工程力學(xué)（A）北京理工大學(xué)理學(xué)院力學(xué)系韓斌(7-1)31+6/II2§7力系的平衡（1）力系的平衡條件。（2）求剛體系統(tǒng)平衡時(shí)的約束力或平衡時(shí)的位置。（3）求桁架(二力直桿系統(tǒng)）的內(nèi)力。（4）帶有摩擦的平衡問題。本章內(nèi)容是靜力學(xué)的核心部分，包括：關(guān)于“平衡”的概念（1）物體或物體系統(tǒng)的平衡——相對(duì)于慣性參考空間靜止或勻速直線平移。（2）平衡力系——即零力系，力系的主矢和主矩均為零?！?§7.1力系的平衡條件及平衡方程1.空間力系的平衡方程平衡力系所要滿足的條件稱為力系的平衡條件；力系平衡條件的數(shù)學(xué)表達(dá)式稱為平衡方程；任意空間力系平衡的充要條件是：力系的主矢和對(duì)任一確定點(diǎn)O的主矩全為零。即(7.1)4在O點(diǎn)建立Oxyz直角坐標(biāo)系，以上兩個(gè)矢量方程可寫為6個(gè)獨(dú)立的代數(shù)方程：ODixyzl1l3l2(7.2)注意（1）解題時(shí)，矩心O可任選；力的投影軸、取矩軸也可斜交；力的投影軸、取矩軸也可不一致，但要保證6個(gè)方程是獨(dú)立的。（2）巧妙選擇投影軸、取矩軸，可使每個(gè)方程只含一個(gè)未知量，避免解聯(lián)立方程組。5（3）任意空間力系，獨(dú)立的力的投影方程只有3個(gè)，但矩方程最多可有6個(gè)。特殊的空間力系及獨(dú)立平衡方程個(gè)數(shù)：（1）空間匯交力系——3個(gè)獨(dú)立方程∵各力交于O點(diǎn)平衡方程僅有即（2）空間力偶系——3個(gè)獨(dú)立方程OO平衡方程僅有即6（3）空間平行力系

xyz設(shè)各力平行于z軸，則有平衡方程僅有—3個(gè)獨(dú)立方程（4）其他例如：空間各力與某軸l相交l——僅有5個(gè)獨(dú)立的平衡方程各力對(duì)l軸之矩恒為零O72.★平面任意力系的平衡方程（1）在平面內(nèi)任取點(diǎn)A：xyO各力均位于Oxy平面內(nèi)，故平衡方程（7.1）中A稱它為平面力系平衡方程的基本形式。由于其中只有一個(gè)力矩式，故常稱一矩式。一矩式(7.4)故平面任意力系的獨(dú)立平衡方程為3個(gè)：(7.3)平面任意力系的平衡方程還有以下三種常用形式：8（2）在平面上任取A,B兩點(diǎn)及不垂直于AB連線的l軸：二矩式且

l軸與不垂直(7.5)x’y’OABl9(3)在平面上任取三點(diǎn)A，B，C不共線:上述三組方程，每組中獨(dú)立的平衡方程的個(gè)數(shù)均為3，若找到第4個(gè)方程，則必是前3個(gè)方程的線性組合，不是獨(dú)立的。三矩式(7.6)xyOABC10例如：因此，對(duì)于單個(gè)剛體，在平面力系作用下的平衡問題，只能寫出3個(gè)獨(dú)立的平衡方程，求解3個(gè)未知量；當(dāng)未知量超過3個(gè)時(shí)，問題無法求解。對(duì)于剛體系統(tǒng),可分別對(duì)每個(gè)剛體(或幾個(gè)剛體的組合)取分離體,畫受力圖,并分別列出每個(gè)分離體的3個(gè)獨(dú)立平衡方程,聯(lián)立求解。113、特殊平面力系的平衡方程(1)平面匯交力系：設(shè)匯交點(diǎn)為A或(A,B,C三點(diǎn)不共線)或(AB連線不垂直于x軸)(2)平面力偶系：(各力偶Mi作用面相互平行即可)兩個(gè)獨(dú)立方程！一個(gè)獨(dú)立方程！12（3）平面平行力系：設(shè)各力與y軸平行或其中與各不平行。兩個(gè)獨(dú)立方程！AB13小結(jié)：對(duì)某個(gè)研究對(duì)象，可列出的獨(dú)立平衡方程個(gè)數(shù)的判斷所研究的對(duì)象受任意空間力系——6個(gè)獨(dú)立方程所研究的對(duì)象受空間匯交力系——3個(gè)獨(dú)立方程所研究的對(duì)象受空間力偶系——3個(gè)獨(dú)立方程所研究的對(duì)象受空間平行力系——3個(gè)獨(dú)立方程所研究的對(duì)象受平面任意力系——3個(gè)獨(dú)立方程所研究的對(duì)象受平面匯交力系——2個(gè)獨(dú)立方程所研究的對(duì)象受平面力偶系——1個(gè)獨(dú)立方程所研究的對(duì)象受平面平行力系——2個(gè)獨(dú)立方程14求一端固支、一端自由的梁(懸臂梁)固支端的約束力。