2022-2023學(xué)年江蘇省常州市前黃高一下學(xué)期3月學(xué)情檢測（二）數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知，，則點的坐標(biāo)是()A． B．C． D．【答案】C【分析】設(shè)，根據(jù)向量運行法則得到，，解得答案.【詳解】設(shè)，則，故，，得，.即.故選：C2．已知角α終邊上一點M的坐標(biāo)為，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，結(jié)合所在象限，得到和的值，再根據(jù)公式，求得答案.【詳解】由角終邊上一點M的坐標(biāo)為，得，，故，故選D.【點睛】本題考查已知角的終邊求對應(yīng)的三角函數(shù)值，二倍角公式，屬于簡單題.3．已知向量，滿足，若，則實數(shù)的值為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由向量垂直列出方程，結(jié)合向量的數(shù)量積運算性質(zhì)求解.【詳解】∵，∴∵，∴∵，∴，即.故選：C.4．已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用兩角差的余弦公式化簡，然后再化弦為切即可得解.【詳解】解：由得，,所以,解得.故選：A.5．已知函數(shù),下列結(jié)論中錯誤的是A． B．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱C．的最小正周期為 D．的值域為【答案】D【解析】由平方差公式及二倍角的余弦函數(shù)公式化簡函數(shù)解析式可得，利用余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)及余弦函數(shù)的周期公式即可得解．【詳解】解：由，故正確；由定義可知為偶函數(shù)，故正確；由周期公式可得的最小正周期為：，故正確；由余弦函數(shù)的性質(zhì)可得的值域為，，故錯誤；故選：．【點睛】本題主要考查了平方差公式及二倍角的余弦函數(shù)公式，考查了余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．6．在中，，，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】在中，根據(jù)求得，再利用余弦定理即可得出答案.【詳解】解：在中，，，，所以，所以.故選：B.7．若不等式在上有解，則實數(shù)的最小值為（

）A．11 B．5 C． D．【答案】B【解析】利用降冪公式化簡,再根據(jù)其在的范圍,利用能成立的性質(zhì)求解實數(shù)的最小值即可.【詳解】設(shè).因為,故.所以.又有解,故實數(shù)的最小值為5.故選：B【點睛】本題主要考查了降冪公式與根據(jù)定義域求正弦函數(shù)的值域問題,同時也考查了能成立問題求最值的做法.屬于中等題型.8．如圖，在鈍角中，角所對的邊分別是，，過點作與垂直的單位向量，將與向量表達(dá)式兩邊進(jìn)行數(shù)量積的運算，即，化簡后得到的結(jié)論是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由向量數(shù)量積的運算律和定義可化簡等式得到，由此可得結(jié)論.【詳解】，，，又，，即.故選：A.二、多選題9．下列四個等式其中正確的是（

）A． B．C． D．【答案】AD【分析】根據(jù)利用兩角和與差的正切、正弦、二倍角公式進(jìn)行三角恒等變換一一計算可得答案.【詳解】A選項，所以正確；B選項，，，所以錯誤；C選項，

，所以錯誤；D選項，所以正確.故選：AD.【點睛】本題考查三角恒等變換，兩角和與差的正弦正切公式、二倍角公式等，公式要熟練記憶是解本題的關(guān)鍵.10．在中，角所對的邊分別是，則下列結(jié)論中正確的是（）A．若，則外接圓的半徑是B．若，則C．若，則是直角三角形D．若，則【答案】BC【分析】根據(jù)正弦定理可求出外接圓半徑判斷A；由條件及正弦定理可求出，可判斷B；由條件結(jié)合正弦定理及二倍角公式得，利用兩角和的正弦公式可得，求解即可判斷C；取特殊角可判斷D.【詳解】由正弦定理知，所以外接圓半徑是2，故A錯誤；由正弦定理及可得，，即，由，知，故B正確；若，得，則，即，則，又，所以，，，則是直角三角形，故C正確；若，顯然，故D錯誤.故選：BC.11．瑞士數(shù)學(xué)家歐拉在1765年發(fā)表的《三角形的幾何學(xué)》一書中有這樣一個定理：“三角形的外心垂心和重心都在同一直線上，而且外心和重心的距離是垂心和重心距離之半”這就是著名的歐拉線定理設(shè)中，點O、H、G分別是外心、垂心、重心下列四個選項中結(jié)論錯誤的是（

）A．B．C．設(shè)BC邊中點為D，則有D．【答案】CD【分析】利用相似和重心的性質(zhì)可以判斷選項A正確；利用重心的性質(zhì)和平面向量的運算可以判斷選項B正確；利用相似和重心的性質(zhì)可以判斷選項C錯誤；利用外心的性質(zhì)和向量相等的概念可以判斷選項D錯誤.【詳解】如圖，A.由題得,OD⊥BC,AH⊥BC,所以O(shè)D||AH,所以,所以該選項正確；B.所以，所以該選項正確；C.∵D為BC中點，G為的重心，∴，，，∴，∴，故C選項錯誤；D.向量，，的模相等，方向不同，故D選項錯誤.故選：CD【點睛】本題主要考查平面向量的運算，考查三角形的外心、重心和垂心，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.12．在銳角三角形ABC中，下列命題成立的是（

