第一章統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的收集與整理

1.1算術(shù)平均數(shù)是怎樣計(jì)算的？為什么要計(jì)算平均數(shù)？

n

j>=——

答：算數(shù)平均數(shù)由下式計(jì)算：〃，含義為將全部觀測值相加再被觀測值的個(gè)數(shù)

除，所得之商稱為算術(shù)平均數(shù)。計(jì)算算數(shù)平均數(shù)的目的，是用平均數(shù)表示樣本數(shù)據(jù)的集中點(diǎn)，

或是說是樣本數(shù)據(jù)的代表。

1.2既然方差和標(biāo)準(zhǔn)差都是衡量數(shù)據(jù)變異程度的，有了方差為什么還要計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差？

答：標(biāo)準(zhǔn)差的單位與數(shù)據(jù)的原始單位一致，能更直觀地反映數(shù)據(jù)地離散程度。

1.3標(biāo)準(zhǔn)差是描述數(shù)據(jù)變異程度的量，變異系數(shù)也是描述數(shù)據(jù)變異程度的量，兩者之

間有什么不同？

答：變異系數(shù)可以說是用平均數(shù)標(biāo)準(zhǔn)化了的標(biāo)準(zhǔn)差。在比較兩個(gè)平均數(shù)不同的樣本時(shí)所

得結(jié)果更可靠。

1.4完整地描述組數(shù)據(jù)需要哪幾個(gè)特征數(shù)？

答：平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差、偏斜度和峭度。

1.5下表是我國青年男子體重（kg）。由于測量精度的要求，從表面上看像是離散型數(shù)

據(jù)，不要忘記，體重是通過度量得到的，屬于連續(xù)型數(shù)據(jù)。根據(jù)表中所給出的數(shù)據(jù)編制頻數(shù)

分布表。

6669646564666865626469616168665766696665

7064586766666766666266666462626564656672

6066656161666762656561646264656265686865

6768626370656465626662636865685767666863

6466686463606469656667676765676766686467

5966656356666363666763706770626472696767

6668646571616361646467697066646564637064

6269706865636566646869656367637065686769

6665676674646965646565686765656667726567

6267716965657562696868656366666562616865

6467666460616867635965606463696271696063

5967616869666469656867646466697368606063

3862676565696567657266676461646663636666

6663656367686662636166616368656669646670

6970636465646767656662616565606365626664

答：首先建立一個(gè)外部數(shù)據(jù)文件，名稱和路徑為：E:\data\exerl-5e.dat,所用的SAS程

序和計(jì)算結(jié)果如下：

procformat;

valuehfmt

56-57=56-57'58-59='58-59,60-61='60-61'

62-63='62-63,64-65='64-65,66-67='66-67,

68?69='68?69'70-71=70-7V72-73=72-73,

74-75='74-75r;

run;

dataweight;

infile'E:\data\exerl-5e.dat';

inputbw@@;

run;

procfreq;

tablebw;

fbnnatbwhfmt.;

run;

TheSASSystem

CumulativeCumulative

BWFrequencyPercentFrequencyPercent

0

56-5731331.0

58-5941372.3

60-612273299.7

62-63461577525.0

64-658327715852.7

66-677725023578.3

68-694515328093.3

70-71134729397.7

72-7351729899.3

74-7520300100.0

1.6將上述我國男青年體重看作一個(gè)有限總體，用隨機(jī)數(shù)字表從該總體中隨機(jī)抽出含

量為10的兩個(gè)樣本，分別計(jì)算它們的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差并進(jìn)行比較。它們的平均數(shù)相等嗎？

標(biāo)準(zhǔn)差相等嗎？能夠解釋為什么嗎？

答：用means過程計(jì)算，兩個(gè)樣本分別稱為,和%，結(jié)果見下表：

TheSASSystem

VariableNMeanStdDev

Y11064.50000003.5039660

Y21063.90000003.1780497

隨機(jī)抽出的兩個(gè)樣本，它們的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差都不相等。因?yàn)闃颖酒骄鶖?shù)和標(biāo)準(zhǔn)差都是統(tǒng)計(jì)

