Copula函數(shù)理論Copula理論的是由Sklar在1959年提出的，Sklar指出，可以將任意一個(gè)n維聯(lián)合累積分布函數(shù)分解為n個(gè)邊緣累積分布和一個(gè)Copula函數(shù)。邊緣分布描述的是變量的分布，Copula函數(shù)描述的是變量之間的相關(guān)性。也就是說，Copula函數(shù)實(shí)際上是一類將變量聯(lián)合累積分布函數(shù)同變量邊緣累積分布函數(shù)連接起來的函數(shù)，因此也有人稱其為“連接函數(shù)”。Copula函數(shù)是定義域?yàn)閇0,1]均勻分布的多維聯(lián)合分布函數(shù)，他可以將多個(gè)隨機(jī)變量的邊緣分布連.起來得到他們的聯(lián)合分布。Copula函數(shù)的性質(zhì)定理1（Sklar定理1959）令F為一個(gè)n維變量的聯(lián)合累積分布函數(shù)，其中各變量的邊緣累積分布函數(shù)記為Fi，那么存在一個(gè)n維Copula函數(shù)C，使得 若邊緣累積分布函數(shù)Fi是連續(xù)的，則Copula函數(shù)C是唯一的。不然，Copula函數(shù)C只在各邊緣累積分布函數(shù)值域內(nèi)是唯一確定的。對(duì)于有連續(xù)的邊緣分布的情況，對(duì)于所有的，均有 在有非減的邊緣變換絕大多數(shù)的從Sklar定理可以看出,Copula函數(shù)能獨(dú)立于隨機(jī)變量的邊緣分布反映隨機(jī)變量的相關(guān)性結(jié)構(gòu),從而可將聯(lián)合分布分為兩個(gè)獨(dú)立的部分來分別處理:變量間的相關(guān)性結(jié)構(gòu)和變量的邊緣分布,其中相關(guān)性結(jié)構(gòu)用Copula函數(shù)來描述。Copula函數(shù)的優(yōu)點(diǎn)在于不必要求具有相同的邊緣分布,任意邊緣分布經(jīng)Copula函數(shù)連接都可構(gòu)造成聯(lián)合分布,由于變量的所有信息都包含在邊緣分布里,在轉(zhuǎn)換過程中不會(huì)產(chǎn)生信息失真。 Copula函數(shù)總體上可以劃分為三類:橢圓型、Archimedean（阿基米德）型和二次型,其中含一個(gè)參數(shù)的ArchimedeanCopula函數(shù)應(yīng)用最為廣泛,多維ArchimedeanCopula函數(shù)的構(gòu)造通常是基于二維的,根據(jù)構(gòu)造方式的不同可以分為對(duì)稱型和非對(duì)稱型兩種.三種常用的3-維非對(duì)稱型ArchimedeanCopula函數(shù):FrankArchimedeanCopula函數(shù),ClaytonArchimedeanCopula函數(shù),GumbeArchimedeanCopula函數(shù)Copula函數(shù)的應(yīng)用Copula函數(shù)的應(yīng)用具體包括以下幾個(gè)步驟:①確定各變量的邊緣分布;②確定Copula函數(shù)的參數(shù)";③根據(jù)評(píng)價(jià)指標(biāo)選取Copula函數(shù),建立聯(lián)合分布;④根據(jù)所建分布進(jìn)行相應(yīng)的統(tǒng)計(jì)分析。：參數(shù)估計(jì)Copula函數(shù)的參數(shù)估計(jì)方法大致可分為三種:eq\o\ac(○,1)關(guān)性指標(biāo)法,根據(jù)上面提到的Kendall秩相關(guān)系數(shù)$與"的關(guān)系間接求得。②適線法,即在一定的適線準(zhǔn)則下,求解與經(jīng)驗(yàn)點(diǎn)據(jù)擬合最優(yōu)的頻率曲線的統(tǒng)計(jì)參數(shù)。③極大似然法,對(duì)于三維及以上的Copula函數(shù),相關(guān)性指標(biāo)法顯然不再適用,此時(shí)大多采用極大似然法進(jìn)行參數(shù)估計(jì)。肖義在分析前兩種方法的基礎(chǔ)上,認(rèn)為相對(duì)于單變量分布,Copula函數(shù)的參數(shù)估計(jì)對(duì)資料的長度要求更高,對(duì)于中小樣本可能導(dǎo)致估計(jì)值抽樣誤差大,估計(jì)值不穩(wěn)定,他采用自助法耦合這兩種方法進(jìn)行參數(shù)估計(jì)。統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)表明,相關(guān)性指標(biāo)法參數(shù)估計(jì)值的置信區(qū)間較窄、結(jié)果更穩(wěn)定,自助法能夠提高相關(guān)性指標(biāo)法的估計(jì)能力,對(duì)于適線法效果卻不佳,會(huì)造成估計(jì)值嚴(yán)重偏大。