列方程解應(yīng)用題的四種策略

列方程解應(yīng)用題是數(shù)學(xué)教學(xué)中的難點，同時也是學(xué)生學(xué)習(xí)的一個難點，加之有的應(yīng)用題不僅閱讀量大，而且所涉及的知識層面相對專業(yè)，導(dǎo)致部分同學(xué)沒有耐心將題目讀完，更談不上解題了。那么，解應(yīng)用題究竟有哪些策略呢？為了幫助同學(xué)們克服困難，啟迪思維，培養(yǎng)列方程解應(yīng)用題的能力，本文介紹四種列方程解應(yīng)用題的策略。一般地，應(yīng)用題都包含三個部分——陳述部分、關(guān)系部分和提問部分。陳述部分是指表述題目所涉及的一些背景信息和已知量的語句；關(guān)系部分是指表述題中所涉及的一些量之間的數(shù)量關(guān)系的語句；提問部分是指表述題目中所需求的未知量的語句。列方程解應(yīng)用題，關(guān)鍵是理清題中涉及的數(shù)量關(guān)系，并把這種數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為相等關(guān)系，從而得到方程。這里尤需注意的是：依據(jù)數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為相等關(guān)系時，必須把所求的未知量包含進去，這樣才是有效的。一、直譯法如果題目中量與量之間的數(shù)量關(guān)系比較清晰，尤其是相等關(guān)系十分明確，那就可以把這個相等的數(shù)量關(guān)系直接譯成等式。所謂量與量之間的相等關(guān)系十分明確，是指題目關(guān)系部分中的連接詞是以“是”、“等于”、“與……相等”等之類的詞呈現(xiàn)。例1（2010年徐州市中考題）在5月舉行的“愛心捐款”活動中，某校九(1)班共捐款300元，九(2)班捐款225元，已知九(1)班的人均捐款額是九(2)班的1.2倍，且九(1)班人數(shù)比九(2)班多5人。問兩班各有多少人。分析陳述部分：九(1)班共捐款300元，九(2)班共捐款225元。關(guān)系部分：九(1)班的人均捐款額是九(2)班的1.2倍，九(1)班人數(shù)比九(2)班多5人。其中連接詞為“是”。提問部分：兩班各有多少人。若設(shè)九(2)班有x人，則九(1)班有(x+5)人；九(1)班的人均捐款額為元，九(2)班的人均捐款額為元；九(2)班人均捐款額的1.2倍為1.2×元。依據(jù)關(guān)系部分“是”，將上述的數(shù)量關(guān)系直譯成方程得：，解得x=45。經(jīng)檢驗x=45是原方程的根。故九(1)、九(2)兩班分別有50人和45人。例2（2008年長春市中考題）小明和小東各有課外讀物若干本，小明課外讀物的數(shù)量是小東的2倍，小明送給小東10本后，小東課外讀物的數(shù)量是小明剩余數(shù)量的3倍，小明和小東原來各有課外讀物多少本？分析陳述部分：小明和小東各有課外讀物若干本。關(guān)系部分：小明課外讀物的數(shù)量是小東的2倍，小明送給小東10本后，小東課外讀物的數(shù)量是小明剩余數(shù)量的3倍。其中連接詞為“是”。提問部分：小明和小東原來各有課外讀物多少本。設(shè)小東原來有課外讀物x本。送出前：小明是2x本，小東x本；送出后：小明的剩余數(shù)量為(2x-10)本，3倍為3(2x-10)本，小東為(x+10)本。依據(jù)關(guān)系部分“是”，將上述的數(shù)量關(guān)系直譯成方程得：x+10=3(2x-10)。解得x=8。故小明和小東原來分別有課外讀物16本和8本。二、扯平法有些應(yīng)用題的關(guān)系部分中，量與量之間的關(guān)系不是直接的相等關(guān)系。