第十章概率10.3頻率與概率內(nèi)容索引學(xué)習(xí)目標(biāo)活動方案檢測反饋學(xué)習(xí)目標(biāo)1.通過試驗(yàn)讓學(xué)生理解當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)較大時，試驗(yàn)頻率穩(wěn)定在某一常數(shù)附近，并據(jù)此能估計出某一事件發(fā)生的概率．2.理解隨機(jī)模擬試驗(yàn)出現(xiàn)的意義．3.利用隨機(jī)模擬試驗(yàn)求概率．活動方案問題：拋擲一枚質(zhì)地不均勻的骰子，或者拋擲一枚圖釘，樣本點(diǎn)是否等可能？是否還可以通過古典概型公式計算有關(guān)事件的概率？思考1???當(dāng)遇到樣本點(diǎn)不是等可能事件時，應(yīng)該采用什么方法解決它的概率問題？活動一

頻率與概率的關(guān)系【解析】

不等可能，不能用古典概型公式計算有關(guān)事件的概率．【解析】

利用最原始的方法，通過大量重復(fù)試驗(yàn)，用頻率去估計概率．探究：重復(fù)做同時拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣的試驗(yàn)，設(shè)事件A＝“一個正面朝上，一個反面朝上”，統(tǒng)計A出現(xiàn)的次數(shù)并計算頻率，再與其概率進(jìn)行比較，我們研究一下有什么規(guī)律？利用計算機(jī)模擬擲兩枚硬幣的試驗(yàn)，在重復(fù)試驗(yàn)次數(shù)為20,100,500時各做5組試驗(yàn)，得到事件A＝“一個正面朝上，一個反面朝上”發(fā)生的頻數(shù)nA和頻率fn(A)的記錄如下表：序號n＝20n＝100n＝500頻數(shù)頻率頻數(shù)頻率頻數(shù)頻率1120.6560.562610.522290.45500.502410.4823130.65480.482500.5470.35550.552580.5165120.6520.522530.506思考2???(1)同一組的試驗(yàn)結(jié)果一樣嗎？為什么會出現(xiàn)這種情況？

【解析】

不一樣．試驗(yàn)次數(shù)n相同，頻率fn(A)可能不同，這說明隨機(jī)事件發(fā)生的頻率具有隨機(jī)性．【解析】

從整體來看，頻率在概率0.5附近波動．當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)較少時，波動幅度較大；當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)較大時，波動幅度較?。囼?yàn)次數(shù)多的波動幅度并不全都比次數(shù)少的小，只是波動幅度小的可能性更大．(2)隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，事件A發(fā)生的頻率有什么變化規(guī)律？為了說明以上兩個問題，借助折線圖表示頻率的波動情況．思考3???從以上的試驗(yàn)結(jié)果看，你能得出什么結(jié)論？【解析】

隨著試驗(yàn)次數(shù)n的增大，頻率偏離概率的幅度會縮小，即事件A發(fā)生的頻率fn(A)會逐漸穩(wěn)定于事件A發(fā)生的概率P(A)．我們稱頻率的這個性質(zhì)為頻率的穩(wěn)定性．因此，我們可以用頻率fn(A)估計概率P(A)．例1新生嬰兒性別比是每100名女嬰對應(yīng)的男嬰數(shù)．通過抽樣調(diào)查得知，我國2014年、2015年出生的嬰兒性別比分別為115.88和113.51.(1)分別估計我國2014年和2015年男嬰的出生率(新生兒中男嬰的比率，精確到0.001)；(2)根據(jù)估計結(jié)果，你認(rèn)為“生男孩和生女孩是等可能的”這個判斷可靠嗎？活動二頻率與概率的應(yīng)用由此估計，我國2014年男嬰出生率約為0.537，2015年男嬰出生率約為0.532.(2)由于調(diào)查新生兒人數(shù)的樣本非常大，根據(jù)頻率的穩(wěn)定性，上述對男嬰出生率的估計具有較高的可信度．因此，我們有理由懷疑“生男孩和生女孩是等可能的”的結(jié)論．1.概率是隨機(jī)事件發(fā)生可能性大小的度量，是隨機(jī)事件A的本質(zhì)屬性，隨機(jī)事件A發(fā)生的概率是大量重復(fù)試驗(yàn)中事件A發(fā)生的頻率的近似值．2.正確理解概率的意義，要清楚概率與頻率的區(qū)別與聯(lián)系．對具體的問題要從全局和整體上去看待，而不是局限于某一次試驗(yàn)或某一個具體的事件．(多選)給出下列四個命題，其中正確的命題有(

