第六章《圖形的相似》填空題專練

1.（2018?牡丹江）矩形ABCD中，AB=6,AD=8,點M在對角線AC上，且AM：

MC=2：3,過點M作EFLAC交AD于點E,交BC于點F.在AC上取一點P,

使NMEP=NEAC,則AP的長為.

2.（2018?百色）如圖，已知^ABC與△ABC是以坐標原點。為位似中心的位似

圖形，且_2^_=工，若點A（-1,0）,點C（1,1）,則AC=

0A'22

3.（2018?巴彥淖爾）如圖，。。為等腰三角形ABC的外接圓，AB是。。的直徑,

AB=12,P為侖上任意一點（不與點B,C重合），直線CP交AB的延長線于點

Q,?0在點P處的切線PD交BQ于點D,則下列結論：①若NPAB=30。，則PB

的長為兀；②若PD〃BC,則AP平分NCAB；③若PB=BD,則PD=6我；④無

論點P在敵E的位置如何變化，CP-CQ=108.其中正確結論的序號為.

4.（2018?青海）如圖，四邊形ABCD與四邊形EFGH位似，其位似中心為點0,

5.（2018?梧州）如圖，點C為RtAACB與RtADCE的公共點，ZACB=ZDCE=90°,

連接AD、BE,過點C作CFLAD于點F,延長FC交BE于點G.若AC=BC=25,

CE=15,DC=20,則明的值為

BG

6.（2018?常州）如圖,在^ABC紙板中，AC=4,BC=2,AB=5,P是AC上一點，

過點P沿直線剪下一個與4ABC相似的小三角形紙板，如果有4種不同的剪

法，那么AP長的取值范圍是.

7.（2018?撫順）如圖，ZXAOB三個頂點的坐標分別為A（8,0）,0（0,0）,B

（8,-6）,點M為0B的中點.以點0為位似中心，把aAOB縮小為原來的

L,得到△A9E,點M，為。⑻的中點，則MIW的長為

2

8.（2018?沈陽）如圖，aABC是等邊三角形，AB=Vr，點D是邊BC上一點，點

H是線段AD上一點，連接BH、CH.當NBHD=60。，NAHC=90。時，DH=.

9.（2018?錦州）如圖，在平面直角坐標系中，每個小方格都是邊長為1個單位

長度的正方形，已知aAOB與AAiOBi位似，位似中心為原點0,且相似比為

3：2,點A,B都在格點上，則點Bi的坐標為.

11.（2018?上海）如圖，已知正方形DEFG的頂點D、E在AABC的邊BC上，頂

點G、F分別在邊AB、AC上.如果BC=4,Z\ABC的面積是6,那么這個正方

形的邊長是

12.（2018?資陽）已知：如圖，Z^ABC的面積為12,點D、E分別是邊AB、AC

的中點，則四邊形BCED的面積為.

13.（2018?包頭）如圖，在口ABCD中，AC是一條對角線，EF〃BC,且EF與AB

相交于點E,與AC相交于點F,3AE=2EB,連接DF.若S^AEF=1，則S.F的值

為?

14.（2018?貴陽）如圖，在aABC中，BC=6,BC邊上的高為4,在aABC的內(nèi)部

作一個矩形EFGH,使EF在BC邊上，另外兩個頂點分別在AB、AC邊上，則

對角線EG長的最小值為.

15.（2018?葫蘆島）如圖，在矩形ABCD中，點E是CD的中點，將4BCE沿BE

折疊后得到^BEF、且點F在矩形ABCD的內(nèi)部，將BF延長交AD于點G.若

理_」，則必

GA7AB

16.（2018?吉林）如圖是測量河寬的示意圖，AE與BC相交于點D,ZB=ZC=90°,

測得BD=120m,DC=60m,EC=50m,求得河寬AB=m.

17.（2018?北京）如圖，在矩形ABCD中，E是邊AB的中點，連接DE交對角線

AC于點F,若AB=4,AD=3,則CF的長為

18.（2018?荷澤）如圖，AOAB與AOCD是以點O為位似中心的位似圖形，相

似比為3：4,ZOCD=90°,ZAOB=60°,若點B的坐標是（6,0）,則點C的

坐標是_______

_LAB于點E且DE交AC于點F,DB交AC于點G,若空=3，則5_=.