量，統(tǒng)計(jì)量有自己的分布，很難得到平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差都相等的兩個(gè)樣木。

1.7從一個(gè)有限總體中采用非放回式抽樣，所得到的樣本是簡單的隨機(jī)樣本嗎？為什

么？本課程要求的樣本都是隨機(jī)樣本，應(yīng)當(dāng)采用哪種抽樣方法，才能獲得一隨機(jī)樣本？

答：不是簡單的隨機(jī)樣本。從一個(gè)有限總體中以非放回式抽樣方法抽樣，在前后兩次抽

樣之間不是相互獨(dú)立的，后一次的抽樣結(jié)果與前一次抽樣的結(jié)果有關(guān)聯(lián)，因此不是隨機(jī)樣本。

應(yīng)采用隨機(jī)抽樣的方法抽取樣本，具體說應(yīng)當(dāng)采用放回式抽樣。

￡（乂'-歹）2=￡（、-歹）2，其中乂=必±。。

y,.=y±,=

1.8證明I/=1若用C或必一口，

編碼時(shí)，前式是否仍然相等？

答：（1）令乂=乂±。

則y=y±c平均數(shù)特性之③。

Z（y；-7）2

/=1

這［（匕±。）-（7士C）F

/=!

=￡（匕-寸

1=1

（2）令，C

歹=*

則C平均數(shù)特性之②。

l\^vhzX-J巧

n/z-Z-2

/=z〃l\C,C

_Jzl_________

-/=lC2

用第二種編碼方式編碼結(jié)果，兩式不再相等。

1.9有一個(gè)樣本：乂，必，…，兄，設(shè)8為其中任意一個(gè)數(shù)值。證明只有當(dāng)8=歹時(shí)，

小一％小。這是平均數(shù)的-個(gè)重要特性，在后面講到-元線型回歸時(shí)還會(huì)用到

該特性。

0（廣昉一0

答：令p=Z（y-8）2,為求使「達(dá)最小之不令

dB

2＞（尸8）=08='=5

則乙I'n。

1.10檢測菌肥的功效，在施有菌肥的土壤中種植小麥，成苗后測量苗高，共100株,

數(shù)據(jù)如下川：

10.09.37.29.8.58.10.510.69.610.1

10

7.06.79.57.10.57.8.19.67.69.4

89

10.07.57.25.7.38.7.16.15.26.8

07

10.09.97.54.7.67.9.76.28.06.9

50

8.38.610.04.4.97.8.38.47.87.5

6.610.06.59.8.511.09.76.610.05.0

5

6.58.08.48.7.47.8.17.77.57.1

34

7.87.68.66.7.06.6.76.36.411.0

04

10.57.85.08.7.07.5.26.79.08.6

04

4.66.93.56.9.76.5.86.49.36.4

24

編制苗高的頻數(shù)分布表，繪制頻數(shù)分布圖，并計(jì)算出該樣本的四個(gè)特征數(shù)。

答:首先建立一個(gè)外部數(shù)據(jù)文件，名稱和路徑為：E:\data\exrl-10e.datoSAS程序及結(jié)

果如下：

optionsnodate;

procformat;

valuehfrnt

3.544=35-444.5.5.4=45.545.5.6.4=5564'

6.5?7.4='6.5?747.5?8.4=75?848.5-9.4=85?94

9.5-10.4='9.5?10.4110.5-11.4=,10.5-11.41;

run;

datawheat;

infile'E:\data\exrl-10e.dat';

inputheight

run;

procfreq;

tableheight;

formatheighthfrnt.;

run;

proccapabilitygraphicsnoprint;

varheight;

histogram/vscale=count;

insetmeanvarskewnesskurtosis;

run;

