直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)第1頁，共65頁，2023年，2月20日，星期六以立體幾何的定義、公理和定理為出發(fā)點，認識和理解空間中線面垂直的有關(guān)性質(zhì)與判定定理.第2頁，共65頁，2023年，2月20日，星期六第3頁，共65頁，2023年，2月20日，星期六1.直線與平面垂直第4頁，共65頁，2023年，2月20日，星期六2.直線和平面所成的角

3.二面角的有關(guān)概念第5頁，共65頁，2023年，2月20日，星期六4.平面與平面垂直第6頁，共65頁，2023年，2月20日，星期六[思考探究]垂直于同一平面的兩平面是否平行？

提示：垂直于同一平面的兩平面可能平行，也可能相交.第7頁，共65頁，2023年，2月20日，星期六1.直線a⊥直線b，a⊥平面β，則b與β的位置關(guān)系是(

)A.b⊥β

B.b∥βC.b?βD.b?β或b∥β解析：由垂直和平行的有關(guān)性質(zhì)可知b?β或b∥β.答案：D第8頁，共65頁，2023年，2月20日，星期六2.(文)已知直線a和兩個平面α，β，給出下列四個命題：①若a∥α，則α內(nèi)的任何直線都與a平行；②若a⊥α，則α內(nèi)的任何直線都與a垂直；③若α∥β，則β內(nèi)的任何直線都與α平行；④若α⊥β，則β內(nèi)的任何直都與α垂直.則其中(

)A.②、③為真B.①、②為真C.①、④為真D.③、④為真第9頁，共65頁，2023年，2月20日，星期六解析：若a∥α，則α內(nèi)的無數(shù)直線都與a平行，但不是任意一條，即①不正確；若a⊥α，則α內(nèi)的任何直線都與a垂直，即②正確；若α∥β，則β內(nèi)的任何直線都與α平行，即③正確；若α⊥β，則β內(nèi)有無數(shù)條直線都與α垂直，但不是任意一條，即④不正確.綜上可得②、③為真，故應選A.答案：A第10頁，共65頁，2023年，2月20日，星期六(理)在正方體ABCD－A1B1C1D1中，B1C與對角面DD1B1B所成角的大小是(

)A.15°B.30°C.45°D.60°第11頁，共65頁，2023年，2月20日，星期六解析：如圖所示，連結(jié)AC交BD于O點，易證AC⊥平面DD1B1B，連結(jié)B1O，則∠CB1O即為B1C與對角面所成的角，設(shè)正方體邊長為a，則B1C＝a，CO＝a，∴sin∠CB1O＝.∴∠CB1O＝30°.答案：B第12頁，共65頁，2023年，2月20日，星期六3.已知直線l⊥平面α，直線m?平面β，有下列命題：①α∥β?l⊥m；②α⊥β?l∥m；③l∥m?α⊥β；④l⊥m?α∥β.其中正確的命題是(

)A.①與②B.③與④C.②與④D.①與③第13頁，共65頁，2023年，2月20日，星期六解析：對①，l⊥α，α∥β?l⊥β，又∵m?β，∴l(xiāng)⊥m，∴①正確；對②，α⊥β，l⊥α，則l∥β或l?β，∴l(xiāng)不一定與m平行，∴②錯誤；對③，∵l∥m，l⊥α，∴m⊥α，又m?β，∴α⊥β，∴③正確；④錯誤.答案：D第14頁，共65頁，2023年，2月20日，星期六4.在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，∠ABC＝60°，PC⊥

平面ABC，PC＝4，M是AB上一個動點，則PM的最小值

為

.第15頁，共65頁，2023年，2月20日，星期六解析：∵PC⊥平面ABC，CM?平面ABC，∴PC⊥CM，∴PM＝＝要使PM最小，只需CM最小，此時CM⊥AB，∴CM＝＝2，∴PM的最小值為2.答案：2第16頁，共65頁，2023年，2月20日，星期六5.如圖，平面ABC⊥平面BDC，