AE4GB

20.（2018?婁底）如圖，已知半圓。與四邊形ABCD的邊AD、AB、8（：者日相切，

切點分別為D、E、C,半徑OC=1,則AE?BE=.

21.（2018?泰安）《九章算術》是中國傳統(tǒng)數(shù)學最重要的著作，在"勾股”章中有

這樣一個問題："今有邑方二百步，各中開門，出東門十五步有木，問：出南

門幾步而見木？”

用今天的話說，大意是：如圖，DEFG是一座邊長為200步（"步〃是古代的長度

單位）的正方形小城，東門H位于GD的中點，南門K位于ED的中點，出東

門15步的A處有一樹木，求出南門多少步恰好看到位于A處的樹木（即點D

22.（2018?南充）如圖，在AABC中，DE〃BC,BF平分NABC,交DE的延長線

于點F.若AD=1,BD=2,BC=4,則EF=.

23.（2018?舟山）如圖，直線k〃l2〃l3，直線AC交k，l2,b于點A,B,C；直

線DF交li，出b于點D,E,F,已知亞則匹

AC3DE

24.（2018?連云港）如圖，△ABC中，點D、E分別在AB、AC上，DE〃BC,AD：

DB=1：2,則4ADE與△ABC的面積的比為

25.（2018?成都）已知告旦=g,且a+b-2c=6,則a的值為

654

26.（2018?安順）如圖，點Pi，P2,P3,P4均在坐標軸上,且PiPz-LP2P3,P2P3

J_P3P4,若點Pi，Pz的坐標分別為（0,-1）,（-2,0）,則點P4的坐標為

27.（2017?桂林）如圖，在矩形ABCD中，對角線AC,BD交于點0,過點A作

EA_LCA交DB的延長線于點E,若AB=3,BC=4,則處的值為.

AE

28.（2017?內(nèi)江）如圖，正方形ABCD中，BC=2,點M是邊AB的中點，連接

DM,DM與AC交于點P,點E在DC上，點F在DP上，且NDFE=45。.若PF=WE,

6

則CE=.

29.（2017?云南）如圖，在AABC中，D、E分別為AB、AC上的點，若DE〃BC,

AD-1則AD+DE+AE=

百可，、AB+BC+AC--

30.（2017?內(nèi)江）如圖，四邊形ABCD中，AD〃BC,CM是NBCD的平分線，且

CM1AB,M為垂足，AM=17\B.若四邊形ABCD的面積為則四邊形AMCD

37

的面積是.

31.（2017?杭州）如圖，在RtaABC中,ZBAC=90°,AB=15,AC=20,點D在邊

AC上，AD=5,DELBC于點E,連結AE,則aABE的面積等于.

32.如圖，已知NAOB=60。，點P在邊OA上，OP=10,點M,N在邊OB上，PM=PN,

點C為線段OP上任意一點，CD〃ON交PM、PN分別為D、E.若MN=3,則

生的值為

33.如圖，菱形ABCD中，AB=AC,點E、F分別為邊AB、BC上的點，且AE=BF,

連接CE、AF交于點H,連接DH交AG于點0.則下列結論①AABF絲4CAE,

②NAHC=120。，③AH+CH=DH,@AD2=OD*DH中，正確的是.

34.如圖，在梯形ABCD中，AB〃CD,AC、BD相交于點。，若AC=6,BD=8,中

位線長為5,4AOB的面積為Si，△COD的面積為S2,則歷+癡『?

35.如圖，n個邊長為1的相鄰正方形的一邊均在同一直線上，點Mi，M2,M3,...Mn

分別為邊B1B2,B2B3,B3B4,BnBn*i的中點,△BiJMi的面積為Si，AB2C2M2

的面積為S2,...ABnCnMn的面積為Sn,則Sn=.（用含n的式子表示）

ABC面積的三分之一，那么，線段BD長為

E

37.如圖，在矩形ABCD的邊AB上有一點E,且迪金，DA邊上有一點F,且

EB2

EF=18,將矩形沿EF對折，A落在邊BC上的點G,則AB=.

38.如圖所示，設M是AABC的重心，過M的直線分別交邊AB,AC于P,Q兩

39.已知a,b為非零實數(shù)，且里組』，則a+3b大.

a+3b2a+4b

40.如圖I,OC是NAOB的平分線，點P在OC上且0P=4,ZAOB=60°,過點P

的動直線DE交0A于D,交0B于E,那么

B

a

D

答案與解析

1?【分析】根據(jù)題意可得AC=10,由AM：MC=2：3可得AM=4,根據(jù)三角函數(shù)

求EM=3,根據(jù)NMEP=NEAC,則tan/PEM=tan/DAC=W,可求PM的長,即

4

可求AP的長.

