（優(yōu)選）第九章方向?qū)?shù)與梯度現(xiàn)在是1頁\一共有32頁\編輯于星期二一、方向?qū)?shù)的定義討論函數(shù)在一點P沿某一方向的變化率問題．現(xiàn)在是2頁\一共有32頁\編輯于星期二當(dāng)沿著趨于時，是否存在？現(xiàn)在是3頁\一共有32頁\編輯于星期二記為方向?qū)?shù)的幾何意義現(xiàn)在是4頁\一共有32頁\編輯于星期二過直線作平行于z軸的平面與曲面z=f(x,y)所交的曲線記為C

表示C的割線向量即即割線轉(zhuǎn)化為切線現(xiàn)在是5頁\一共有32頁\編輯于星期二上式極限存在就意味著當(dāng)點趨于點曲線C在點P0有唯一的切線它關(guān)于方向的斜率就是方向?qū)?shù)LCM0TP0PMl現(xiàn)在是6頁\一共有32頁\編輯于星期二證明由于函數(shù)可微，則增量可表示為兩邊同除以得到現(xiàn)在是7頁\一共有32頁\編輯于星期二故有方向?qū)?shù)現(xiàn)在是8頁\一共有32頁\編輯于星期二解現(xiàn)在是9頁\一共有32頁\編輯于星期二解由方向?qū)?shù)的計算公式知故現(xiàn)在是10頁\一共有32頁\編輯于星期二推廣可得三元函數(shù)方向?qū)?shù)的定義現(xiàn)在是11頁\一共有32頁\編輯于星期二解令故方向余弦為現(xiàn)在是12頁\一共有32頁\編輯于星期二故現(xiàn)在是13頁\一共有32頁\編輯于星期二二、梯度的概念問題：現(xiàn)在是14頁\一共有32頁\編輯于星期二現(xiàn)在是15頁\一共有32頁\編輯于星期二在幾何上表示一個曲面曲面被平面所截得所得曲線在xoy面上投影如圖梯度為等高線上的法向量等高線現(xiàn)在是16頁\一共有32頁\編輯于星期二等高線的畫法現(xiàn)在是17頁\一共有32頁\編輯于星期二例如,現(xiàn)在是18頁\一共有32頁\編輯于星期二梯度與等高線的關(guān)系：現(xiàn)在是19頁\一共有32頁\編輯于星期二此時f(x,y)沿該法線方向的方向?qū)?shù)為故應(yīng)從數(shù)值較低的等高線指向數(shù)值較高的等高線，梯度的模等于函數(shù)在這個法線方向的方向?qū)?shù)，這個法線方向就是方向?qū)?shù)取得最大值的方向。現(xiàn)在是20頁\一共有32頁\編輯于星期二梯度的概念可以推廣到三元函數(shù)類似于二元函數(shù)，此梯度也是一個向量，其方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致，其模為方向?qū)?shù)的最大值.現(xiàn)在是21頁\一共有32頁\編輯于星期二現(xiàn)在是22頁\一共有32頁\編輯于星期二解由梯度計算公式得故現(xiàn)在是23頁\一共有32頁\編輯于星期二例5求函數(shù)沿曲線在點處的內(nèi)法線方向的方向?qū)?shù)解一用方向?qū)?shù)計算公式即要求出從x軸正向沿逆時針轉(zhuǎn)到內(nèi)法線方向的轉(zhuǎn)角在兩邊對x求導(dǎo)現(xiàn)在是24頁\一共有32頁\編輯于星期二解得（切線斜率）故法線斜率為內(nèi)法線方向的方向余弦為而由得現(xiàn)在是25頁\一共有32頁\編輯于星期二解二用梯度梯度是這樣一個向量，其方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致，它的模等于方向?qū)?shù)的最大值,即梯度是函數(shù)在這點增長最快的方向從等高線的角度來看，f(x,y)在點P的梯度現(xiàn)在是26頁\一共有32頁\編輯于星期二方向與過點P的等高線f(x,y)=C在這點的法線的一個方向相同，且從數(shù)值較低的等高線指向數(shù)值較高的等高線等高線為f(x,y)=C即橢圓大于橢圓因此在點處的內(nèi)法線恰好是梯度方向現(xiàn)在是27頁\一共有32頁\編輯于星期二故現(xiàn)在是28頁\一共有32頁\編輯于星期二三、小結(jié)1、方向?qū)?shù)的概念（注意方向?qū)?shù)與一般所說偏導(dǎo)數(shù)的區(qū)別）2、梯度的概念（注意梯度是一個向量）3、方向?qū)?shù)與梯度的關(guān)系思考題現(xiàn)在是