第十章評估（appraisal）主要內(nèi)容一、精確數(shù)據(jù)的評估

二、Deltaness法則三、最小平方（第一類Dirichlet）準則四、B-G展布準則

五、含誤差數(shù)據(jù)的評估

六、時間域信號反褶積

前面幾章著重于重現(xiàn)觀測數(shù)據(jù)的模型的重建。

觀測數(shù)據(jù)中是否含有關于模型的唯一信息？若有，怎么使這些信息正確表達出來？

Backus和GilbertBG理論

(1)非常重要，地球物理反演理論的基礎

(2)如何重建解的評估

(3)如何產(chǎn)生唯一性信息，及其在實際解釋中的作用及對實驗分辨率的影響B(tài)G評估

非唯一性的根源：

(1)有限的觀測數(shù)據(jù)

(2)數(shù)據(jù)誤差兩者對唯一性的影響不一樣，這里首先考慮精確數(shù)據(jù)，看看能得到什么樣的獨特信息及實驗的分辨率問題。精確數(shù)據(jù)的評估：數(shù)據(jù)方程：并假設是精確的。對于區(qū)間[0，a]上的任一點,由此數(shù)據(jù)能知道模型在處值得什么？答案是：沒有模型的進一步信息，則關于什么都不知道。

圖7.1：模型空間分為兩部分，，實驗數(shù)據(jù)僅提供的信息，該部分位于D中。模型有兩部分組成：而數(shù)據(jù)：

由精確數(shù)值可確定，但由于數(shù)據(jù)的不完備性，有一些非零存在于中，這些值可任意，故不能確定，必須用其他方法。再來看看（7.1）式，每個數(shù)據(jù)都是模型與核函數(shù)的內(nèi)積。等價的說：每個數(shù)據(jù)可看成是模型的平均值，而平均函數(shù)是核函數(shù)：對的平均值。

一般說來，不具有局部性，因此代表大范圍上的平均值。假設核函數(shù)不是線性相關的，則N個數(shù)據(jù)表示有N個不同的平均函數(shù)。所以：N個非局部性函數(shù)如何合成具有局部性的平均函數(shù)從而得到點附近的局部平均值？方法是：用一個適當?shù)募訖?quán)子函數(shù)將數(shù)據(jù)方程加起來。

設為一組N個常數(shù)，（將在后面討論這些數(shù)值的確定）為任意數(shù)。用與第j個數(shù)據(jù)方程相乘，并求和得：

式中

稱為平均函數(shù)(AveragingFunction)。

稱為附近的平均值。值得注意的是是重現(xiàn)相同數(shù)據(jù)模型的特有平均值。無論模型如何變化，用該平均函數(shù)來看，都具有相同的平均值。

這一點非常重要，這里只能給出說明令為任意重現(xiàn)數(shù)據(jù)的模型，即：則與平均函數(shù)的內(nèi)積：所以任何重現(xiàn)觀測數(shù)據(jù)的模型具有相同的平均值

(特有的或唯一的)

我們的目的是計算模型在附近的特有均值。(7.5)

式的平均值是特有的，因此若(5.4)中的使集中于，則就達到了目標。下面解的例子展示了這一點。例：區(qū)間[0，1]數(shù)據(jù)為：

核函數(shù)圖形為：假設我們對處的模型值感興趣，則能否求在附近的局部均值呢？上面的圖即展示該如何做。從減去，得到[1/3，2/3]上的矩陣函數(shù)，即：

由(7.5)式計算得到的均值為：

該均值和平均函數(shù)概括了模型在附近的所有信息。所有重現(xiàn)觀測數(shù)據(jù)的模型在y=1/3到y(tǒng)=2/3上的積分等于2/3。

