23第二節(jié)23

空間幾何體的表面積體積考點(diǎn)一幾何體的表面積1陜西，一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為()AπBπCπ＋4D．3解析由三視圖可知原幾何體為半圓柱，底面半徑為，高為2，則表面積為：11S＝2×22

×2＋2×2＝＝3答案D徽，一個(gè)四面體的三視圖如圖所示，則該四面體的表面積是()A＋3B＋3C＋22D．22解析由空間幾何體的三視圖可得該空間幾何體的直觀圖，如圖，∴該四面體的表面積S

＝

2×

12×2×1＋2××(＝2＋3，故選B.4答案B

112326222223．新課標(biāo)全國Ⅱ已知，B是O的球面上兩點(diǎn)，∠AOB＝90°，為該球11232622222面上的動(dòng)點(diǎn)，若三棱錐－ABC體積的最大值為，則球的表面積為()A．36πBπC．πD．256π解析如圖，要使三棱錐－ABC－OAB的體積最大，當(dāng)點(diǎn)C到平面OAB距離棱錐COAB底面

當(dāng)且僅的高最大，其最大值為球O的半徑，則O－

＝

OAB

＝

1×3SOABR×××＝36所以＝6得C.答案C

＝4＝×62144π選4．重慶，某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為()A．54B．60C．66D．72解析

該幾何體的直觀圖如圖所示，易知該幾何體的表面是由

兩個(gè)直角三角形，兩個(gè)直角梯形和一個(gè)矩形組成的，則其表面積S

＝

12

×12＋3×4××＋×＋×4×＝60.B.答案B5浙江某幾何體的三視圖(單位如圖所示則此幾何體的表面積是()A．90

B．

224494472C．132224494472

D．138解析

由三視圖可知該幾何體由一個(gè)直三棱柱

與一個(gè)長方體組合而成如圖)352×

12

×4×3×＋×＋2×4×32×4×63×6＝138(cm答案D

．6．大綱全國，8)正四棱錐的頂點(diǎn)都在同一球面上．若該棱錐的高為4底面邊長為2，則該球的表面積為)81

B．16C．9π

27πD.解析設(shè)球的半徑為，由題意可得(4)2(2)＝，得R，所以該球的表81π面積為π＝4

.選A.答案A7．安徽，一個(gè)多面體的三視圖如圖所示，則該多面體的表面積為()A．21＋C．21

B．＋D．18解析

根據(jù)題意作出直觀圖如圖，該多面體是由正方體切去

兩個(gè)角而得到的，根據(jù)三視圖可知其表面積為

6(22－

12

＋

32××(2)6×＝＋故選答案A8．(2012徽，某幾何體的三視圖如圖所示，該幾何體的表面積是________．

2333333222323333332223解析由三視圖可知，該幾何體為底面是直角梯形且側(cè)棱垂直于底面的棱柱，故該幾何體的表面積為S2×

12

×(25)×4[2＋5＋

4

2（5）2

]4答案92考點(diǎn)二幾何體的體積π1山東在梯形ABCD中，∠ABC＝AD∥BC＝2＝AB＝2.將梯形ABCD繞所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為)2

B.

43

C.

53

D．π解析如圖，由題意，得2AD＝1.所在轉(zhuǎn)一周后所得幾何體為一個(gè)圓柱挖去一個(gè)圓錐的組合體．

旋所求體積

＝π×12

×－

13

π×1

2

5×1π.答案C2．重慶，某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()1＋π

2B.＋π

1C.＋2π

2D.＋π11解析這是一個(gè)三棱錐與半個(gè)圓柱的組合體＝π××2××1×π＋13

，選答案A

85112332＝23313．新課標(biāo)全Ⅱ個(gè)正方體被一個(gè)平85112332＝2331

面截去一部分后剩余部分的三視圖如圖所示，則截去部分體積與剩余部分體積的比值為()1

B.

17

C.

16

1D.解析如圖，由題意知，該幾何體是正方體ABCDBCD

被過三點(diǎn)BD的11平面所截剩余部分，截去的部分為三棱錐－ABD11

，設(shè)正方體的棱長為1則截去部分體積與剩余部分體積的比值為＝

DBCDD

＝1××1×131＝，選D.111××1×答案D4．湖南工件的三視圖如圖所示，現(xiàn)將該工件通過切削，加工成一個(gè)體積盡可能大的長方體新工件，并使新工件的一個(gè)面落在原工件的一個(gè)面內(nèi)，則原工件材料的利用率為(材料利用率＝

新工件的體積原工件的體積

)()89π

B.

169C.