換句話說，看到的不是帶有“是”、“等于”、“與……相等”等之類的連接詞，而是帶有“多”、“少”之類的連接詞。這就需要將“多”、“少”的關(guān)系“扯平”，即化為“相等”關(guān)系。具體方法是：多－少＝差；多－差＝少；少+差＝多。由此可見，要把“多”、“少”關(guān)系“扯平”，其關(guān)鍵在于找出誰多、誰少，多多少、少多少。例3（2010年揚州市中考題）為了迎接揚州煙花三月經(jīng)貿(mào)旅游節(jié)，某學(xué)校計劃由七年級(1)班的3個小組（每個小組人數(shù)都相等）制作240面彩旗。后因一個小組另有任務(wù)，改由另外兩個小組完成制作彩旗的任務(wù)，這樣這兩個小組的每一名學(xué)生就要比原計劃多做4面彩旗。如果每名學(xué)生制作彩旗的面數(shù)相等，那么每個小組有多少學(xué)生？分析陳述部分：為了迎接揚州煙花三月經(jīng)貿(mào)旅游節(jié)，某學(xué)校計劃由七年級(1)班的3個小組（每個小組人數(shù)都相等）制作240面彩旗。關(guān)系部分：后因一個小組另有任務(wù)，改由另外兩個小組完成制作彩旗的任務(wù)，這兩個小組的每一名學(xué)生就要比原計劃多做4面彩旗。提問部分：每個小組有多少學(xué)生。需要扯平的數(shù)量關(guān)系：現(xiàn)在這兩個小組的每一名學(xué)生所做彩旗面數(shù)和原計劃每一名學(xué)生所做彩旗面數(shù)。多：現(xiàn)在這兩個小組的每一名學(xué)生所做的彩旗面數(shù)a。少：原計劃3個小組的每一名學(xué)生所做的彩旗面數(shù)b。差：4面扯平為相等關(guān)系：a-b=4。解設(shè)每個小組有x名學(xué)生，依題意，得：解得x=10，經(jīng)檢驗：x=10是原方程的根。答：每個小組有10名學(xué)生。例4（2010年珠海市）為了提高產(chǎn)品的附加值，某公司計劃將研發(fā)生產(chǎn)的1200件新產(chǎn)品進行精加工后再投放市場?，F(xiàn)有甲、乙兩個工廠都具備加工能力，公司派出相關(guān)人員分別到這兩間工廠了解情況，獲得如下信息：信息一：甲工廠單獨加工完成這批產(chǎn)品比乙工廠單獨加工完成這批產(chǎn)品多用10天；信息二：乙工廠每天加工的數(shù)量是甲工廠每天加工數(shù)量的1.5倍。根據(jù)以上信息，求甲、乙兩個工廠每天分別能加工多少件新產(chǎn)品？分析陳述部分：某公司計劃將研發(fā)生產(chǎn)的1200件新產(chǎn)品進行精加工后再投放市場。關(guān)系部分：甲工廠單獨加工完成這批產(chǎn)品比乙工廠單獨加工完成這批產(chǎn)品多用10天；乙工廠每天加工的數(shù)量是甲工廠每天加工數(shù)量的1.5倍。提問部分：甲、乙兩個工廠每天分別能加工多少件新產(chǎn)品。需要扯平的關(guān)系：甲、乙兩個工廠單獨加工完成這批產(chǎn)品所需的天數(shù)。多：甲工廠單獨加工完成這批產(chǎn)品所需天數(shù)。少：乙工廠單獨加工完成這批產(chǎn)品所需天數(shù)。差：10天。扯平為相等關(guān)系：。解設(shè)甲工廠每天加工x件產(chǎn)品，則乙工廠每天加工1.5x件產(chǎn)品，依題意，得解得：x=40。經(jīng)檢驗：x=40是原方程的根，所以1.5x=60。答：甲工廠每天加工40件產(chǎn)品，乙工廠每天加工60件產(chǎn)品。三、求和法所謂求和法，即根據(jù)總量等于各部分量的和，將題目所涉及各分量進行累加，從而得到方程式。這種情況一般大都出現(xiàn)在工程、行程、分配等問題中。例5（2010年肇慶市）某企業(yè)向玉樹地震災(zāi)區(qū)捐助價值26萬元的甲、乙兩種帳篷共300頂。已知甲種帳篷每頂800元，乙種帳篷每頂1000元，問甲、乙兩種帳篷各多少頂？