群論在晶體物理中的應用第1頁，共29頁，2023年，2月20日，星期日什么是晶體稍有常識的人都知道，自然界的固體物質(zhì)可以分成兩大類，一類是晶體，另一類是非晶體。但在人們的印象中，晶體似乎是相當罕見的東西，實際上晶體卻是非常常見的一類物體。自然界的冰、雪、組成大地的土壤和巖石中的所有各種礦物，以至我們吃的食鹽、用的金屬材料等等，莫不都是晶體。

第2頁，共29頁，2023年，2月20日，星期日晶體什么樣（1）第3頁，共29頁，2023年，2月20日，星期日晶體什么樣（2）第4頁，共29頁，2023年，2月20日，星期日晶體什么樣（3）第5頁，共29頁，2023年，2月20日，星期日晶體什么樣（4）第6頁，共29頁，2023年，2月20日，星期日這是什么？第7頁，共29頁，2023年，2月20日，星期日晶體的概念晶體(crystal)，是內(nèi)部原子或離子在三維空間成周期性平移重復排列的固體?；蛘哒f，晶體是具有格子構(gòu)造的固體。而晶體的規(guī)則幾何外形，只是晶體內(nèi)部格子構(gòu)造的外在表現(xiàn)。第8頁，共29頁，2023年，2月20日，星期日空間格子不同晶體的具體格子構(gòu)造各不相同，為了消除彼此間在質(zhì)點種類和數(shù)目上不同的差異而提示出晶體構(gòu)造的共同幾何規(guī)律，首先要從具體的晶體格子構(gòu)造中抽象出純幾何圖形的空間格子。

第9頁，共29頁，2023年，2月20日，星期日晶胞空間格子的重復規(guī)律表現(xiàn)在整個空間格子可以被劃分成無數(shù)平行疊置的平行六面體。我們按照下列原則統(tǒng)一劃分平行六面體，并稱之為晶胞。(1)所選平行六面體的對稱性應符合整個空間點陳的對稱性。(2)在不違反對稱的條件下，應選擇棱與棱之間直角關系最多的平行六面體。(3)在遵守前兩個條件下，應選體積最小的平行六面體。(4)當棱交角的關系不為直角時，在遵守前三個條件下，應選結(jié)點間距小的行列作棱，且棱交角要接近直角。第10頁，共29頁，2023年，2月20日，星期日晶體的宏觀對稱晶體的幾何外形等外部性質(zhì)上的對稱，是其內(nèi)部格子構(gòu)造對稱的外在表現(xiàn)。對稱(symmetry)的定義是：物體（或圖形）中，其相同部分之間的有規(guī)律重復。

對稱變換(symmetryconversion)它是指：能夠使對稱物體（或圖形）中的各個相同部分間作有規(guī)律重復的變換動作。對稱要素(symmetryelements)則是指：在進行對稱變換時所憑借的幾何要素——點、線、面等。

第11頁，共29頁，2023年，2月20日，星期日不含平移變換的對稱要素（1）對稱中心：為一假想的幾何點，相應的對稱變換是對于這個點的倒反。對稱面：為一假想的平面，相應的對稱變換為對此平面的反映。對稱軸：為一假想的直線，相應的對稱變換為圍繞此直線的旋轉(zhuǎn)：每轉(zhuǎn)過一定的角度，各個相同部分就發(fā)生一次重復，亦即整個物體復原一次。

第12頁，共29頁，2023年，2月20日，星期日不含平移變換的對稱要素（2）倒轉(zhuǎn)軸：它的輔助幾何要素有兩個：一根假想的直線和此直線上的一個定點。相應的對稱變換就是圍繞此直線旋轉(zhuǎn)一定角度及對于此定點的倒反。

第13頁，共29頁，2023年，2月20日，星期日兩個結(jié)論晶體對稱定律(lawofcrystalsymmetry)指出：在晶體中，只可能出現(xiàn)軸次為一次、二次、三次、四次、六次的對稱軸或倒轉(zhuǎn)軸，而不可能存在五次及高于六次的對稱軸。

在理想晶體中，獨立的對稱要素只有八個，一次軸、二次軸、三次軸、四次軸、六次軸、對稱中心、對稱面，四次倒轉(zhuǎn)軸。對稱中心就是一次倒轉(zhuǎn)軸，對稱面是二次倒轉(zhuǎn)軸，三次倒轉(zhuǎn)軸等于一個三次軸加上一個對稱中心。而六次倒轉(zhuǎn)軸是等同于一個三次軸加一個垂直于該三次軸的一個對稱面。