∠BAC＝∠BDC＝90°，且AB＝AC＝a，則AD＝

.第17頁，共65頁，2023年，2月20日，星期六解析：取BC中點E，連結(jié)ED、AE，∵AB＝AC，∴AE⊥BC.∵平面ABC⊥平面BDC，∴AE⊥平面BCD.∴AE⊥ED.在Rt△ABC和Rt△BCD中，AE＝ED＝BC＝a，∴AD＝＝a.答案：a第18頁，共65頁，2023年，2月20日，星期六第19頁，共65頁，2023年，2月20日，星期六1.證明直線和平面垂直的常用方法：(1)利用判定定理.(2)利用平行線垂直于平面的傳遞性(a∥b，a⊥α?b⊥α).(3)利用面面平行的性質(zhì)(a⊥α，α∥β?a⊥β).(4)利用面面垂直的性質(zhì).當直線和平面垂直時，該直線垂直于平面內(nèi)的任一直線，

常用來證明線線垂直.第20頁，共65頁，2023年，2月20日，星期六2.直線和平面垂直的性質(zhì)定理可以作為兩條直線平行的

判定定理，可以并入平行推導鏈中，實現(xiàn)平行與垂直

的相互轉(zhuǎn)化，即線線垂直?線面垂直?線線平行?線

面平行.第21頁，共65頁，2023年，2月20日，星期六

(2009·福建高考改編)如圖，平行四邊形ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝2，AD＝4.將△CBD沿BD折起到△EBD的位置，使平面EBD⊥平面ABD.求證：AB⊥DE.第22頁，共65頁，2023年，2月20日，星期六[思路點撥]第23頁，共65頁，2023年，2月20日，星期六[課堂筆記]證明：在△ABD中，∵AB＝2，AD＝4，∠DAB＝60°，∴BD＝＝2.∴AB2＋BD2＝AD2，∴AB⊥BD.又∵平面EBD⊥平面ABD，平面EBD∩平面ABD＝BD，AB?平面ABD，∴AB⊥平面EBD.∵DE?平面EBD，∴AB⊥DE.第24頁，共65頁，2023年，2月20日，星期六本例中，ED與平面ABD垂直嗎？解：由例1知，AB⊥BD，∵CD∥AB，∴CD⊥BD，從而DE⊥BD.又∵平面EBD⊥平面ABD，ED?平面EBD，∴ED⊥平面ABD.第25頁，共65頁，2023年，2月20日，星期六1.證明平面與平面垂直的方法主要有：(1)利用定義證明.只需判定兩平面所成的二面角為直二面角

即可.(2)利用判定定理.在審題時，要注意直觀判斷哪條直線可能

是垂線，充分利用等腰三角形底邊的中線垂直于底邊，

勾股定理等結(jié)論.第26頁，共65頁，2023年，2月20日，星期六2.關(guān)于三種垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化可結(jié)合下圖記憶.第27頁，共65頁，2023年，2月20日，星期六

(2009·江蘇高考)如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E、F分別是A1B、A1C的中點，點D在B1C1上，A1D⊥B1C.求證：(1)EF∥平面ABC；(2)平面A1FD⊥平面BB1C1C.第28頁，共65頁，2023年，2月20日，星期六[思路點撥]第29頁，共65頁，2023年，2月20日，星期六[課堂筆記]

(1)因為E、F分別是A1B、A1C的中點，所以EF∥BC，又EF?平面ABC，BC?平面ABC.所以EF∥平面ABC.(2)因為三棱柱ABC－A1B1C1為直三棱柱，所以BB1⊥平面A1B1C1，所以BB1⊥A1D，第30頁，共65頁，2023年，2月20日，星期六又A1D⊥B1C，B1C∩BB1＝B1.所以A1D⊥平面BB1C1C，又A1D?平面A1FD，所以平面A1FD⊥平面BB1C1C.第31頁，共65頁，2023年，2月20日，星期六兩個平面垂直的性質(zhì)定理，可以作為直線和平面垂直的判定定理，當條件中有兩個平面垂直時，常添加的輔助線是在一個平面內(nèi)作兩平面交線的垂線.第32頁，共65頁，2023年，2月20日，星期六如圖①，四邊形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，將△ABD沿對角線BD折起，記折起后點的位置為P，且使平面PBD⊥平面BCD，如圖②.第33頁，共65頁，2023年，2月20日，星期六(1)求證：平面PBC⊥平面PDC；(2)在折疊前的四邊形ABCD中，作AE⊥BD于E，過E作EF⊥BC于F，求折起后的圖形中∠PFE的正切值.第34頁，共65頁，2023年，2月20日，星期六[思路點撥]第35頁，共65頁，2023年，2月20日，星期六[課堂筆記]