(1)這個例子說明了評估理論的基礎。但有一點要作改動，就是要求平均函數(shù)有單位面積。數(shù)值則與真實在附近的數(shù)值關系更直接。上例中令，均值，而該例的真實模型就是的模型。若要求模型在的均值，可令，則產(chǎn)生在[2/3，1]上的單位面積平均函數(shù)，在該區(qū)間上的模型均值為(2)分辨率問題：在附近區(qū)域，不可能產(chǎn)生一個寬度小于1/3的平均函數(shù)，這是由試驗的本質(zhì)所確定的。只有上面的三個核函數(shù)，不可能有更好的分辨率。對于已有的平均函數(shù)的特點，有波長小于w的模型振蕩不能被確定，例如下面的三個圖，在[1/3，2/3]上具有相同的均值。(3)求不同深度[位置]的局部平均值可能會得到相同的平均函數(shù)和均值。例如上例中求或的均值，會得到與相同的結(jié)果。這是在實際應用中出現(xiàn)的問題。我們試圖求某一特定深度（或時間）的模型，然而得到的卻是該深度上/下的結(jié)果。就如同一部能對地球內(nèi)部成像的照相機。有兩個量：(1)焦距，(2)景深，在試圖讓照相機聚焦于某一特定深度時由于某種原因卻聚焦于真深度的上方或下方。這就類似于使平均函數(shù)中心位于錯誤的位置一樣。成像的清晰度取決于景深，這等價于平均函數(shù)的寬度。Deltaness法則：

怎樣選擇式（7.4）中的{}，使我們得到模型在附近的最優(yōu)信息，理想情況下應滿足：

(1)以為中心（無偏平均值）

(2)越窄越好（最大分辨率）

(3)無旁瓣（防止模型其他部分帶來的假構(gòu)造）

(4)具有單位面積(從而均值代表模型在鄰域的值)

以上(1)-(4)四條性質(zhì)都是Diracdelta函數(shù)。所以我們的目標成為：求使等于。事實上若能做到這一點，反問題能完全求解，因為：

即唯一的均值就是模型在處的值。實際使用中不可能做到這一點，因為要使（7.4）的和為Delta函數(shù)，需要無窮多個核函數(shù)（同樣多的觀測數(shù)據(jù)）。我們唯一的希望是使盡可能地接近，以為中心的Delta函數(shù)。[“closeness”]

關于“接近”“closeness”有多種數(shù)學描述方法，任何可度量與之間距離的方法都可使用。但這里有兩個原則：

(1)隨N增加，應向接近

(2)求解的方程必須是線性的。若方程式非線性，則難以計算，甚至無法計算。

Backus和Gilbert用了兩類準則，第一種為最小平方準則，并被稱為第一類Dirichlet準則。第二類稱為SpreadCriterion，即展布準則。最小平方（第一類Dirichlet）準則：與“近似度”為：求使最小的對(7.7)求的偏導數(shù)并設為零

令表示內(nèi)積矩陣元素，有：

(7.9)式中向量表示點核函數(shù)值。系數(shù)的解為：

(7.10)從而可用（7.5）式和（7.4）式得到和平均函數(shù)注意：（7.10）的求解并不困難。是前面最小模型中遇到的內(nèi)積矩陣。與相關的局部信息在中，因此求解只需要一個矩陣的逆。（對所有的），這對計算量是非常重要的。2-維重力問題(說明第一類Dirichlet方法)

已知假設我們對處的密度感興趣。解：內(nèi)積矩陣為：

如下圖虛線所示在本例中的面積小于“1”。對作線性放大，使平均函數(shù)為單位面積。則有，這是對地球密度相當好的估測。

本例中，的面積小于“1”，這是因為Delta函數(shù)的本質(zhì)所確定的，在最小平方法中已隱含了“單位面積”這個特征，但保證單位面積更精確的方法是用下式：求解上面的極值函數(shù)，可保證面積為“1”

前面例子中，可得到如下矩陣平均函數(shù)的寬度：（越小說明平均值越接近目標位置實值）：

在實際應用中不必產(chǎn)生平均函數(shù)而估測其寬度是很重要的它很難對一個函數(shù)的寬度計算一個確切的量，對于由主瓣組成的函數(shù)，選用其極值一半的寬度產(chǎn)生視覺寬度較好的估測。在這里還對主瓣的位置有嚴格的要求。若平均函數(shù)不是以為中心，則應給平均函數(shù)的寬度賦一個較大的值。令表示寬度，則該值應能很好地反映實驗的分辨率。選擇當平均函數(shù)是窄的且以為中心，則其值應很小，反之，則很大。

對第一類Dirichet平均函數(shù)（7.12）在前面的例子中，有。

B-G展布準則引入正的加權(quán)函數(shù)，，使下式最小：構(gòu)建一個以為中心的窄的平均函數(shù)解釋一下：

(1)在附近，權(quán)的平方很小，因此可以很大，卻不會增加的值。

(2)離開點，權(quán)系數(shù)變大，因而迫使趨于零。將核函數(shù)代入得：式中：

此外：

用矩陣形式表示為：求解，有：評述：（1）公式中的系數(shù)12是為了使的值代表平均函數(shù)的直觀寬度。對以為中心的寬度為的方波，其展布

（這種定義對大多數(shù)反問題，當平均函數(shù)以為中心且窄時，相應的代表了真正的寬度）意味著平均函數(shù)較寬或不是以為中心。（2）展布準則產(chǎn)生的平均函數(shù)的主瓣一般較第一類

