圓的證明與計算》專題研究圓的證明與計算是中考中的一類重要的問題，此題完成情況的好壞對解決后面問題的發(fā)揮有重要的影響，所以解決好此題比較關(guān)鍵。一、考點分析：圓中的重要定理:圓的定義:主要是用來證明四點共圓.垂徑定理:主要是用來證明——弧相等、線段相等、垂直關(guān)系等等.三者之間的關(guān)系定理:主要是用來證明——弧相等、線段相等、圓心角相等.圓周角性質(zhì)定理及其推輪:主要是用來證明——直角、角相等、弧相等.切線的性質(zhì)定理:主要是用來證明——垂直關(guān)系.切線的判定定理:主要是用來證明直線是圓的切線.切線長定理:線段相等、垂直關(guān)系、角相等.圓中幾個關(guān)鍵元素之間的相互轉(zhuǎn)化:弧、弦、圓心角、圓周角等都可以通過相等來互相轉(zhuǎn)化.這在圓中的證明和計算中經(jīng)常用到.二、考題形式分析：主要以解答題的形式出現(xiàn)，第1問主要是判定切線；第2問主要是與圓有關(guān)的計算：①求線段長(或面積)；②求線段比；③求角度的三角函數(shù)值(實質(zhì)還是求線段比)。三、解題秘笈：1、判定切線的方法：若切點明確，則“連半徑，證垂直”。常見手法有：全等轉(zhuǎn)化；平行轉(zhuǎn)化；直徑轉(zhuǎn)化；中線轉(zhuǎn)化等；有時可通過計算結(jié)合相似、勾股定理證垂直；若切點不明確，則“作垂直，證半徑”。常見手法：角平分線定理；等腰三角形三線合一，隱藏角平分線；總而言之，要完成兩個層次的證明：①直線所垂直的是圓的半徑(過圓上一點)；②直線與半徑的關(guān)系是互相垂直。在證明中的關(guān)鍵是要處理好弧、弦、角之間的相互轉(zhuǎn)化，要善于進行由此及彼的聯(lián)想、要總結(jié)常添加的輔助線.例：如圖，AB是00的直徑，BC丄AB,AD〃0C交00于D點，求證：CD為00的切線；如圖，以RtAABC的直角邊AB為直徑作00,交斜邊AC于D,點E為BC的中點，連結(jié)DE，求證：DE是00的切線.如圖，以等腰△ABC的一腰為直徑作00,交底邊BC于D,交另一腰于F,若DE丄AC于E(或E為CF中點)，求證：DE是00的切線.如圖，AB是00的直徑，AE平分ZBAF,交00于點E,過點E作直線ED丄AF,交AF的延長線于點D,交AB的延長線于點C,求證：CD是00的切線.BB2、與圓有關(guān)的計算：計算圓中的線段長或線段比，通常與勾股定理、垂徑定理與三角形的全等、相似等知識的結(jié)合，形式復(fù)雜，無規(guī)律性。分析時要重點注意觀察已知線段間的關(guān)系，選擇定理進行線段或者角度的轉(zhuǎn)化。特別是要借助圓的相關(guān)定理進行弧、弦、角之間的相互轉(zhuǎn)化，找出所求線段與已知線段的關(guān)系，從而化未知為已知，解決問題。其中重要而常見的數(shù)學(xué)思想方法有：構(gòu)造思想：如：①構(gòu)建矩形轉(zhuǎn)化線段；②構(gòu)建“射影定理”基本圖研究線段(已知任意兩條線段可求其它所有線段長)；③構(gòu)造垂徑定理模型：弦長一半、弦心距、半徑；④構(gòu)造勾股定理模型；⑤構(gòu)造三角函數(shù)

2）方程思想：設(shè)出未知數(shù)表示關(guān)鍵線段，通過線段之間的關(guān)系，特別是發(fā)現(xiàn)其中的相等關(guān)系建立方程，解決問題。（3）建模思想：借助基本圖形的結(jié)論發(fā)現(xiàn)問題中的線段關(guān)系，把問題分解為若干基本圖形的問題，通過基本圖形的解題模型快速發(fā)現(xiàn)圖形中的基本結(jié)論，進而找出隱藏的線段之間的數(shù)量關(guān)系。3、典型基本圖型：圖形1：如圖1：AB是00的直徑，點E、C是00上的兩點，基本結(jié)論有:（1） 在“AC平分ZBAE”；“AD丄CD”；“DC是00的切線”三個論斷中，知二推一。（2） 如圖2、3,DE等于弓形BCE的高；DC=AE的弦心距0F（或弓形BCE的半弦EF）。4）圖2如圖（4）：若CK丄AB于K,4）圖2如圖（4）：若CK丄AB于K,則:1CK=CD；BK=DE；CK=—BE=DC；AE+AB=2BK=2AD；2/ADCs/ACBnAC2二AD?AB在⑴中的條件①、②、③中任選兩個條件，當BG丄CD于E時（如圖5）,則：①DE=GB②DC=CG；③AD+BG=AB④AD?BG=^DG2=DC24圖形2：如圖：Rt/ABC中，ZACB=90°。點0是AC上一點,以0C為半徑作00交AC于點E,基本結(jié)論有:2)①G是/BCD的內(nèi)心；②CG=GD:③/BC0s/CDEnB0?DE二C0?CE?CE2；24)4)在圖（1）中的線段BC、CE、AE、AD中，知二求四。AE1如圖（3）,若①BC=CE,貝呱②—^=tanZADR③BC：AC：AB=3：4：5；（在①、②、③中知一推二）④設(shè)AD2BE、CD交于點H,,則BH=2EH圖形3：如圖：Rt/ABC中，ZABC=90°，以AB為直徑作00交AC于D,基本結(jié)論有:如右圖：(1)DE切00oE是BC的中點；若DE切00,則：①DDE=BE=CE；D、0、B、E四點共圓nZCED=2ZACD?CA=4EE2,decdbcR~BD~BA