4（2－1）π

3

12－）D.π

31解析易知原工件為一圓錐，Vπr＝π，設(shè)內(nèi)接長方體長、寬、高為、b，

時(shí)，最大為，27323312367527D.233282欲令體積最大，則＝.截面圖的相似關(guān)系知，c∴V長＝＝a2＝a(22a，時(shí)，最大為，27323312367527D.233282

ab＝2即c＝2設(shè)(a＝2a23則ga＝4a3＝0令ga＝0解得a

432

，所以令＝41616∴＝＝129π

.選A.3答案A5陜西已知底面邊長為，側(cè)棱長為2正四棱柱的各頂點(diǎn)均在同一個(gè)球面上，則該球的體積為()32

B．4C．2π

4D.解析

如圖為正四棱柱據(jù)題意得＝∴對角面

ACC1為正方形，∴外接球直徑＝1

C＝2∴＝，∴V

4＝，3

故選D.答案D6湖北8)《算數(shù)書》竹簡于上世紀(jì)八十年代在湖北省江陵縣張家山出土，這是我國現(xiàn)存最早的有系統(tǒng)的數(shù)學(xué)典籍，其中記載有求“囷蓋”的術(shù)置如其周，令相乘也．又以高乘之，三十六成一．該術(shù)相當(dāng)于給出了由圓錐的底面周長高h(yuǎn)，計(jì)算1其體積的近似公式VLh.它實(shí)際上是將圓錐體積公式中的圓周π近似取為2那么，近似公式V≈L

h當(dāng)于將圓錐體積公式中的π近似取為()22

B.

258

C.

15750

3551131L225解析圓錐的體積Vπr＝π＝，由題意得12≈，π近似取為，12故選B.

3123232答案B31232327．新課標(biāo)全國Ⅱ，如圖，網(wǎng)格紙上正方形小格的邊長為1(示1cm)，圖中粗線畫出的是某零件的三視圖，該零件由一個(gè)底面半徑為，高為6cm圓柱體毛坯切削得到，則切削掉部分的體積與原來毛坯體積的比值為)1727

B.

59

C.

1027

1D.解析由三視圖知該零件是兩個(gè)圓柱的組合體．一個(gè)圓柱的底面半徑為2，高為cm另一個(gè)圓柱的底面半徑為cm高為則零件的體積V

＝π×22

×4π×3×234)．而毛坯的體積Vπ×3×＝π)因此切削掉部分的體積V＝VV＝54π34π20(cm1

)，所以

20π＝＝54π

1027

.選答案C8．新課標(biāo)全國，已知三棱錐ABC所有頂點(diǎn)都在球的球面上，△ABC是邊長為1正三角形SC為球O直徑且2則此棱錐的體積為)

26

B.

36

C.

23

D.

22解析如圖H為△的外接圓圓心，∠＝120，eq\o\ac(△,設(shè))ABC外接圓半徑為r則＝2HB22HCHBcos°＝3，∴r

33

.連接OH根據(jù)球的截面性質(zhì)知，OH⊥平面，

126＝＝＝33462πr＝33221111S4V2Sπr由題意得＝＝，∴＝πr22∴＝126＝＝＝33462πr＝33221111S4V2Sπr由題意得＝＝，∴＝πr22∴＝＝，故＝11＝1＝＝×.111

OC2＝

1＝3

.∵O為SC的中點(diǎn)，∴S到平面的距離為OH，3∴VS

1262S××

.答案A9．江蘇，現(xiàn)有橡皮泥制作的底面半徑為，高為4的錐和底面半徑為、高為8圓柱各一個(gè)．若將它們重新制作成總體積與高均保持不變，但底面半徑相同的新的圓錐與圓柱各一個(gè)，則新的底面半徑為_．11解析設(shè)新的底面半徑為r由題意得πr

π×5×4π×2×8解得r＝答案

710(2014·蘇，設(shè)甲、乙兩個(gè)圓柱的底面積分別為，，體積分別為V，V，若S9V它們的側(cè)面積相等，且＝，則的值是________2解析設(shè)圓柱甲的底面半徑為r

1

，高為，圓柱乙的底面半徑為r，高為h1

2

.19r1S4r22

.又∵S甲側(cè)＝S，即2r112r2h2hr21hr32SSh9SSh422答案

32江蘇如圖，在三棱柱ABABC中D，EF分別是AB，的中點(diǎn)，設(shè)三棱錐-ADE的體積為V，三棱柱ABABC的體積為，則∶V＝11122________.

△△31223→解析由題意可知點(diǎn)F到面的距離與點(diǎn)比為∶2S＝∶△△31223→ADEABC1AFSAED因此＝＝∶24.2AF△答案124

1

到ABC距離之．天津一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示(單，則該幾何體的體積為

3

.解析由幾何體的三視圖可知該幾何體的頂部是長、寬、高分別6m1的長方體為兩個(gè)直徑為3的球幾何體的體積為＝6×3×12

4π×3

＝18π(m3

．答案189π13(2012·南，18)如圖，四棱錐P＝，BC＝3，＝，∠DAB＝∠＝

中PA⊥平面，90，是CD的中點(diǎn)．證明：⊥平面；若直線PB與平面所成的角和PB與平面ABCD所成的角相等，求四棱錐-的體積．解如圖所示，以A坐標(biāo)原點(diǎn)，ABADAP所在直線分別為x，軸z軸建立空間直角坐標(biāo)系．＝h，則相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)為A，0(4C3，0)D，5，0)E，4，0)，P(0，0，h)．證明易知D＝(－4，2，0)→→＝(2，4，，AP＝，0，h．

·PAPB＝.22252331→→→→·PAPB＝.22252331因?yàn)镃D·＝－＋800，CD＝0，所以CD⊥CD⊥AP，是平面PAE內(nèi)的兩條相交直線，所⊥平面→→由題設(shè)和(1)知，C