若P在線段AM上，

VZEAC=ZPEM,

/.tanZPEM=tanZDAC=PM-ME,

ME-AM

?PM

??，-一“一3，

3~4

.,.PM=X

4

，AP=AM-PM=H；

4

若P在線段MC上，

VZEAC=ZPEM,

tanZPEM=tanZDAC=^2L-J^.,

ME-AM

，PM=2,

4

;.AP=AM+PM=2^,

4

.,.AP的長為/或普.

【點評】本題考查了矩形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，分類討論思想，關鍵是用銳角

三角函數(shù)求出EM的長.

2.【分析】根據(jù)位似圖形的性質(zhì)和已知求出UD和0A，，求出A，D,根據(jù)勾股定

理求出AC即可.

【解答】解：設C作CD_Lx軸于D,

'.?△ABC與△ABC是以坐標原點0為位似中心的位似圖形，且點A(-

0A'2

1,0),點C(L1),

2

，A'(-2,0),C(1,2),

，OA'=2,DC'=2,OD=1,

.,.A'D=1+2=3,

2=

?"=石2+2V13?

故答案為：713.

【點評】本題考查了位似變換、坐標與圖形性質(zhì)、勾股定理等知識點，能求出點

A，和U的坐標是解此題的關鍵.

3.【分析】①根據(jù)NPOB=60。，OB=6,即可求得弧康的長；②根據(jù)切線的性質(zhì)

以及垂徑定理，即可得到6=籥，據(jù)此可得AP平分NCAB；③根據(jù)

BP=BO=PO=6,可得△BOP是等邊三角形，據(jù)此即可得出PD=6代；④判定△

ACPs^QCA,即可得到型空，即CP?CQ=CA2,據(jù)此即可判斷；

CACQ

【解答】解：如圖，連接0P,

VAO=OP,ZPAB=30°,

.,.ZPOB=60°,

VAB=12,

，0B=6,

.?.窟的長為60?兀?6=2兀,故①錯誤；

180

VPD是。。的切線，

/.OP±PD,

?.?PD〃BC,

AOPlBC,

?'-CP=PB-

/.ZPAC=ZPAB,

，AP平分NCAB,故②正確；

若PB=BD,則NBPD=NBDP,

VOP1PD,

/.ZBPD+ZBPO=ZBDP+ZBOP,

.*.ZBOP=ZBPO,

，BP=BO=PO=6,即ABOP是等邊三角形,

，PD=仃OP=6代，故③正確；

VAC=BC,

/.ZBAC=ZABC,

又ZABC=ZAPC,

ZAPC=ZBAC,

又?.,NACP=NQCA,

...△ACPs/XQCA,

...生=生，即CP?CQ=CA2=72,故④錯誤;

CACQ

故答案為：②③.

【點評】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，垂徑定理，切線的性質(zhì)以及

弧長公式的綜合應用，解決問題的關鍵是作輔助線，構造三角形，解題時注

意：垂直弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的弧.

4?【分析】直接利用位似圖形的性質(zhì)結合位似比等于相似比得出答案.

【解答】解：???四邊形ABCD與四邊形EFGH位似，其位似中心為點0,且還?=&,

EA3

?-?-0-E,-4,

0A7

則弛=?%=_￡.

BC0A7

故答案為：1.

7

【點評】此題主要考查了位似變換，正確掌握位似圖形的性質(zhì)是解題關鍵.

5.【分析】過E作EH_LGF于H,過B作BPJ_GF于P,依據(jù)△EHGs^BPG,可

得股=空，再根據(jù)△DCFs^CEH,AACF^ACBP,即可得到EH=5CF,BP=CF,

BGBP4

進而得出四=3.

BG4

【解答】解:如圖，過E作EH±GF于H,過B作BP±GF于P,則NEHG=NBPG=90°,

XVZEGH=ZBGP,

.,.△EHG^ABPG,

-EG-EH

,?修薩，

VCF1AD,

，NDFC=NAFC=90°,

/.ZDFC=ZCHF,NAFC=NCPB,

又ZACB=ZDCE=90°,

/.ZCDF=ZECH,ZFAC=ZPCB,

.'.△DCF^ACEH,AACF^ACBP,

?EH_CE_3BP_BC=1

.,.EH=1JCF,BP=CF,

4

?EH,3

??----9

BP4

???EGL,3,

BG4

故答案為:1.