圖形特殊化：在(1)的條件下如圖1：DE#ABO/ABC、/CDE是等腰直角三角形；如圖2：若DE的延長線交AB的延長線于點F,若AB=BF,則:DEEF;?圖2DEEF;?圖2圖形4：如圖，/圖形4：如圖，/ABC中，AB=AC,以AB為直徑作00,交BC于點D,交AC于點F,基本結(jié)論有：DE丄ACODE切00；在DE丄AC或DE切00下，有：①/DFC是等腰三角形；②EF=EC；③D是bf的中點。④與基本圖形1的結(jié)論重合。⑤連AD，產(chǎn)生母子三角形。圖形5：：以直角梯形ABCD的直腰為直徑的圓切斜腰于E,基本結(jié)論有圖1 圖2C圖1 圖2C(1)如圖1：①AD+BC=CD； ②ZC0D=ZAEB=90°；③0D平分ZADC(或0C(1)如圖1：①AD+BC=CD； ②ZC0D=ZAEB=90°；AD?BC=4AB2=R2；如圖2,連AE、C0,則有：C0〃AE,C0?AE=2R2(與基本圖形2重合)如圖3,若EF丄AB于F,交AC于G,貝y：EG=FG.圖形6：如圖：直線PR丄00的半徑0B于E,PQ切00于Q,BQ交直線PQ于R?；窘Y(jié)論有：(1)PQ=PR(/(1)PQ=PR(/PQR是等腰三角形);(2)在“PR丄0B”“PQ切00”“PQ=PR”中，知二推2PR?RE=BR?RQ=BE2R=AB^圖形7：如圖，/ABC內(nèi)接于00,1為厶ABC的內(nèi)心?；窘Y(jié)論有:(1)如圖1,①BD=CD=ID②Dl2=DE?DA；I③ZAIB=90°+2ZACB;(2)如圖2,若ZBAC=60°，則:BD+CE=BC.圖形8:已知，AB是00的直徑，C是BG中點，CD丄AB于D。BG交CD、ACBbc=cg=ag于E、F。基本結(jié)論有：Bbc=cg=ag1CD=—BG；BE=EF=CEGF=2DE2(反之，由CD=2BG或BE=EF可得：C是BG點)10E二—AF,0E〃AC；/0DEs/AGF2BE?BG=BD?BA若D是OB的中點，貝呱①/CEF是等邊三角形；②四、范例講解：A1.△ABP中，ZABP=90°，以AB為直徑作00交AP于C點，弧CF=CB，過C作AF的垂線,交BP于D.AEF(1)求證：CD為00的切線； (2)連BF交AP于E,若BE=6,EF=2,求的值。AF

2?直角梯形ABCD中，ZBCD=90°,AB=AD+BCAB為直徑的圓交BC于E,連OC、BD交于F.⑴求證：CD為0O的切線(2)若be3，求亜的值A(chǔ)B~5 DF如圖，AB為直徑，PB為切線，點C在0O上,AC〃OP。求證：PC為0O的切線。過D點作DE丄AB,E為垂足，連AD交BC于G,CG=3,DE=4,求DG的值。DBB4。如圖，已知△ABC中，以邊BC為直徑的0O與邊AB交于點D,點E為BD的中點，AF為AABC的角平分線，且AF丄EC。(1)求證：AC與0O相切；B(2)若AC=6,BC=8,求EC的長CBAA如圖，Rt△ABC,以AB為直徑作0O交AC于點D,求證：DF為0O的切線；若DF=3,0O的半徑為5,求tanZBAC的值.如圖，AB為0O的直徑，C、D為0O上的兩點,ad=DC，過D作直線BC的垂線交直線AB于點E,F為垂足.(1)求證：EF為0O的切線；(2)若AC=6,BD=5,求sinE的值.如圖，AB為00的直徑，半徑0C丄AB,D為AB延長線上一點，過D作00的切線，E為切點，連結(jié)CE交AB于點F.(1)求證:DE=DF(1)求證:DE=DF；(2)連結(jié)AE，若0F=1，BF=3，求tanZA的值.BB如圖，RtAABC中，ZC=90°,BD平分ZABC，以AB上一點0為圓心過B、D兩點作00,00交AB于點一點E,EF丄AC于點F.求證：00與AC相切；若EF=3，BC=4，求tanZA的值.如圖，等腰△ABC中，AB=AC，以AB為直徑作00交BC于點D,DE丄AC于E.求證：DE為00的切線；若BC=4*5,AE=1,求cosZAEO的值.如圖，BD為00的直徑，A為bc的中點，AD交BC于點E,F為BC延長線上一點，且FD=FE.(1)求證：DF為00的切線;(2)若AE=2,DE=4,^BDF的面積為8込，求tanZEDF的值.11、如圖，AB是00的直徑，M是線段0A上一點，過M作AB的垂線交AC于點N,交BEN于點F,且ZECF=ZE.求證：CF是00的切線； -設(shè)00的半徑為1,且AC=CE=運，求AM的長.12、如圖，AB是00的直徑，BC丄AB,過點C作00的切線CE,點D是CE延長線上一點，連結(jié)AD,且AD+BC=CD求證：AD是00的切線；設(shè)0E交AC于F,若0F=3,EF=2,求線段BC的長.CBCB13、如圖，AABC中，AB=BC,以AB為直徑的00交AC于點D,且CD=BD求證：BC是00的切線；已知