(1)證明：折疊前，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BAD＝90°，所以△ABD為等腰直角三角形.又因為∠BCD＝45°，所以∠BDC＝90°.折疊后，因為面PBD⊥面BCD，CD⊥BD，所以CD⊥面PBD.又因為PB?面PBD，所以CD⊥PB.又因為PB⊥PD，PD∩CD＝D，所以PB⊥面PDC.又PB?面PBC，故平面PBC⊥平面PDC.第36頁，共65頁，2023年，2月20日，星期六(2)AE⊥BD，EF⊥BC，折疊后的位置關(guān)系不變，所以PE⊥BD.又面PBD⊥面BCD，所以PE⊥面BCD，所以PE⊥EF.設(shè)AB＝AD＝a，則BD＝a，所以PE＝a＝BE.在Rt△BEF中，EF＝BE·sin45°＝a×＝a.在Rt△PFE中，tan∠PFE＝＝＝.第37頁，共65頁，2023年，2月20日，星期六高考中對直線與平面所成的角及二面角的考查是熱點之一，有時在客觀題中考查，更多的是在解答題中考查.求這兩種空間角的步驟：根據(jù)線面角的定義或二面角的平面角的定義，作(找)出該角，再解三角形求出該角，步驟是作(找)―→認(指)―→求.第38頁，共65頁，2023年，2月20日，星期六在客觀題中，也可用射影法：設(shè)斜線段AB在平面α內(nèi)的射影為A′B′，AB與α所成角為θ，則cosθ＝.設(shè)△ABC在平面α內(nèi)的射影三角形為△A′B′C′，平面ABC與α所成角為θ，則cosθ＝.第39頁，共65頁，2023年，2月20日，星期六

(2010·安陽模擬)三棱錐P－ABC中，PC、AC、BC兩兩垂直，BC＝PC＝1，AC＝2，E、F、G分別是AB、AC、AP的中點.(1)證明：平面GFE∥平面PCB；(2)求二面角B－AP－C的正切值.第40頁，共65頁，2023年，2月20日，星期六[思路點撥]第41頁，共65頁，2023年，2月20日，星期六[課堂筆記]

(1)證明：因為E、F、G分別是AB、AC、AP的中點，所以EF∥BC，GF∥CP.因為EF，GF?平面PCB.所以EF∥平面PCB，GF∥平面PCB.又EF∩GF＝F，所以平面GFE∥平面PCB.第42頁，共65頁，2023年，2月20日，星期六(2)∵BC⊥PC，BC⊥CA，且PC∩AC＝C，∴BC⊥平面PAC.過點C作CH⊥PA于H點，連結(jié)HB，則易證HB⊥PA，∴∠BHC即為二面角B－AP－C的平面角.在Rt△ACP中，AP＝＝，HC＝＝(等積).∴tan∠BHC＝＝＝.

第43頁，共65頁，2023年，2月20日，星期六近年來開放型問題不斷在高考試題中出現(xiàn)，這說明高考對學生的能力要求越來越高，這也符合新課標的理念，因而在復習過程中要善于對問題進行探究.立體幾何中結(jié)合垂直關(guān)系，設(shè)計開放型試題將是新課標高考命題的一個動向.第44頁，共65頁，2023年，2月20日，星期六

[考題印證](2009·浙江高考)(12分)如圖，平面PAC⊥平面ABC，△ABC是以AC為斜邊的等腰直角三角形，E，F(xiàn)，O分別為PA，PB，AC的中點，AC＝16，PA＝PC＝10.(1)設(shè)G是OC的中點，證明：FG∥平面BOE；(2)證明：在△ABO內(nèi)存在一點M，使FM⊥平面BOE，并求點M到OA、OB的距離.第45頁，共65頁，2023年，2月20日，星期六【證明】

