第八章成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析8.2.1一元線性回歸模型李思目錄CONTENT03040102典型例題課堂總結(jié)知識回顧一元線性回歸模型知識回顧PART.01知識回顧1.樣本相關(guān)系數(shù)：2.相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)：①當r>0時，稱成對樣本數(shù)據(jù)正相關(guān)；當r<0時，稱成對樣本數(shù)據(jù)負相關(guān).②|r|≤1；③當|r|越接近1時，成對數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越強；

當|r|越接近0時，成對數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越弱；特別地，當|r|＝0時，成對數(shù)據(jù)的沒有線性相關(guān)關(guān)系；

當|r|＝1時，成對數(shù)據(jù)都落在一條直線上.問題引入通過前面的學習我們已經(jīng)了解到，根據(jù)成對樣本數(shù)據(jù)的散點圖和樣本相關(guān)系數(shù)，可以推斷兩個變量是否存在相關(guān)關(guān)系、是正相關(guān)還是負相關(guān)，以及線性相關(guān)程度的強弱等.

進一步地，如果能像建立函數(shù)模型刻畫兩個變量之間的確定性關(guān)系那樣，通過建立適當?shù)慕y(tǒng)計模型刻畫兩個隨機變量的相關(guān)關(guān)系，那么我們就可以利用這個模型研究兩個變量之間的隨機關(guān)系，并通過模型進行預(yù)測.下面我們研究當兩個變量線性相關(guān)時，如何利用成對樣本數(shù)據(jù)建立統(tǒng)計模型，并利用模型進行預(yù)測的問題.生活經(jīng)驗告訴我們，兒子的身高與父親的身高不僅線性相關(guān)，而且還是正相關(guān)，即父親的身高較高時，兒子的身高通常也較高.為了進一步研究兩者之間的關(guān)系，有人調(diào)查了14名男大學生的身高及其父親的身高，得到的數(shù)據(jù)如表所示(身高單位cm).問題引入編號1234567891011121314父親身高174170173169182172180172168166182173164180兒子身高176176170170185176178174170168178172165182可以發(fā)現(xiàn)，散點大致分布在一條從左下角到右上角的直線附近，表明兒子身高和父親身高線性相關(guān).利用統(tǒng)計軟件，求得樣本相關(guān)系數(shù)為r≈0.886，表明兒子身高和父親身高正線性相關(guān)，且相關(guān)程度較高.問題引入思考：根據(jù)表中數(shù)據(jù),兒子身高和父親身高這兩個變量之間的關(guān)系可以用函數(shù)模型刻畫嗎?在上表的數(shù)據(jù)中,存在父親身高相同而兒子身高不同的情況.第6個和第8個觀測父親的身高均為172cm，而對應(yīng)的兒子的身高為176cm和174cm；第3，4個觀測中,兒子的身高都是170cm,而父親的身高分別為173cm,169cm.見兒子的身高和父親身高之間不是函數(shù)關(guān)系，也就不能用函數(shù)模型刻畫.編號1234567891011121314父親身高174170173169182172180172168166182173164180兒子身高176176170170185176178174170168178172165182問題引入散點圖中的散點大致分布在一條直線附近，表明兒子身高和父親身高這兩個變量之間有較強的線性相關(guān)關(guān)系，因此我們可以用一次函數(shù)來刻畫父親身高對兒子身高的影響，而把影響兒子身高的其他因素，如母親身高、生活環(huán)境、飲食習慣等作為隨機誤差，得到刻畫兩個變量之間關(guān)系的線性回歸模型.其中，隨機誤差是一個隨機變量.用x表示父親身高，Y表示兒子身高，e表示隨機誤差，假定隨機誤差e的均值為0，方差為與父親身高無關(guān)的定值σ2，則它們之間的關(guān)系可以表示為我們稱為Y關(guān)于x的一元線性回歸模型.一元線性回歸模型PART.02一元線性回歸模型一元線性回歸模型思考:為什么要假設(shè)E(e)=0，而不假設(shè)其為某個不為0的常數(shù)?誤差是隨機的，即取各種正負誤差的可能性一樣，所以它們均值的理想狀態(tài)應(yīng)該為0.如果隨機誤差是一個不為0的常數(shù)α，則可以將α合并到截距項a中，否則模型無法確定，即參數(shù)沒有唯一解.另外，如果α不為0，則表示存在系統(tǒng)誤差，在實際建模中也不希望模型有系統(tǒng)誤差，即模型不存在非隨機誤差.在一元線性回歸模型y＝bx＋a＋e中，隨機誤差e產(chǎn)生的原因有：1.所用的確定性函數(shù)不恰當引起的誤差；2.忽略了某些因素的影響；3.存在觀測誤差．典型例題PART.03一元線性回歸模型

例1:若某地財政收入x與支出y滿足一元線性回歸模型y＝bx＋a＋e(單元：億元)，其中b＝0.7，a＝3，|e|≤0.5，如果今年該地區(qū)財政收入10億元，年支出預(yù)計不會超過多少？解：因為財政收入x與支出y滿足一元線性回歸模型y＝bx＋a＋e，其中b＝0.7，a＝3，所以得到y(tǒng)＝0.7x＋3＋e，當x＝10時，得y＝0.7×10＋3＋e＝10＋e，而|e