分析陳述部分：甲種帳篷每頂800元，乙種帳篷每頂1000元。關(guān)系部分：某企業(yè)向玉樹地震災(zāi)區(qū)捐助價值26萬元的甲、乙兩種帳篷共300頂。提問關(guān)系：甲、乙兩種帳篷各多少頂。顯然，本題總量為價值26萬元的甲、乙兩種帳篷。兩個分量分別為企業(yè)所捐贈的甲、乙兩種帳篷的價值。即甲種帳篷的價值+乙種帳篷的價值＝26萬。設(shè)甲種帳篷x頂，則乙種帳篷為(300-x)頂，甲種帳篷的價值為800x元，乙種帳篷的價值為1000(300-x)元。依據(jù)題，得800x+1000(300-x)=260000，解得x=200。答：甲、乙兩種帳篷分別為200頂和100頂。例6（2010年淮安市）玉樹地震后，有一段公路急需搶修。此項工程原計劃由甲工程隊獨立完成，需要20天。在甲工程隊施工4天后，為了加快工程進度，又調(diào)來乙工程隊與甲工程隊共同施工，結(jié)果比原計劃提前10天，為抗震救災(zāi)贏得了寶貴時間，求乙工程隊獨立完成這項工程需要多少天。分析陳述部分：此項工程原計劃由甲工程隊獨立完成，需要20天。關(guān)系部分：在甲工程隊施工4天后，為了加快工程進度，又調(diào)來乙工程隊與甲工程隊共同施工，結(jié)果比原計劃提前10天。即甲工程隊施工4天的工作量+乙工程隊與甲工程隊共同施工的工作量＝總工作量。提問部分：乙工程隊獨立完成這項工程需要多少天。解得x=12。經(jīng)檢驗：x=12是原方程的根。答：乙工程隊獨立完成這項工程需要12天。四、同量異構(gòu)法根據(jù)題目中具體的數(shù)量關(guān)系，用兩種不同的表達式表示同一個未知量，這樣便在兩種不同的表達式之間建立了相等關(guān)系，這就是同量異構(gòu)法。即：某個未知量一種表達式＝這個未知量的另一種表達式。例7某中學(xué)組織七年級學(xué)生春游，如果租用45座客車若干輛，將有10人沒有座位；如果改租用60座客車，則不但可以少用一輛，而且最后一輛還余20個座位；求該年級有多少名學(xué)生參加春游。分析陳述部分：某中學(xué)組織七年級學(xué)生春游。關(guān)系部分：租用45座客車若干輛，將有10人沒有座位；改租用60座客車，則不但可以少用一輛，而且最后一輛還余20個座位。提問部分：該年級有多少名學(xué)生參加春游。在這個問題中，七年級學(xué)生人數(shù)這個未知量是不變的，因而可以選擇它來同量異構(gòu)建立方程，即乘坐45座客車的學(xué)生人數(shù)＝乘坐60座客車的學(xué)生人數(shù)。設(shè)租用45座的客車x輛，根據(jù)兩種不同的租車方案，可以得出七年級學(xué)生人數(shù)分別可以表示為：45x+10和60(x-1)-20。因而，可以列方程：45x+10=60(x-1)-20，解得x=6，45x+10=280。答：該年級有280名學(xué)生參加春游。例8已知水流的速度是3km/h一輪船從甲地順流而下8h到達乙地，原路返回需12h才能到達甲地，求甲乙兩地距離？分析陳述部分：已知水流的速度是3km/h。關(guān)系部分：輪船從甲地順流而下8h到達乙地，原路返回要12h才能到達甲地，即順流8h走的路程二逆流12h走的路程。提問部分：甲乙兩地距離。行程問題中，時間、速度、路程三個量中，往往是一個量已知，另兩個量未知。此時可以設(shè)其中一個量，則以余下的未知量建立等量關(guān)系。此題甲、乙兩地距離及船在靜水中的速度都是不變的，因而可分別選擇它們作為不變量來進行同量異構(gòu)建立方程。方法一：以甲乙兩地距離作為不變量同量異構(gòu)建立方程。設(shè)船在靜水中的速度為xkm/h，則甲乙兩地距離分別可以表示為：8(x+3)和12(x-3)，因而得方程：8(x+3)=12(x-3)，解得x=15，故甲乙兩地距離為8(x+3)=144。