17．(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)題目中的遞推公式和等差數(shù)列的定義證明即可；（2）首先可得，，然后判斷出{}的單調(diào)性，得到其最大的一項(xiàng)，然后可得答案.(1)證明：由an，得，∴，即，n∈N*，故數(shù)列是以為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列；(2)由（1）得，∴．依題意，恒成立．其中．下面通過判斷{}的單調(diào)性，求其最大值．由，所以當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)∴，則，解得t或t3．∴實(shí)數(shù)t的取值范圍是．18．(1)(2)9【分析】（1）根