(1)如圖，取PE的中點為H，連結(jié)HG、HF.┄┄(1分)因為點E，O，G，H分別是PA，AC，OC，PE的中點，┄┄┄┄(2分)所以HG∥OE，HF∥EB.因此平面FGH∥平面BOE.因為FG在平面FGH內(nèi)，所以FG∥平面BOE.┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄(4分)第46頁，共65頁，2023年，2月20日，星期六(2)在平面OAP內(nèi)，過點P作PN⊥OE，交OA于點N，交OE于點Q.連結(jié)BN，過點F作FM∥PN，交BN于點M.┄┄┄(5分)下證FM⊥平面BOE.由題意，得OB⊥平面PAC，所以O(shè)B⊥PN，又因為PN⊥OE，所以PN⊥平面BOE.因此FM⊥平面BOE.┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄(7分)第47頁，共65頁，2023年，2月20日，星期六在Rt△OAP中，OE＝PA＝5，PQ＝，cos∠NPO＝＝，ON＝OP·tan∠NPO＝＜OA，所以點N在線段OA上.┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄(9分)因為F是PB的中點，所以M是BN的中點.┄┄(10分)因此點M在△AOB內(nèi)，點M到OA，OB的距離分別為OB＝4，ON＝.┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄(12分)第48頁，共65頁，2023年，2月20日，星期六

[自主體驗]如圖所示，已知長方體ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD為正方形，E為線段AD1的中點，F(xiàn)為線段BD1的中點.(1)求證：EF∥平面ABCD；(2)設(shè)M為線段C1C的中點，當?shù)谋戎禐槎嗌贂r，DF⊥平面D1MB，并說明理由第49頁，共65頁，2023年，2月20日，星期六解：(1)證明：∵E、F分別是AD1和BD1的中點，∴EF∥AB，又EF?平面ABCD，AB?平面ABCD，∴EF∥平面ABCD.第50頁，共65頁，2023年，2月20日，星期六(2)設(shè)＝λ(λ＞0)，AD＝a，則DD1＝λa，連結(jié)MF.若DF⊥平面D1MB，則有DF⊥D1B，DF⊥FM.第51頁，共65頁，2023年，2月20日，星期六在Rt△BDD1中，DF＝＝＝.又F、M分別是BD1，CC1的中點，易證FM＝a，又DM＝＝a，第52頁，共65頁，2023年，2月20日，星期六∴在Rt△DFM中，DF2＋FM2＝DM2，即，解得λ2＝2，∴λ＝，即當＝時，DF⊥平面D1MB.第53頁，共65頁，2023年，2月20日，星期六第54頁，共65頁，2023年，2月20日，星期六1.(2010·三亞模擬)若兩直線a與b異面，則過a且與b垂直的

平面(

)A.有且只有一個B.至多有一個C.有無數(shù)多個D.一定不存在第55頁，共65頁，2023年，2月20日，星期六解析：當a⊥b時，存在一個過a且與b垂直的平面；若a與b不垂直，則不存在這樣的平面.答案：B第56頁，共65頁，2023年，2月20日，星期六2.下列三個命題，其中正確命題的個數(shù)為(

)①平面α∥平面β，平面β⊥平面γ，則α⊥γ；②平面α∥平面β，平面β∥平面γ，則α∥γ；③平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，則α⊥γ.A.1B.2C.3D.0解析：①正確；②正確；③錯誤.答案：B第57頁，共65頁，2023年，2月20日，星期六3.已知直線a，b和平面α，β，且a⊥α，b⊥β，那么α⊥β是a⊥b的(

)A.充分但不必要條件B.必要但不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件解析：若α⊥β，由a⊥α則容易推出a?β或a∥β，而b⊥β，于是a⊥b；若a⊥b，則容易推出α⊥β，故α⊥β是a⊥b的充分必要條件.答案：C第58頁，共65頁，2023年，2月20日，星期六4.正四棱錐S－ABCD的底面邊長為2，高為2，E是邊BC的中

點，動點P在表面上運動，并且總保持PE⊥AC，則動點P

的軌跡的周長為(