【點評】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，解決問題的關鍵是作輔助線

構造相似三角形，利用相似三角形的對應邊成比例進行推算.

6.【分析】分四種情況討論，依據(jù)相似三角形的對應邊成比例，即可得到AP的

長的取值范圍.

【解答】解：如圖所示，過P作PD〃AB交BC于D或PE〃BC交AB于E,則4

PCD^AACB或△APES"CB,

此時0<APV4；

如圖所示，過P作/APF=/B交AB于F,則△APFSZ^ABC,

此時0VAPW4；

如圖所示，過P作NCPG=/CBA交BC于G,則△CPGs^CBA,

此時，△CPGs^CBA,

當點G與點B重合時,CB2=CPXCA,BP22=CPX4,

/.CP=1,AP=3,

，止匕時，3WAPV4；

綜上所述，AP長的取值范圍是3WAPV4.

故答案為：3WAPV4.

【點評】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)，相似三角形的對應角相等，對應邊

的比相等.

7.【分析】分兩種情形畫出圖形，即可解決問題；

【解答】解：如圖，在RtZ\AOB中，OB=^62+82=10,

①當△AOB，在第四象限時，MMZ=5.

2

②當△A"OB"在第二象限時，MM，=H,

2

故答案為§或

22

【點評】本題考查位似變換，坐標與圖形的性質(zhì)等知識，解題的關鍵是學會用分

類討論的思想思考問題，屬于中考?？碱}型.

8?【分析】作AE_LBH于E,BFLAH于F,如圖，利用等邊三角形的性質(zhì)得AB=AC,

ZBAC=60°,再證明NABH=NCAH,則可根據(jù)"AAS”證明aABE絲ZiCAH,所以

BE=AH,AE=CH,在RtAAHE中利用含30度的直角三角形三邊的關系得到

HE=17\H,AE=YiAH,則CH=YiAH,于是在Rt^AHC中利用勾股定理可計算

222

出AH=2,從而得到BE=2,HE=1,AE=CH=a，BH=1,接下來在RtABFH中計

算出HF=1,BF=返，然后證明△CHDs^BFD,利用相似比得到坦從而

22FD

利用比例性質(zhì)可得到DH的長.

【解答】解：作AELBH于E,BF_LAH于F,如圖，

「△ABC是等邊三角形，

；.AB=AC,NBAC=60°,

VZBHD=ZABH+ZBAH=60°,ZBAH+ZCAH=60°,

/.ZABH=ZCAH,

在4ABE和ACAH中

fZAEB=ZAHC

<NABE=NCAH，

AB=CA

.,.△ABE^ACAH,

，BE=AH,AE=CH,

在RtAAHE中，NAHE=NBHD=60。，

，sin/AHE=^_,HE=1AH,

AH2

.*.AE=AH*sin600=^lAH,

_2

.,.CH=2Z1AH,

2_

在RQAHC中，AH2+（零AH）2=AC2=（V?）2,解得AH=2,

；.BE=2,HE=1,AE=CH=百，

；.BH=BE-HE=2-1=1,

在Rt^BFH中，HF=LBH=L,BF=1,

222

VBF/7CH,

.,.△CHD^ABFD,

?HD_CH一巨？

FDBFV3

2

.,.DH=-2nF=-2xi=±.

3323

故答案為L.

3

【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：在判定兩個三角形相似時，應注

意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作

用，尋找相似三角形的一般方法是通過作平行線構造相似三角形.也考查了

全等三角形的判定與性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì).

9?【分析】把B的橫縱坐標分別乘以-2得到B，的坐標.

3

【解答】解：由題意得：^AOB與△AQB1位似，位似中心為原點。，且相似比

為3：2,

XVB（3,1）

.?出，的坐標是［3*（-2）,ix（-2）］,即夕的坐標是（-2,-2）；

333

故答案為：（-2,-2）.

3

【點評】本題考查了位似變換：先確定點的坐標，及相似比，再分別把橫縱坐標

與相似比相乘即可，注意原圖形與位似圖形是同側還是異側，來確定所乘以

的相似比的正負.

