圓冪定理的應(yīng)用廣東韶關(guān)市田家炳中學(xué)劉瑞江圓冪定理是初中幾何最重要的定理之一．它概括了相交弦定理、切割線定理和割線定理，是同學(xué)們學(xué)習(xí)的難點(diǎn)之一．為了幫助同學(xué)們理解和掌握它的應(yīng)用，下面重點(diǎn)介紹圓冪定理在幾何證明中的應(yīng)用．一、證明線段相等解析∵CM是∠C的平分線，又∵BC、BA是⊙O的割線，∴BM·BA=BN·BC，∴BN=2AM．例2如圖2，已知⊙O和⊙O1外切于P點(diǎn)，一外公切線分別切兩圓于A、C兩點(diǎn)，AB為⊙O的直徑，求證自B點(diǎn)至⊙O1的切線長(zhǎng)等于AB．解析連AP、BP、PC，過(guò)P點(diǎn)作兩圓的公切線PM交AC于M點(diǎn)，∵AC、PM為⊙O的切線，∴AP⊥PC，又∵AB為⊙O的直徑，∴AP⊥BP，∴B、P、C三點(diǎn)在一條直線上，∴BQ為⊙O1的切線，∴BQ2=BP·BC，在Rt△ABC中，AP⊥BC，∴AB2=PB·BC，即AB=BQ．注這里通過(guò)運(yùn)用切割線定理和射影定理，由AB2=BP·BC=BQ2，證得AB=BQ．在圓中也是證明線段相等的常用方法之一．二、證明角相等例3如圖3，已知⊙O分別與△ABC的AB、AC邊切于M、N，交BC邊于E、F，且BE=EF=FC．求證：∠B=∠C．解析∵BM是⊙O的切線，且BF為⊙O割線．∴BM2=BE·BF；同理CN2=CF·CE，又∵BE=EF=CF，∴BM=CN，∵AM、AN是⊙O的切線，∴AM=AN，故AB=AC，即∠B=∠C．三、證明線段平行例4如圖4，已知AB切⊙O于B，M為AB的中點(diǎn)，過(guò)M作圓的割線MD交⊙O于C、D兩點(diǎn)，連AC并延長(zhǎng)交⊙O于E，連AD交⊙O于F．求證：EF∥AB．解析∵AB切⊙O于B，且M為AB的中點(diǎn)，且∠AMC=∠DMA，∴△AMC∽△DMA，∴∠1=∠D，又∵∠D=∠E．∴EF∥AB．四、證明線段成比例例5已知如圖5，⊙O的直徑AB的延長(zhǎng)線與弦CD的延長(zhǎng)線相交解析∵∠AOC+∠COP=180°，∠EDC+∠FDP=180°，∴∠COP=∠FDP，且∠P為公共角，即PO·PF=PC·PD(1)∵PDC和PBA都是⊙O的割線，∴PC·PD=PA·PB(2)由(1)(2)得PO·PF=PA·PB．例6如圖6，△ABC內(nèi)接于⊙O，P為⊙O外的一點(diǎn)，作∠CPD=∠A使PD交⊙O于D、E兩點(diǎn)，并與AB、AC分別交于點(diǎn)M、N．(1)求證：DN·NE=MN·NP．(2)若PD∥CB，求證：PC是⊙O切線，解析(1)∵∠DPC=∠A，∠CNP=∠MNA，∴CN·MA=MN·NP(1)由相交弦定理得DN·NE=CN·NA(2)由(1)(2)得DN·NE=MN·NP．(2)連接CO，并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)F，連BF．由△CPN∽△MAN得∠PCN=∠AMN，由PD∥CB，得∠AMN=∠ABC，∴∠PCN=∠ABC，∵∠ACF=∠ABF，∠PCF=∠PCN+∠ACF，∠CBF=∠ABC+∠ABF，且CF是⊙O的直徑．∴∠PCF=∠CBF=90°，∴PC