)B.隨機(jī)事件發(fā)生的頻率就是這個隨機(jī)事件發(fā)生的概率D.隨機(jī)事件發(fā)生的頻率不一定是這個隨機(jī)事件發(fā)生的概率【答案】

CD例2一個游戲包含兩個隨機(jī)事件A和B，規(guī)定事件A發(fā)生則甲獲勝，事件B發(fā)生則乙獲勝．判斷游戲是否公平的標(biāo)準(zhǔn)是事件A和B發(fā)生的概率是否相等.在游戲過程中甲發(fā)現(xiàn)：玩了10次時，雙方各勝5次；但玩到1000次時，自己才勝300次，而乙卻勝了700次．據(jù)此，甲認(rèn)為游戲不公平，但乙認(rèn)為游戲是公平的．你更支持誰的結(jié)論？為什么？【解析】

當(dāng)游戲玩了10次時，甲、乙獲勝的頻率都為0.5；當(dāng)游戲玩了1000次時，甲獲勝的頻率為0.3，乙獲勝的頻率為0.7.根據(jù)頻率的穩(wěn)定性，隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，頻率偏離概率很大的可能性會越來越小．相對10次游戲，1000次游戲時的頻率接近概率的可能性更大，因此我們更愿意相信1000次時的頻率離概率更近，而游戲玩到1000次時，甲、乙獲勝的頻率分別是0.3和0.7，存在很大差距，所以有理由認(rèn)為游戲是不公平的，因此，應(yīng)該支持甲對游戲公平性的判斷．1.游戲規(guī)則是否公平，要看對游戲的雙方來說，獲勝的可能性或概率是否相同．若相同，則規(guī)則公平，否則就是不公平的．2.具體判斷時，可以按所給規(guī)則，求出雙方的獲勝概率，再進(jìn)行比較．如圖，有兩個可以自由轉(zhuǎn)動的均勻轉(zhuǎn)盤A，B，轉(zhuǎn)盤A被平均分成3等份，分別標(biāo)上1,2,3三個數(shù)字；轉(zhuǎn)盤B被平均分成4等份，分別標(biāo)上3,4,5,6四個數(shù)字．現(xiàn)為甲、乙兩人設(shè)計游戲規(guī)則：自由轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤A和B，轉(zhuǎn)盤停止后，指針指向一個數(shù)字(直到指針指向一個數(shù)字，停止轉(zhuǎn)動)，將指針?biāo)傅膬蓚€數(shù)字相加，若和是6，則甲獲勝，否則乙獲勝，你認(rèn)為這個規(guī)則公平嗎？【解析】

列表如下：故甲、

乙獲勝的概率不相等，所以這個游戲規(guī)則不公平．BA3456145672567836789思考4???用頻率估計概率，需要做大量的重復(fù)試驗(yàn)，有沒有其他方法可以替代試驗(yàn)?zāi)?？活動?/p>

隨機(jī)模擬【解析】

可以根據(jù)不同的隨機(jī)試驗(yàn)構(gòu)建相應(yīng)的隨機(jī)數(shù)模擬試驗(yàn)，這樣就可以快速地進(jìn)行大量重復(fù)試驗(yàn)了．例3在一次奧運(yùn)會男子羽毛球單打比賽中，運(yùn)動員甲和乙進(jìn)入了決賽．羽毛球的比賽規(guī)則是3局2勝制，假設(shè)每局比賽甲獲勝的概率為0.6，乙獲勝的概率為0.4.利用計算機(jī)模擬試驗(yàn)，估計甲獲得冠軍的概率．用計算器或計算機(jī)產(chǎn)生1～5之間的隨機(jī)數(shù)，當(dāng)出現(xiàn)隨機(jī)數(shù)1,2或3時，表示一局比賽甲獲勝，其概率為0.6.由于要比賽3局，所以每3個隨機(jī)數(shù)為一組．例如，產(chǎn)生20組隨機(jī)數(shù)：423,123,423,344,114,453,525,332,