）A．，，則 B．C． D．【答案】ACD【分析】根據(jù)三角恒等變換，逐個選項化簡判斷即可求解【詳解】因為在銳角三角形中，所以，均為銳角對于A，，得，，所以，；所以，A正確；對于B，若，整理得，化簡得，所以，，為鈍角，與題意不符，B錯誤；對于C，若，則，化簡得，因為均為銳角，所以，必有，得，符合均為銳角，所以，C正確；對于D，因為均為銳角，得，所以，，所以，，所以，成立，D正確；故選：ACD三、填空題13．已知的三個頂點都在圓上，，且，則圓的面積為____.【答案】【分析】根據(jù)平面向量加法的運算法則，結(jié)合三角形外心的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)的中點為，因為,所以點與點重合，即的外接圓的圓心是邊的中點，因此是以為斜邊的直角三角形，因為，所以，因此圓的面積為，故答案為：14．已知內(nèi)角的對邊分別為，且，則_____.【答案】【分析】由已知條件結(jié)合正弦定理得，然后利用余弦定理即可求出.【詳解】由，結(jié)合正弦定理得，整理得，由余弦定理得，又，則.故答案為：.15．若，則___________.【答案】【分析】由誘導(dǎo)公式結(jié)合和差角公式求解即可.【詳解】故答案為：四、雙空題16．已知函數(shù)，若，使得，且的最小值為，則的值為__________；若將的圖象向右平移個單位長度后所得函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱，則在區(qū)間上的最小值為________.【答案】

2

【解析】根據(jù)題意可得最小正周期滿足，再由，求出，再根據(jù)三角函數(shù)的平移變換可得，由對稱軸可得，，進(jìn)而求出，再根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】因為的最大值和最小值分別為和，又，所以，中一個為最大值，一個為最小值，因為的最小值為，所以的最小正周期滿足，所以，故.將的圖象向右平移個單位長度后，所得圖象對應(yīng)的函數(shù)為，由題意可知，直線是圖象的一條對稱軸，所以，，所以，，又，令，則，所以.因為，所以，所以在區(qū)間上為減函數(shù)，故最小值為.故答案為：2；五、解答題17．已知(1)求的值；(2)求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）整理關(guān)于的方程，結(jié)合的范圍求解即可；（2）先利用誘導(dǎo)公式化簡，然后利用“”弦化為切計算即可.【詳解】（1）∵，∴，解得或.又，，所以.（2）.18．已知，，，求.【答案】【分析】觀察可得,根據(jù)角的范圍分別得到和,解得后即可得到的值【詳解】,,由題,,又【點睛】本題考查和（差）角公式,考查已知值求值,需注意用角的范圍來確定三角函數(shù)值的符號19．中，角的對邊分別為，且.（I）求的值；（II）求的值.【答案】（1）；（2）5【詳解】試題分析：（1）依題意，利用正弦定理及二倍角的正弦即可求得cosA的值；（2）易求sinA=，sinB=，從而利用兩角和的正弦可求得sin（A+B）=，在△ABC中，此即sinC的值，利用正弦定理可求得c的值．試題解析：(1）由正弦定理可得，即：，∴，∴.（2由（1），且，∴，∴，∴==.由正弦定理可得：，∴．20．如圖，在四邊形中，，，，△ABC為等邊三角形，是的中點.設(shè)，.(1)用，表示，；(2)求∠BAE的余弦值.【答案】(1)，(2)【分析】（1）根據(jù)平面向量基本定理及平面向量的線性運算，結(jié)合圖像即可得出答案；（2）易求得，求出及，再根據(jù)即可得解.【詳解】（1）解：由圖可知，因為E是CD的中點，所以，（2）解：因為，為等邊三角形，所以，，所以，所以，.則，所以∠BAE的余弦值為.21．已知為坐標(biāo)原點，.（1）求的最小正周期；（2）將圖象上各點的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)擴大為原來的兩倍，再將所得圖象向左平移個單位后，所得圖象對應(yīng)的函數(shù)為，且，，，，求的值.【答案】（1）；（2）【分析】（1）利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示和二倍角的正余弦公式及輔助角公式化簡的表達(dá)式，進(jìn)而求出其最小正周期即可；（2）根據(jù)函數(shù)圖象的伸縮變換公式求出函數(shù)的表達(dá)式，再利用兩角差的正弦公式和二倍角的余弦公式進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）因為所以，函數(shù)的最小正周期為.（2）由（1）知，，將圖象上各點的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)擴大為原來的兩倍得到函數(shù)，再將其圖象向左平移個單位后得到函數(shù)，又，即，因為，所以，，，所以.【點睛】本題考查平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、利用函數(shù)圖象的伸縮變換公式求變化后的解析式、兩角和的正弦公式和二倍角的余弦公式；考查運算求解能力和知識的綜合運用能力；熟練掌握兩角和的正弦公式和二倍角的余弦公式，并觀察出角之間的關(guān)系是求解本題的關(guān)鍵；屬于中檔題.22．后疫情時代，很多地方嘗試開放夜市地攤經(jīng)濟，多個城市也放寬了對擺攤的限制．某商場經(jīng)營者也順應(yīng)潮流準(zhǔn)備在商場門前擺地攤．已知該商場門前是一塊扇形區(qū)域，擬對這塊扇形空地進(jìn)行改造．如圖所示，平行四邊形OMPN區(qū)域為顧客的休息區(qū)域，陰影區(qū)域為“擺地攤”區(qū)域，點在弧AB上，點和點分別在線段和線段上，且，．記．(1)請寫出顧客的休息區(qū)域OMPN的面積S關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并求當(dāng)為何值時，S取得最大值；(2)記，若存在最大值，求的取值范圍．【答案】(1)，，(2)【分析】（1）在中，正弦定理可得，，通過三角恒等變換可得，，從而可求其最大值；（2）根據(jù)向量的運算，由得，，從而，再根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求解．【詳解】（1）由題可知，在中，，，，