淺談同構培養(yǎng)學生的數學思維能力摘要：通過對函數、導數的學習，學生對用函數圖象解決問題有一定的掌握。但對于用“同構法”解決問題掌握不是很好，所以作者對“同構法”解決問題舉了幾個例子，希望對同學們的思維發(fā)展有一定的幫助。要培養(yǎng)學生函數的思維，構造函數或者利用數形結合去解決問題的能力。尊重學生的認知發(fā)展規(guī)律，精心設計問題，通過一系列問題的解決，引發(fā)學生的思考和交流，讓學生思維得到提升和鍛煉。關鍵詞：同構法，數學思維，數形結合，構造函數。1一、問題提出近幾年高考數學客觀題壓軸題，多以導數為工具來證明不等式或求參數的取值范圍，這類試題具有結構獨特、技巧性高、綜合性強等特點，而構造函數是解決導數問題的基本方法。構造函數方法很多，形式多樣。對于具體問題要具體分析。這里只對“同構法”加以簡單的分析?！巴瑯嫹ā本褪牵涸诓坏仁交蛘叩仁街校瑫r含有ax、logax兩種形式的函數，可以考慮將式子進行合理的轉化、變形、拼湊，將不等式或等式轉化成同一個函數的兩個不同的函數值的形式，然后借助該函數的單調性來解決問題?！巴瑯嫹ā钡娜齻€基本模式：（1）積型：aeablnb三種同構方式 同左：aex(lnb)elnb同右：ealneablnb取對：alnalnbln(lnf(x)xexxxlnxf(x)xlnb)f(x)（2）商型：b ea同左：elnbf(x)exea三種同構方

aaelnblnxelnb(x)xxflnealnb lnea取對：a

lnblnf(x)xlnxlnalnbln(lnb)（3）和差型：aeablnb兩種同構方式

同左：

同右：aeaelnaeelnblnbf(x)xexxablnbf(x)xln二、例題講解例1、已知34，log34，求。分析：問題描述很簡單，但是常規(guī)做法有點無從下手。課堂上留學生思考5分鐘，基礎好的同學做出來的也很少。所以學生的函數思想的建立很難一蹴而就。在課上介紹了有兩種解決這種問題的方法。法一：（數形結合思想[1]）2根據對稱性很容易得到4。（法二）33

log

3

4

4

log3

，3log3 4log3，與3 4形式一致，所以構造函數g(x)3xx4，易知函數g(x)單調遞增，由上面兩個等式可以得到，兩個零點分別為 、log3，容易得到 log3。容易得到4。例2、已知實數 p、 q滿足 2pp5， log2 q1q1，則pq2( ) 。分析：方法一（數形結合）3由兩個等式分別變形可得：2p5p,log2(2p2)5(2p2)，令y2x，ylog2x，y5x畫出函數圖象。則方程2pp5的解是函數y2x和y5x的交點的橫坐標。方程log2q1q1的解是函數y5x和ylog2x的交點的橫坐標。又因為y2x和ylog2x互為反函數，圖象關于yx對稱。易得這兩個方程的交點關于yx與y5x的交點對稱。如圖，5x解得：

y5，即pq2)5，pq23。25x2(2方法二（同構法構造函數）由兩個等式分別變形可得：42pp,5log2(2p2)(2p2)5log2(2p2)2log2(2p2)5。構造函數：f(x)2xx，易知f(x)2xx單調遞增。所以函數f(p)f(log2(2q2))可得plog2(2q2)2p2q2，代入2pp5可得：p(2q2)5，pq23。例3、設函數f(x)axx3的零點為m，g(x)logaxx3的零點為n，則mn的取值范圍()A.(,09B.94,

C.(,09D.9,

422a，分析：這個例題只可以用數形結合思想類比例1、2的法一解決問題。因為底數是構造的函數單調性不好判斷。例4、實數、滿足e31和(ln)1e4，求。分析：e31和(ln)1e4，對上面兩式兩邊同時取對數可得ln30ln3，lnln(ln)14ln1ln(ln)13。能用構造函數f(x)xlnx3的思想解決問題。單調函數f(x)xlnx3的零點唯一可得:ln1代入ln3得lnln13，可得4e。例5、已知f(x)exlnx2x，若0x是函數f(x)的一個零點，則x0xe0的值為。5分析：由題意得，f(x0)ex0lnx02x00，所以1。ex0x0lnx0x0，不妨設g(x)xlnx(x0)，故g(ex)exlnexexx，從而g(ex0)g(x0)，易知g(x)xlnx在()上單調遞增，故exx0，從而ex0x0三、歸納總結“同構法”的理解就是同一個式子不同的表示形式。把左右兩邊的式子變成形式一致，然后構造函數解決問題?！巴瑯嫹ā敝皇且粋€巧妙的方法，應用廣泛，同時需要運用等量代換和轉化的思[2]。若能熟練掌握這個技巧，可以提高解題效率。但是