152,342,534,443,512,541,125,432,334,151,314,354.相當(dāng)于做了20次重復(fù)試驗(yàn)．【解析】

設(shè)事件A＝“甲獲得冠軍”，事件B＝“單局比賽甲勝”，則P(B)＝0.6.用隨機(jī)模擬試驗(yàn)來估計概率，一般有如下特點(diǎn)的事件可以用這種方法來估計：(1)對于滿足“有限性”但不滿足“等可能性”的概率問題，我們可采取隨機(jī)模擬方法來估計概率．(2)對于一些基本事件的總數(shù)比較大而導(dǎo)致很難把它列舉得不重復(fù)、不遺漏的概率問題或?qū)τ诨臼录牡瓤赡苄噪y于驗(yàn)證的概率問題，可用隨機(jī)模擬方法來估計概率．袋子中有四個小球，分別寫有“中、華、民、族”四個字，有放回地從中任取一個小球，直到“中”“華”兩個字都取到才停止．用隨機(jī)模擬的方法估計恰好抽取三次停止的概率，利用電腦隨機(jī)產(chǎn)生0到3之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，分別用0,1,2,3代表“中、華、民、族”這四個字，以每三個隨機(jī)數(shù)為一組，表示取球三次的結(jié)果，經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了以下18組隨機(jī)數(shù)：232

321

230

023

123

021

132

220

001231

130

133

231

031

320

122

103

233由此可以估計，恰好抽取三次就停止的概率為(

)【答案】

C檢測反饋245131.在一次拋硬幣的試驗(yàn)中，同學(xué)甲用一枚質(zhì)地均勻的硬幣做了100次試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)正面朝上出現(xiàn)了45次，那么出現(xiàn)正面朝上的頻率和概率分別為(

)A.0.45,0.45 B.0.5,0.5

C.0.5,0.45 D.0.45,0.5【解析】

根據(jù)頻率和概率的概念，可知出現(xiàn)正面朝上的頻率是45÷100＝0.45，出現(xiàn)正面朝上的概率是0.5.【答案】

D245132.不透明的袋中有2個黑球，3個白球，除顏色外其余完全相同，從中有放回地取出一球，連取三次，觀察球的顏色．用計算機(jī)產(chǎn)生0到9的數(shù)字進(jìn)行模擬試驗(yàn)，用0,1,2,3代表黑球，4,5,6,7,8,9代表白球，在下列隨機(jī)數(shù)中表示結(jié)果為兩白一黑的組數(shù)為(

)160

288

905

467

589

239

079

146

351A.3 B.4C.5 D.6【解析】

由題意可知，288,905,079,146表示兩白一黑，所以有4組．【答案】B24533.(多選)某超市隨機(jī)選取1000位顧客，記錄了他們購買甲、乙、丙、丁四種商品的情況，整理成如下統(tǒng)計表，其中“”表示購買，“×”表示未購買.1商品顧客人數(shù)甲乙丙丁100√×√√217×√×√200√√√×300√×√×85√×××98×√××2453根據(jù)表中數(shù)據(jù)，下列結(jié)論中正確的是(

)A.顧客購買乙商品的概率最大B.顧客同時購買乙和丙的概率約為0.2C.顧客在甲、乙、丙、丁中同時購買3種商品的概率約為0.3D.顧客僅購買1種商品的概率不大于0.3124531【答案】

BCD24534.假定某運(yùn)動員每次投擲飛鏢正中靶心的概率為40%，現(xiàn)采用隨機(jī)模擬的方法估計該運(yùn)動員兩次投擲飛鏢恰有一次命中靶心的概率：先由計算器產(chǎn)生0到9之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，指定1,2,3,4表示命中靶心，5,6,7,8,9,0表示未命中靶心；再以每兩個隨機(jī)數(shù)為一組，代表兩次的結(jié)果，經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了20組隨機(jī)數(shù)：93

28

12

45

85

69

68

34

31

2573

93

02

75

56

48

87

30

11

35據(jù)此估計，該運(yùn)動員兩次擲鏢恰有一次正中靶心的概率為________.12453124535.某教授為了測試A地區(qū)和B地區(qū)的同齡兒童的智力，出了10個智力題，每個題10分，然后做了統(tǒng)計，下表是統(tǒng)計結(jié)果．A地區(qū)1參加測試的人數(shù)3050100200500800得60分以上的人數(shù)162752104256402得60分以上的頻率

B地區(qū)參加測試的人數(shù)3050100200500800得60分以上的人數(shù)172956111276440得60分以上的頻率

2453(1)利用計算器計算兩地區(qū)參加測試的兒童中得60分以上的頻率；(結(jié)果精確到0.001)(2)估計兩個地區(qū)參加測試的兒童得60分以上的概率．1【解析】

(1)根據(jù)頻率計算公式，可得如下表所示：A地區(qū)參加測試的人數(shù)3050100200500800得60分以上的人數(shù)162752104256402得60分以上的頻率0.5330.5400.5200.5200