課后習(xí)題第三章習(xí)題答案《有限元分析及應(yīng)用》，曾攀，清華大學(xué)出版社3.1如圖所示為一受均布載荷的懸臂梁。(1）用撓度方程求出精確解。(2）寫出兩種以上的許可位移場（試函數(shù)）。(3）基于許可位移（至少用一種），分別用以下幾種原理求撓度曲w（χ）,并和精確解比較．最小勢能原理（即Rayleigh-Ritz法）。Galerkin加權(quán)殘值法。殘值最小二乘法。解：1）對于此懸臂梁問題，用材料力學(xué)知識直接求解。2）寫出兩種以上的許可位移場（試函數(shù)）最小勢能原理作為一級近似，試函數(shù)僅僅取一項多項式的函數(shù)形式其中c為待定常數(shù)，該函數(shù)滿足該問題的位移邊界條件，所以是許可的位移函數(shù)，代入總的勢能表達式有:最小勢能原理由最小勢能原理得:,,伽遼金加權(quán)殘值法當(dāng)撓度取自變函數(shù)的試函數(shù)時，相應(yīng)的加權(quán)殘值法的伽遼金方程為:尋找伽遼金加權(quán)殘值法的試函數(shù)時，要從研究力邊界條件入手，設(shè)積分得:調(diào)整上式中的積分常數(shù)A、B，使得其滿足固定端的邊界條件。從而得到伽遼金加權(quán)殘值法的試函數(shù):從而進一步有求解得殘值的最小二乘法利用和伽遼金法一樣的試函數(shù)，有直接積分得殘值的最小二乘法整理得:從而可以計算得到c值，回代即可得到最終結(jié)果3.2如圖所示為一端固定，另一端彈性支承的梁，其跨度為l，抗彎剛度EI為常數(shù)，彈簧系數(shù)為k，承受分布載荷q(x)作用。試用最小勢能原理推導(dǎo)出以撓度表示的平衡微分方程和靜力邊界條件。類似（題目一樣），問題：（1）構(gòu)造兩種形式（多項式、三角函數(shù)）的梁撓度試函數(shù)；（2）用最小勢能原理或Ritz法求其多項式形式的撓度近似解（取1項待定系數(shù)）。3.3設(shè)某一類1D物理問題的微分方程為邊界條件為:若采用下列試函數(shù):,試用以下方法求解該問題1）加權(quán)殘值法中的伽遼金法2）加權(quán)殘值法中的最小二乘法3）瑞利-李茲法（當(dāng)試函數(shù)（滿足位移邊界條件）取為許可基底函數(shù)的線性組合時，該原理所描述的方法也就叫做Rayleigh-Ritz）3.4對于以下方程邊界條件為:試推導(dǎo)出與它等效的泛函。若采用近似函數(shù)求解肘，試用泛函極值的方法求解待定參3.5有一問題的泛函為邊界條件：求該泛函在極值條件下的函數(shù)。3.7若函數(shù)的二次泛函：在邊界條件和附加條件下取極值的變分問題成立，試證所對應(yīng)的控制方程〈即歐拉方程）為:3.8試推導(dǎo)相應(yīng)于下列泛函極值條件的控制方程〈即歐拉方程）:3.9對于一維熱傳導(dǎo)問題，如果傳熱系數(shù)取1，則微分方程為其中:邊界條件為在x＝0和x＝L時，T=0