TheSASSystem

TheFREQProcedure

CumulativeCumulative

heightFrequencyPercentFrequencyPercent

3.5-4.411.0011.00

4.5-5.499.001010.00

5.5-6.41111.002121.00

6.5-7.42323.004444.00

7.5-8.42424.006868.00

8.5-9.41111.007979.00

9.5-10.41515.009494.00

10.5-11.466.00100100.00

bsi(ht

l.H北太平洋寬吻海豚羥丁酸脫氫酶（HDBH）數(shù)據(jù)的接收范圍頻數(shù)表⑵如下：（略作

調(diào)整）

HDBH數(shù)據(jù)的接收范圍

頻數(shù)

/（U-L-1）

<2141

<245.90913

<277.818211

<309.727319

<341.636426

<373.545522

<405.454511

<437.363613

<469.2727

<501.1818

<533.0909

根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)作出直方圖。

答：以表中第一列所給出的數(shù)值為組界，直方圖如下:

1.12靈長類手掌和腳掌可以握物一側(cè)的皮膚表面都有突起的皮膚紋崎。紋崎有許多特

征，這些特征在胚胎形成之后是終生不變的。人類手指尖的紋型，大致可以分為弓、箕和斗

三種類型。在手指第一節(jié)的基部可以找到一個(gè)點(diǎn)，從該點(diǎn)紋崎向三個(gè)方向輻射，這個(gè)點(diǎn)稱為

三叉點(diǎn)。弓形紋沒有三叉點(diǎn)，箕形紋有一個(gè)三叉點(diǎn)，斗形紋有兩個(gè)三叉點(diǎn)，記錄從三叉點(diǎn)到

箕或斗中心的紋峭數(shù)目稱為紋崎數(shù)(fingerridgecount,FRC)o將雙手十個(gè)指尖的全部箕形

紋的紋崎數(shù)和/或斗形紋兩個(gè)紋帽數(shù)中較大者相加，稱為總紋崎數(shù)(totalfingerridgecount,

TFRC)o下表給出了大理白族人群總紋嶗數(shù)的頻數(shù)分布巴

TFRC分組中值頻數(shù)

11?30202

3TO401

51?70608

71?908029

91?11010054

111~13012063

131?15014068

151?17016051

171?19018018

191?2102006

首先判斷數(shù)據(jù)的類型，然后繪出樣本頻數(shù)分布圖，計(jì)算樣本的四個(gè)特征數(shù)并描述樣本分布形

態(tài)。

答：總紋脊數(shù)屬計(jì)數(shù)數(shù)據(jù)。

計(jì)數(shù)數(shù)據(jù)的頻數(shù)分布圖為柱狀圖，頻數(shù)分布圖如下：

樣本特征數(shù)（以TFRC的中值計(jì)算）SAS程序:

optionsnodate;

datatfrc;

doi=lto10;inputy@@;

inputn

doj=lton;

output;

end;

end;

cards;

202

401

608

8029

10054

12063

14068

16051

18018

2006

run;

procmeansmeanstdskewnesskurtosis;

vary;

run;

結(jié)果見下表：

TheSASSystem

AnalysisVariable:Y

MeanStdDevSkewnessKurtosis

126.533333332.8366112-0.2056527-0.0325058

從頻數(shù)分布圖可以看出，該分布的眾數(shù)在第七組，即總紋脊數(shù)的中值為140的那一組。

分布不對稱，平均數(shù)略小于眾數(shù)，有些負(fù)偏。偏斜度為-0.2056527,偏斜的程度不是很明顯,

基本上還可以認(rèn)為是對稱的，峭度幾乎為零。

1.13海南粗椎葉長度的頻數(shù)分布⑷：

葉長度/mm中值頻數(shù)