Dirichet法則大，但其旁瓣的幅度也較小。這時大多數(shù)反演問題來說是很優(yōu)越的。（3）計算量上看，展布準則需要很多的工作量，因為內(nèi)積矩陣與有關，因而對每個都需要計算相應的內(nèi)積矩陣。含誤差數(shù)據(jù)的評估：前面的討論中已經(jīng)提出觀測數(shù)據(jù)如何組合成關于模型特有信息的平均函數(shù)：

對所有符合觀測數(shù)據(jù)的模型，是唯一的或者說和完全描述了模型在附近的信息，但若觀測數(shù)據(jù)有誤差，則必然也不精確。這是在評估理論中引入誤差。

假設誤差為均值為零的高斯分布，并已知協(xié)方差矩陣即：

求(7.18)式的數(shù)學期望：

所以，在誤差滿足假設的條件下，只要多次重復實驗，則的均值將等于真實關于隨機變量：平均值的方差：

∴平均值的方差為：

小結(jié)：不精確數(shù)據(jù)中模型的信息存在于下面三個量中：<1>----平均值<2>----統(tǒng)計誤差<3>----分辨率且有上面三個量都已知時談論模型的信息才有意義。{}在三個量的計算中都用到了。值得一提的是：具有高分辨率的{}所得的模型均值具有大的方差，反之，具有小誤差的{}，其分辨率函數(shù)也較小。這和數(shù)據(jù)分析中的其它問題一樣，分辨率和統(tǒng)計精度是對立的。Backus和Gibert用下面的二次式來獲取一個折中的解：式中的分辨率準則可用前面的最小平方法準則或展布準則：最小平方法準則：

展布準則：參數(shù)θ---交叉系數(shù)，取值范圍[0,π/2].θ=0,忽略方差項,產(chǎn)生{}具有最大分辨率,

也最大.θ=π/2,平均值精度最高,但分辨率最小.下圖是分辨率,精度與θ的曲線示意圖:

曲線特點:(1)單調(diào)下降；(2)曲線起始段很陡()稍微犧牲一點分辨率，方差可降低很多，這在實際應用很重要。(3)該曲線代表了問題的最優(yōu)解,不可能在曲線的左側(cè)找到一組{}。(而具有更高分辨率和更小的方差)(4)分辨率與精度的最佳折中取決于研究人員。

RMS（均分根速度）例子

第三章均分根速度的例子中，應用B－G方法，下圖是和秒的曲線特點：(1)隨增加而減少。(2)最佳分辨率（對位于），這與核函數(shù)的直觀寬度是一致的。核函數(shù)是矩形。最佳平均函數(shù)（附近）由核函數(shù)減去時刻的核函數(shù)。即用附近相鄰RMS時刻的核函數(shù)相減，顯然。見圖7.8

(3)曲線起始部分很陡，損失2%的分辨率就能使統(tǒng)計精度增加2倍。(4)若給定=50ft/sec則平均函數(shù)寬度將為0.45秒（圖7.8），A(y,y0)仍以為中心但從

0.25延伸到0.85秒。(5)的曲線位于的右方，是由分辨率隨深度而降低引起的。當然，重建模型的不確定性隨時間而增加！(6)若在同一圖中繪制分辨率和方差，當然還要有時間信息。這樣的圖形為交繪圖。用途：例如已知在1200～1500米深度，速度為3.60.2km/秒。這就可以要求1200～1500米（或相應時段）的速度在3.4～3.8之間,這就可在圖5.9中確定反演參數(shù)

時間域信號反褶積：這里將用線性反演解法來進行時間域的反褶積。用B-G方法重建唯一的反射函數(shù)方程。采用第一類Dirichet準則并忽略單位面積的約束，將得到與Wiener反褶積類似的結(jié)果。但從反演角度來考慮，可以對參數(shù)選擇，諸如延時，反濾波器，長度，及噪音有進一步認識?；痉匠蹋?/p>