解：取AB為分離體，畫出受力圖。由由由例題1§7力系的平衡例題均布載荷(同向平行力系)合力為(↑)()ABAB15例題2§7力系的平衡例題均質(zhì)長方形薄板，重量P=200N，角A由光滑球鉸鏈固定，角B處嵌入固定的光滑水平滑槽內(nèi)，滑槽約束了角B在x,z方向的運(yùn)動(dòng)，EC為鋼索，將板支持在水平位置上，試求板在A，B處的約束力及鋼索的拉力。ACDxyzEB4m2m2m*16例題2§7力系的平衡例題ACDxyzEB4m2m2m解：1.以板為對(duì)象畫出受力圖，ACDxyzEB4m2m2mP*17例題2§7力系的平衡例題2.列出板的平衡方程解法一空間任意力系，6個(gè)獨(dú)立方程。(拉力)ACDxyzEB4m2m2mP*18例題2§7力系的平衡例題ACDxyzEB4m2m2mP*19ACDxyzEB4m2m2mP例題2§7力系的平衡例題解法二分別取AC，BC，AB，l1，l2，z為矩軸：l1l2(拉力)*20例題2§7力系的平衡例題ACDxyzEB4m2m2mPl1l2*21§7力系的平衡問題要求重點(diǎn)掌握的內(nèi)容——平面力系作用下物體系統(tǒng)的平衡問題本章小結(jié)：力系的平衡條件力系的主矢為零,對(duì)任意一點(diǎn)的主矩為零即(7.1)對(duì)空間一般力系——6個(gè)獨(dú)立的標(biāo)量方程對(duì)平面一般力系——3個(gè)獨(dú)立的標(biāo)量方程22§7力系的平衡要求重點(diǎn)掌握的內(nèi)容——平面力系作用下物體系統(tǒng)的平衡問題一矩式(7.4)二矩式且x軸與不垂直(7.5)三矩式(7.6)在平面上任取三點(diǎn)A，B，C不共線23例題3§7力系的平衡例題ABCDEq圖示支架結(jié)構(gòu)，AB=AC=BC=2l，D，E分別為AB，AC的中點(diǎn)，桿DE上作用有三角形分布載荷，B點(diǎn)作用有鉛垂集中力，P=ql，試求DE桿在D，E兩處的約束力。24例題3§7力系的平衡例題ABCDEq解：剛體系統(tǒng)的平衡問題。1.受力分析：(1)是否有二力體？(2)是否可以取出某些部分作為分離體，使之只有3個(gè)未知力？2.取整體為研究對(duì)象：ABCDEql/2(↑)(↑)25例題3§7力系的平衡例題ABCDEqq3.以桿DE為研究對(duì)象取分離體：4個(gè)未知力，3個(gè)方程；4.再以BC桿為研究對(duì)象取分離體：DEBCE增加2個(gè)未知力、3個(gè)方程；(↑)(↑)26例題3§7力系的平衡例題5.以DE桿為研究對(duì)象列出平衡方程：(↑)DEql/2(1)(↑)27例題3§7力系的平衡例題6.以BC桿為研究對(duì)象：BCEDEql/2（←）(→)代入(1)式(負(fù)號(hào)表示方向?yàn)椤?ABCDEql/2(↑)(1)(↑)28從此題的求解過程可見，對(duì)多個(gè)剛體組成的物體系統(tǒng)，可以通過分別取每個(gè)剛體（或幾個(gè)剛體一起）為分離體、列平衡方程，從而解出全部未知約束力。ABCDEq可由平衡方程求出全部未知力的物體系統(tǒng)稱為靜定系統(tǒng)若物體系統(tǒng)全部獨(dú)立的平衡方程個(gè)數(shù)仍少于未知力個(gè)數(shù)——?jiǎng)t該系統(tǒng)稱為靜不定（或超靜定）系統(tǒng)——將在變形體靜力學(xué)中研究29例題4§7力系的平衡例題aaaaaABCDEGHM支架結(jié)構(gòu)受力如圖，已知：M=Fa/2,求鉸支座A，B處的約束力。大家先思考一下本題應(yīng)如何入手求解:30剛體系統(tǒng)平衡問題的求解步驟1.求解思路（1）根據(jù)所求的未知約束力，先對(duì)待求未知力所涉及的剛體進(jìn)行受力分析(可先找出系統(tǒng)中的二力體,三力匯交體),畫出分離體所受的已知主動(dòng)力、未知約束力(其中有些是待求的、有些是不必求的),分析未知力個(gè)數(shù)及每個(gè)分離體的獨(dú)立平衡方程個(gè)數(shù)。（2）若缺少方程，再對(duì)系統(tǒng)中的其他剛體（或幾個(gè)剛體一起）取分離體，引入新的未知力并分析增加的平衡方程個(gè)數(shù)。直到未知力個(gè)數(shù)與平衡方程個(gè)數(shù)相等。（3）對(duì)涉及的各分離體列出適當(dāng)?shù)钠胶夥匠?/p>