J

2.0?2.213499304

2.2?2.42643

2.4?2.63546

2.6?2.85692

2.8?3.0

5187

3.0~3.24333

3.2?3.42767

3.4?3.61677

3.6?3.81137

3.8?4.0

nag

7

6667

4.0?4.2"5

486

4.2?4.41

4.4?4.618

繪出頻數(shù)分布圖，并計(jì)算偏斜度和峭度。

答：表中第一列所給出的數(shù)值為組限，下圖為海南粗棚葉長度的頻數(shù)分布圖。

2.02.22.41，2M3.0J.23.43.63.84Q4，4.44.6

?tKM/0■

計(jì)算偏斜度和峭度的SAS程序和計(jì)算結(jié)果如下:

optionsnodate;

datalength;

doi=lto13;inputy@@;

inputn

doj=lton;

output;

end;

end;

cards;

2.1390

2.31434

2.52643

2.73546

2.95692

3.15187

3.34333

3.52767

3.71677

3.91137

4.1667

4.3346

4.5181

run;

procmeansnskewnesskurtosis;

vary;

run;

TheSASSystem

AnalysisVariable:Y

nSkewnessKurtosis

300000.41064580.0587006

樣本含量H=30000,是個(gè)很大的樣本，樣本的偏斜度和峭度都已經(jīng)很可靠了。偏斜度為

0.41,有一個(gè)明顯的正偏。

1.14馬邊河貝氏高原縱繁殖群體體重分布如下巴

體質(zhì)量/g中值雌魚雄魚

2.00-3.002.504

3.00?4.003.5067

4.00?5.004.501311

5.00?6.005.503025

6.00?7.006.502525

7.00?8.007.501623

8.00-9.008.502117

9.00-10.009.501816

10.00?11.0010.50124

11.00-12.0011.503

12.00?13.0012.502

首先判斷數(shù)據(jù)的類型，然后分別繪制雌魚和雄魚的頻數(shù)分布圖，計(jì)算樣本平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差、

偏斜度和峭度并比較兩者的變異程度。

答：魚的體重為度量數(shù)據(jù)，表中第一列所給出的數(shù)值為組限。在下面的分布圖中雌魚

和雄魚的分布繪在了同?張圖上，以不同的顏色表示。

計(jì)算統(tǒng)計(jì)量的SAS程序與前面的例題類似，這里不再給出，只給出結(jié)果。

雌魚：

TheSASSystem

AnalysisVariable::Y

NMeanStdDevSkewnessKurtosis

1477.24149662.14568200.2318337-0.6758677

雄魚:

TheSASSystem

AnalysisVariable:Y

NMeanStdDevSkewnessKurtosis

1326.78030301.9233971-0.1322816-0.5510332

直觀地看，雄魚的平均體重低于雌魚。雌魚有一正偏，雄魚有一負(fù)偏。因此，相對來說雌魚

低體重者較多，雄魚高體重者較多。但兩者都有很明顯的負(fù)峭度，說明“曲線”較平坦，兩

尾翹得較高。

1.15黃胸鼠體重的頻數(shù)分布叫

組界/g頻數(shù)

0<^<1510

15<^<3026

30cs4530

45<^<6022

60<^<7522

75<^<9017

90<^<10516

105<^<12014

120<^<1356

135<y<1504

150<^<1652

總數(shù)169

繪制頻數(shù)分布圖，從圖形上看分布是對稱的嗎，說明什么問題？

答：下面是頻數(shù)分布圖:

從上圖可見，圖形不是對稱的，有一些正偏。說明在該黃雄鼠群體中，低體重者分布數(shù)量,

高于高體重者的數(shù)量。另外，似乎峭度也有些低。

1.1625名患者入院后最初的白細(xì)胞數(shù)量(xlO3)⑺如下表:

852468772

731496656

0445

計(jì)算白細(xì)胞數(shù)量的平均數(shù)、方差和標(biāo)準(zhǔn)差。

答：用means過程計(jì)算，程序不再給出，只給出運(yùn)行結(jié)果。

TheSASSystem

AnalysisVariable:Y

NMeanVarianceStdDev

257.840000010.30666673.2103998

1.17細(xì)胞珠蛋白基因(CYG8)可能是非小細(xì)胞肺癌(NSCLC)的抑制基因之一。一

個(gè)研究小組研究了該基因的表達(dá)、啟動(dòng)子甲基化和等位基因不平衡狀態(tài)等，以便發(fā)現(xiàn)它與腫

瘤發(fā)病間的關(guān)聯(lián)。下面列出了其中15名患者的基因表達(dá)(腫瘤患者/正常對照，T/N),腫瘤

患者與正常對照甲基化指數(shù)差(MHT-M%)⑻：

樣本號T/NMil〒-MMN

3570.0140.419

3700.0190.017

3670.0350.105

3160.0440.333

3690.0540.170

3580.0840.246

3030.1110.242

3140.1350.364

3080.2360.051

3100.2530.520

3410.2640.200

3480.3150.103

3230.3590.167

3600.4220.176

3360.4420.037

計(jì)算以上兩項(xiàng)指標(biāo)的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差并計(jì)算兩者的變異系數(shù)，這兩個(gè)變異系數(shù)可以比較嗎？

為什么？

答：記T/N為凹，Mth-MtR為丫2,用means過程計(jì)算，SAS運(yùn)行的結(jié)果見下表：

TheSASSystem

VariableNMeanStdDevCV

Y1150.18580000.150562481.0346471

Y2150.21000000.146527469.7749634

兩個(gè)變異系數(shù)是可以比較的，因?yàn)樗鼈兊臉?biāo)準(zhǔn)差都是用平均數(shù)標(biāo)準(zhǔn)化了的，已經(jīng)不存在不同

單位的影響了。

第二章概率和概率分布

2.1做這樣一個(gè)試驗(yàn)，取一枚五分硬幣，將圖案面稱為A,文字面稱為B。上拋硬幣，

觀察落下后是A向上還是B向上。重復(fù)10次為一組，記下A向上的次數(shù)，共做10組。再

以100次為一組，1000次為一組，各做10組，分別統(tǒng)計(jì)出A的頻率，驗(yàn)證2.1.3的內(nèi)容。

答：在這里用二項(xiàng)分布隨機(jī)數(shù)模擬一個(gè)抽樣試驗(yàn)，與同學(xué)們所做的抽樣試驗(yàn)并不沖突。

以變量丫表示圖向上的次數(shù)，〃表示重復(fù)的次數(shù)，力表示組數(shù)，每次落下后圖向上的概率夕

=1/2。SAS程序如下，該程序應(yīng)運(yùn)行3次，第一次〃=10,第二次〃=100,第三次〃=1000。

optionsnodate;

datavalue;

n=10;

m=10;

phi=l/2;

doi=ltom;

retainseed3053177;

doj=lton;

y=ranbin(seed,n,phi);

output;

end;

end;

datadisv;

setvalue;

byi；

iffirst,ithensumy=0;

sumy+y;

meany=sumy/n;

py=meany/n;

iflast.ithenoutput;

keepnmphimeanypy;

run;

procprint;

title'binomialdistribution:n=10m=101;

run;

procmeansmean;

varmeanypy;

title'binomialdistribution:n=10m=10*;

run;