10?【分析】根據(jù)等式的性質(zhì)，可用a表示b,根據(jù)分式的性質(zhì)，可得答案.

【解答】解：由得

b3

b=-^a.

2

3a

a-2X--

a-2b=______2二_1

6Ma+2X要-2’

故答案為：-—.

2

【點評】本題考查了比例的性質(zhì)，利用等式的性質(zhì)得出b=Wa是解題關鍵，又利

2

用了分式的性質(zhì).

11.【分析】作AHLBC于H,交GF于M,如圖，先利用三角形面積公式計算出

AH=3,設正方形DEFG的邊長為x,則GF=x,MH=x,AM=3-x,再證明aAGF

/△ABC,則根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得區(qū)=旦，然后解關于x的方程即可.

43

【解答】解：作AHJ_BC于H,交GF于M,如圖，

「△ABC的面積是6,

1.LBC?AH=6,

2

.?.AH=2X?,

4

設正方形DEFG的邊長為X,則GF=x,MH=x,AM=3-x,

VGF/7BC,

.,.△AGF^AABC,

.?.更=幽，即上且，解得x=」l

BCAH437

即正方形DEFG的邊長為11.

7

故答案為空.

【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：在判定兩個三角形相似時，應注

意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作

用，尋找相似三角形的一般方法是通過作平行線構造相似三角形；在應用相

似三角形的性質(zhì)時，主要利用相似比計算相應線段的長.也考查了正方形的

性質(zhì).

12.【分析】設四邊形BCED的面積為X,則SAADE=12-x,由題意知DE〃BC且

DE=J_BC,從而得也外(DE)2,據(jù)此建立關于x的方程，解之可得.

2S/kABCBC

【解答】解：設四邊形BCED的面積為X,則SAADE=12-X,

?.?點D、E分別是邊AB、AC的中點，

ADE是4ABC的中位線，

，DE〃BC,且DE=LBC,

2

/.△ADE^AABC,

則SAADE二(迺)2,即12-x=l,

^AABCBC124

解得：x=9,

即四邊形BCED的面積為9,

故答案為：9.

【點評】本題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關鍵是掌握中位線定理

及相似三角形的面積比等于相似比的平方的性質(zhì).

13.【分析】由3AE=2EB可設AE=2a、BE=3a,根據(jù)EF〃BC得也邂=（嶇）？=_￡,

^AABC處25

結合SMEF=1知SMDC=SAABC=空，再由雙?2知,△助F=2,繼而根據(jù)

4FCBE3S/\CDF3

ADF二區(qū)△ADC可得答案.

5

【解答】解：V3AE=2EB,

可設AE=2a、BE=3a,

EF〃BC,

△AEFs/XABC,

SaAEF（AE）2=（2a）2=4

,△ABCAB2a+3a25

SAAEF=1?

SAABC=-^->

4

四邊形ABCD是平行四邊形,

SAADC=SAABC=-^，

4

EF〃BC,

AF=AE_2a=2；

SAADF；AF=2,

^ACDFCF3

SAADF=-^AADC=-上L=3,

5542

故答案為：1.

2

【點評】本題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關鍵是掌握相似三角形

的判定及性質(zhì)、平行線分線段成比例定理及平行四邊形的性質(zhì).

14.【分析】作AQ1.BC于點Q,交DG于點P,設GF=PQ=x,則AP=4-x,證4

ADGs△ABC得處=理_,據(jù)此知EF=DG=芻（4-x）,由

AQBC2

EG=7EF2+GF可梟星)2您可得答案.

【解答】解：如圖，作AQJ_BC于點Q,交DG于點P,

?.?四邊形DEFG是矩形,

，AQ_LDG,GF=PQ,

設GF=PQ=x,貝ljAP=4-x,

由DG〃BC知△ADGsaABC,

?AP_DGan4~x_DG

??一,,"..y

AQBC46

貝ijEF=DG=A(4-x),

2

*#,EG=VEF2+GF2

=^y(4-x)2+x2

--J-^-X2-18X+36

.?.當x=^時，EG取得最小值，最小值為受亙，

1313

故答案為：空叵.

13

【點評】本題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關鍵是掌握矩形的性質(zhì)、

相似三角形的判定與性質(zhì)及二次函數(shù)的性質(zhì)及勾股定理.