eq\o\ac(○,4)均方差(RMSE)：可以用來評(píng)價(jià)參數(shù)估計(jì)的有效性Copula函數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)卡方檢驗(yàn)Kolmogorov-Smirnov(K-S)檢驗(yàn)Copula函數(shù)的擬合優(yōu)度評(píng)價(jià)(1)離差平方和準(zhǔn)則法。采用離差平方和最小準(zhǔn)則(OLS)來評(píng)價(jià)Copula方法的有效性,并選取OLS最小的Copula作為聯(lián)結(jié)函數(shù)。OLS程線推求方法,并與現(xiàn)行的基于單變量分布的同頻率設(shè)計(jì)洪水過程線方法進(jìn)行了比較.單變量方法能夠分別處理描述洪水過程線的多個(gè)特征量,并控制各個(gè)特征量的重現(xiàn)期分別等于設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn),但重現(xiàn)期的概念僅僅針對(duì)特征量,而不是針對(duì)整個(gè)設(shè)計(jì)洪水過程.本文提出的基于峰量兩變量聯(lián)合分布的方法,將描述設(shè)計(jì)洪水過程線的變量簡化成峰量兩個(gè)特征量,能夠在考慮峰量相關(guān)性的前提下描述設(shè)計(jì)洪水過程的重現(xiàn)期.所提出的方法適用于峰量均起控制作用情況下設(shè)計(jì)洪水過程線的推求,為設(shè)計(jì)洪水過程線研究提供了一條新思路.本文僅對(duì)于兩變量情形進(jìn)行討論,對(duì)于考慮3個(gè)變量以上的設(shè)計(jì)洪水過程線推求,需要借助于多變量Copula函數(shù).(6)基于Copula函數(shù)法推求分期設(shè)計(jì)洪水和汛限水位采用3-維非對(duì)稱型FrankCopula函數(shù)結(jié)構(gòu),構(gòu)建汛期分期為三分期、邊緣分布為P-Ⅲ型分布的分期洪水聯(lián)合分布.在假定分期設(shè)計(jì)洪水值的聯(lián)合重現(xiàn)期等于防洪標(biāo)準(zhǔn)T的前提下,推導(dǎo)基于FrankCopula函數(shù)的分期設(shè)計(jì)洪水頻率和防洪標(biāo)準(zhǔn)的關(guān)系,解決了分期設(shè)計(jì)洪水達(dá)不到防洪標(biāo)準(zhǔn)和分期頻率與年頻率不一致的問題,為分期設(shè)計(jì)洪水、分期汛限水位優(yōu)化設(shè)計(jì)提供了一條新思路.采用Copula函數(shù)構(gòu)建分期設(shè)計(jì)洪水的聯(lián)合分布進(jìn)而根據(jù)利用防洪標(biāo)準(zhǔn)的等價(jià)形式推求分期汛限水位,不僅考慮了各分期之間的相關(guān)性,而且在反映分期洪水季節(jié)性特征的同時(shí),解決現(xiàn)行分期設(shè)計(jì)洪水達(dá)不到防洪標(biāo)準(zhǔn)的問題,同時(shí)用年組合頻率作為下游防洪標(biāo)準(zhǔn)的等價(jià)形式,避開了現(xiàn)行汛限水位方法中年頻率和分期頻率含義不一致的問題,因而本文在聯(lián)合設(shè)計(jì)分期洪水的基礎(chǔ)上,從年組合頻率和分期頻率的關(guān)系出發(fā),初選分期汛限水位,從而為分期設(shè)計(jì)洪水、分期汛限水位優(yōu)化設(shè)計(jì)提供了一條新思路.其他應(yīng)用,在洪水頻率分析計(jì)算中的應(yīng)用,在降雨頻率分析計(jì)算中的應(yīng)用,在干旱特征分析中的應(yīng)用,在洪水或降雨遭遇問題中的應(yīng)用,在水文隨機(jī)模擬中的應(yīng)用三、結(jié)論與展望今后的研究將集中于以下三方面：（1）Copula函數(shù)理論與方法本身的完善：函數(shù)雖早在1959年就已提出,但直到上個(gè)世紀(jì)90年代才得以迅速發(fā)展,其本身尚處于不斷發(fā)展完善階段,與其他理論如Bayes理論、馬爾可夫鏈等的結(jié)合將是該理論的一個(gè)發(fā)展趨勢(shì)。2006年,Huard等通過Bayes技術(shù)確定Copula函數(shù)的選擇,這也是水文學(xué)家提出或改進(jìn)數(shù)學(xué)方法理論的一個(gè)典型例子。另外,當(dāng)考慮到樣本的尾部相關(guān)特征時(shí),如何選擇與之相適應(yīng)的Copula函數(shù)也將是今后一個(gè)研究熱點(diǎn)。（2）Copula函數(shù)應(yīng)用范圍的拓廣。凡是具有相關(guān)性的兩個(gè)或多個(gè)變量,無論是互相關(guān)還是自相關(guān),理論上都可以用Copula函數(shù)刻畫其相依結(jié)構(gòu),這就使得Copula函數(shù)將有很大的應(yīng)用空間。具體到水文分析計(jì)算領(lǐng)域,例如降雨與徑流,水沙關(guān)系,防