以下的三個(gè)表是程序運(yùn)行的結(jié)果。表的第一部分為每一個(gè)組之r的平均結(jié)果，包括平

均的頻數(shù)和平均的頻率，共io組。表的第二部分為io組數(shù)據(jù)的平均數(shù)。從結(jié)果中可以看出,

隨著樣本含量的加大，樣本的頻率圍繞0.5做平均幅度越來越小的波動(dòng)，最后穩(wěn)定于0.5。

binomialdistribution:n=10m=10

Bs

1S57

2S45

3S51

4661

5661

643

7SO.56

87S47

94.2S52

05.656

15.6

binomialdistribution:n=10m=10

VariableMean

MEANY5.2900000

PY0.5290000

binomialdistribution:n=100m=10

OBSNMPHIMEANYPY

1100100.549.710.4971

2100100.549.580.4958

34100100.550.370.5037

5100100.550.110.5011

6100100.549.700.4970

7100100.550.040.5004

8100100.549.200.4920

9100100.549.740.4974

0100100.549.370.4937

100100.549.860.4986

binomialdistribution:n=100m=10

VariableMean

MEANY49.7680000

PY0.4976800

binomialdistribution:n=1000m=10

OBSNMPHIMEANYPY

11000100.5499.2780.49928

21000100.5499.6790.49968

31000100.5499.1080.49911

41000100.5500.0460.50005

51000100.5499.8170.49982

61000100.5499.2360.49924

71000100.5499.5310.49953

81000100.5499.9360.49994

91000100.5500.0110.50001

101000100.5500.3040.50030

binomialdistribution:n=1000m=10

VariableMean

MEANY499.6946000

PY0.4996946

2.2每個(gè)人的一對第1號染色體分別來自祖母和外祖母的概率是多少？一位男性的X

染色體來自外祖父的概率是多少？來自祖父的概率呢？

答：(1)設(shè)/為一對第1號染色體分別來自祖母和外祖母的事件，則

尸(〃)=lx—xlx—=—

''224

(2)設(shè)8為男性的X染色體來自外祖父的事件，則

P(8)=lx；=；

(3)設(shè)C為男性的X染色體來自祖父的事件，則

p(c)=o

2.3假如父母的基因型分別為Pi和胡。他們的兩個(gè)孩子都是A型血的概率是多少？

他們生兩個(gè)0型血女孩的概率是多少？

尸（/A配子）=尸（，配子）

答：父:

P（/B配子）=P（i配子）=；

母:

(1)尸（兩名A型血子女）=P（A型血）尸（A型血）

=P（/AZ）P（/Azj

=P（/A）P（/）P（ZA）P（/）

1

-16

⑵P（兩名O型血女兒）=1P（0型血）;P（0型血）

="（嗚尸⑷

_1

-64

2.4白化病是一種隱性遺傳病，當(dāng)隱性基因純合時(shí)（aa）即發(fā)病。已知雜合子（Aa）

在群體中的頻率為1/70,問一對夫妻生出一名白化病患兒的概率是多少？假如妻子是白化

病患者，她生出白化病患兒的概率又是多少？

P(aa\AaxAa)

答：（1）已知4

所以

P(Aax4a且生一名々a)

=P(AaxAa)P(aa\AaxAa)

=P^Aa)P{Aa)p{aci\AaxAa)

i

-19600

唳)$P(aa\aaxAa}=

（2）已知2

所以

P（aaxZa且生一■名aa）

=P[aaxAa）p{aa\aaxAa）

=P[aa）P（Aa）P\aa\aaxAa）

1

140

2.5在圖2—3中，Uh為4;個(gè)體，。在群體中的頻率極低，可排除。多于一次進(jìn)入該

系譜的可能性，問1出亦為。的攜帶者的概率是多少？

答：設(shè)：事件設(shè)Ilh含a,

事件事比含小

事件C：13含①

事件。：%含。，

事件事1%含小

事件C，：14含。，

圖2—3

?。?1

P（AB）=

P（ABC）=P（AB）P（C\AB）

4

P（ABCD）=P（ABC）P[b\ABC）=

OB8

P（ABCDE）=P{ABCD）P（E\ABCD1

16

同理可得:

P（ABCDE）=P（ABC'D）P（E\ABC'D1

HOB）16

故n12含a總的概率為:

]_

8

2.6一個(gè)雜合子AaBb自交，子代基因型中有哪些基本事件？可舉出哪些事件？各事件

的概率是多少？

答：1.共有16種基因型，為16個(gè)基本事件。

AABBAAbBaABBaAbB

AABbAAbbaABbaAbb

AaBBAahBaaBBaahB

AaBhAahhaaBhaabh

2.可舉出的事件及其概率：

Al：包含四個(gè)顯性基因={448團(tuán)

Ar.包含三個(gè)顯性基因={AABh,AAhB,AaBB,aABB}

尸⑷十

A3：至少包含三個(gè)顯性基因={AABh.AAhB,AaBB,aABB,AABB}