第14頁，共29頁，2023年，2月20日，星期日物理學坐標系

以立方體為例，建立起物理學坐標系，并介紹關于立方體的對稱操作矩陣。我們以立方體的中心為原點，三個面的法線為坐標軸，構(gòu)成物理學坐標系

第15頁，共29頁，2023年，2月20日，星期日變換操作矩陣的構(gòu)成

以鏡面反映為例，說明變換操作矩陣的構(gòu)成。第16頁，共29頁，2023年，2月20日，星期日對稱操作的符號化

一般我們把不變操作記作E，其矩陣是單位矩陣。中心反演的操作記為I。鏡面反映操作記為。

繞對稱軸旋轉(zhuǎn)一基轉(zhuǎn)角的操作記為，+表示逆時針轉(zhuǎn)，-表示順時針轉(zhuǎn)。

繞倒轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一基轉(zhuǎn)角的操作記為，+表示逆時針轉(zhuǎn)，-表示順時針轉(zhuǎn)。

第17頁，共29頁，2023年，2月20日，星期日對稱操作的規(guī)律（1）

首先，由某一個基本的操作多次地作用，可以產(chǎn)生一組操作，它等效于另外一個操作。第18頁，共29頁，2023年，2月20日，星期日對稱操作的規(guī)律（2）事實上，理想晶形如果有一個對稱操作P，也應有對稱操作Pm，而且存在n使得(P)n=(E)，且m不大于n。

第19頁，共29頁，2023年，2月20日，星期日點群的構(gòu)成我們把晶體宏觀對稱中的理想晶形的所有對稱操作看成元素，把操作的乘法看成運算。(1)對于任何兩個元素R3=R1R2，也是一個操作。

(2)對于不變操作E，對于任何一個對稱操作R，滿足ER=RE。

(3)對于每一個元素R，都有(R)(R)n-1=(E)。則對所有元素R，都存在R-1=Rn-1使得

RR-1=R-1R=E。(4)因為對稱操作完全可以用它們的矩陣代表，所以可知，元素的積滿足結(jié)合律，即：

R1(R2R3)=(R1R2)R3總共有32種點群第20頁，共29頁，2023年，2月20日，星期日相交定理相交定理：有限的理想晶形的任何兩個對稱要素必須相交于一點。

第21頁，共29頁，2023年，2月20日，星期日晶系的劃分根據(jù)點群中高次軸（高于2次的對稱軸）的有無和多少將晶體劃分為三個晶族：高級晶族、中級晶族、低級晶族。再根據(jù)對稱軸或倒轉(zhuǎn)軸軸次的高低及數(shù)目的多少，總共劃分七個晶系：等軸晶系，六方晶系，四方晶系，三方晶系，正交晶系，單斜晶系，三斜晶系。數(shù)學上是通過共軛類進行晶系的劃分的。第22頁，共29頁，2023年，2月20日，星期日幾種點群（1）α-石英：三方晶系，點群32，L33L2第23頁，共29頁，2023年，2月20日，星期日幾種點群（2）方解石：三方晶系，對稱型3m，L33L23PC第24頁，共29頁，2023年，2月20日，星期日幾種點群（3）黃銅礦：四方晶系，點群42m，L4i2L22P第25頁，共29頁，2023年，2月20日，星期日幾種點群（4）金剛石：等軸晶系，點群m3m，3L44L36L29PC晶體單形第26頁，共29頁，2023年，2月20日，星期日準晶體準晶體是1984年確定的一種新的凝聚態(tài)物體。這是由Shechtman和Cahn以及我國學者葉恒強和郭可信分別在快速冷卻的Al12Mn和(Ti0.9V0.1)2Ni合金中各自獨立發(fā)現(xiàn)的。目前認為，準晶體是一種其內(nèi)部結(jié)構(gòu)由多級呈自相似的配位多面體在三維空間作長程定向有序分布的固體。它可具有晶體所不能有的五次或高于六次的對稱。目前已發(fā)現(xiàn)的有五次、八次及十二次對稱軸。第27頁，共29頁，2023年，2月20日，星期日GameOver如果你對晶體很感興趣，還有如下的知識可以去了解：單形、聚形、雙晶、