寫成常規(guī)形式：

*：所有數(shù)據(jù)的核函數(shù)除了有一定時差外是同一個函數(shù)。*：數(shù)據(jù)是在等間距上采集的，故核函數(shù)如下圖所示：

目標：用的組合來得到任一時間量的局部反射函數(shù)。例如時刻：顯然：遠離時刻的核函數(shù)不必包含在內(nèi)。例如圖中的不會對有意義，即只需有限(N)個核函數(shù)來求取局部化的平均函數(shù)A(t,)，即只需N個來求平均值。先考慮前N個核函數(shù)。

圖7.11前幾個將產(chǎn)生在[0，]上的類Delta函數(shù)圖7.11前幾個將產(chǎn)生在[0，]上的類Delta函數(shù)所用的時間為：求N個系數(shù){}，使(7.11)中的N個組成某時刻的Delta函數(shù)。時刻的平均值、方差（假設每個數(shù)據(jù)方差）和平均函數(shù)為：評論:①至于在[0,]上的位置并不重要,只要找到能產(chǎn)生最佳局部函數(shù)即可.這是由褶積數(shù)據(jù)的本質(zhì)決定的.②任意n個核函數(shù)的結(jié)果和前幾個核函數(shù)是一樣的.③{}最終被用作濾波器：

<r(t)>=

被稱為延遲，是可知的。④設計反濾波器需注意的三個問題:<1>N的值?即反濾波器中有多少點?<2>?在區(qū)間[0,]上何處能產(chǎn)生最有平均函數(shù).<3>交叉系數(shù)θ?用于控制輸出數(shù)據(jù)的方差?最小平方法:

式中是期望輸出。例如以為中心的delta函數(shù)。但這樣寫，可使用類似delta函數(shù)，如guassian

函數(shù)或方波。加入方差,有:

這里省去了單位面積一項，這適合用于地震勘探，對地震勘探中，核函數(shù)面積為0，因而單位面積的要求不可能實現(xiàn)。將(7.25)(7.26)(7.27)帶入(7.28)有：

對令有：

問題的關鍵是如何選擇以產(chǎn)生最佳反褶積，“一般說來取決于所求解的問題的基”。但的選擇有一定的經(jīng)驗準則：例如這樣一個問題：

（最佳脈沖位置的選擇）的選擇：首先確定反濾波器的長度，不妨設為N=41，使反濾波器的長度等于子波延續(xù)的長度。然后計算[0,1]區(qū)間上不同位置處函數(shù)對應的分辨率寬度。

‖

，核函數(shù)展布時間（這里剛剛好于1秒）顯然，在附近曲線較平，若數(shù)據(jù)是精確的測得，此時，w=0.015。這是41個核函數(shù)線性組合可得到最窄的平均函數(shù)。其他5條曲線具有不同的標準方差，從而極值有微小變化，但在附近小而平，故選則是本例中最好的選擇。（1）N的選擇為了調(diào)查反濾波器長度的影響，首先確定，然后計算不同N的交叉函數(shù)曲線（曲線）。如下圖（圖7.14）所示

圖7.14表明隨N的增大，分辨率越高。但代價是平均函數(shù)的方差迅速增大。若N無限增大，則最高分辨率將到達。(本例中為0.0125s)

實際應用中考慮標準方差，大于某一上限為不可接收。只要給定這樣的上限，N值就可確定。例如本例中，若最大可接受，則當N>41時，分辨率不會有太大提高。反之若（在較小時），則N=61較好。為了減少運算量，總是盡量選較小的N。故及在確定反濾波器最短長度時非常重要。

現(xiàn)在可以進行反褶積時差。這里所選的模型是脈沖模型，如圖7.15所示。假定可得圖C所示的平均函數(shù)。由于這里的數(shù)據(jù)是精確的，因而該平均函數(shù)是用產(chǎn)生的。該平均函數(shù)能非常好的將初始子波變成函數(shù)。最終也非常好的表示了脈沖的位置和相對大小，C可以解釋為真實模型與平均函數(shù)（b）的褶積。

在該例中還未考慮到θ（曲線）。為了說明這點的必要性，在數(shù)據(jù)中加入少量的噪音。如圖7.16所示，即使值不為0，也能產(chǎn)生圖C所示的結(jié)果。高分辨率的平均函數(shù)具有很大的標準差，以至于不能用作任何解釋。犧牲部分分辨率，使精度增加，大振幅的脈沖開始在噪音中出現(xiàn)。隨著