15.【分析】由中點定義可得DE=CE,再由翻折的性質(zhì)得出DE=EF,BF=BC,ZBFE=

ZD=90°,從而得到DE=EF,連接EG,利用"HL"證明Rtz^EDGgRtAEFG,得出

DG=FG,設DG=a,求出GA、AD,再由矩形的對邊相等得出AD=BC,求出BF,

再求出BG,由勾股定理得出AB,再求比值即可.

【解答】解:連接GE,

?.,點E是CD的中點，

，EC=DE,

?.?將4BCE沿BE折疊后得到aBEF、且點F在矩形ABCD的內(nèi)部,

；.EF=DE,NBFE=90°,

在RtAEDG和RtAEFG中

[GE=GE,

lDE=EF，

ARtAEDG^RtAEFG(HL),

AFG=DG,

???—DG_——1,

GA7

.,.設DG=FG=a,則AG=7a,

故AD=BC=8a,

則BG=BF+FG=9a,

AB=V(9a)2-(7a)，

故必魁三&.

AB4V2a

故答案為：A/2-

【點評】本題考查了矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理的應用、

以及翻折變換的性質(zhì)；熟記性質(zhì)并作輔助線構造出全等三角形是解題的關鍵.

16.【分析】由兩角對應相等可得△BADsaCED,利用對應邊成比例可得兩岸間

的大致距離AB.

【解答】解：VZADB=ZEDC,ZABC=ZECD=90",

/.△ABD^AECD,

?ABBDeBDXEC

ECCDCD

解得：AB」20X50（米）.

601u

故答案為:100.

【點評】此題主要考查了相似三角形的應用；用到的知識點為：兩角對應相等的

兩三角形相似；相似三角形的對應邊成比例.

17.【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)可得出AB〃CD,進而可得出NFAE=NFCD,結合/

AFE=ZCFD（對頂角相等）可得出△AFEs/\CFD,利用相似三角形的性質(zhì)可得

出生④2,利用勾股定理可求出AC的長度，再結合CF=CF?A&即可

AFAECF+AF

求出CF的長.

【解答】解：???四邊形ABCD為矩形，

；.AB=CD,AD=BC,AB/7CD,

，NFAE=NFCD,

又；ZAFE=ZCFD,

.'.△AFE^ACFD,

?CF_CD_7

AFAE

VAC=VAB2+BC2=5,

CF=.，AC=_g_X5=%

CF+AF2+13

故答案為：W.

【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、矩形的性質(zhì)以及勾股定理，利用

相似三角形的性質(zhì)找出CF=2AF是解題的關鍵.

18?【分析】根據(jù)題意得出D點坐標，再解直角三角形進而得出答案.

【解答】解：分別過A、C作AELOB,CF±OB,

VZOCD=90°,NAOB=60°,

AZABO=ZCDO=30°,ZOCF=30°,

「△OAB與△OCD是以點。為位似中心的位似圖形，相似比為3：4,點B的坐

標是（6,0）,

：.D（8,0）,則DO=8,

故0C=4,

則F0=2,CF=CO*cos30°=4X^1=2J3,

2

故點C的坐標是：（2,2a）.

故答案為：（2,2百）.

【點評】此題主要考查了位似變換，運用位似圖形的性質(zhì)正確解直角三角形是解

題關鍵.

19.【分析】由AB是直徑，推出NADG=NGCB=90。，因為NAGD=NCGB,推出

cosZCGB=cosZAGD,可得竺=幽，設EF=3k,AE=4k,則AF=DF=FG=5k,DE=8k,

BGAG

想辦法求出DG、AG即可解決問題；

【解答】解：連接AD,BC.

VAB是半圓的直徑，

/.ZADB=90°,又DE_LAB,

...NADE=NABD,

是踴的中點，

AZDAC=ZABD,

，ZADE=ZDAC,

/.FA=FD；

VZADE=ZDBC,ZADE+ZEDB=90°,NDBC+NCGB=90",

/.ZEDB=ZCGB,又NDGF=NCGB,

/.ZEDB=ZDGF,

/.FA=FG,

VEF-2,設EF=3k,AE=4k,則AF=DF=FG=5k,DE=8k,

AE4

在RtAADE中，AD=^DE2+AE2=4V5k,

VAB是直徑,

，ZADG=ZGCB=90°,

VZAGD=ZCGB,

cosZCGB=cosZAGD,

???CG_一DG,

BGAG

在RtAADG中，DG=^AG2_AD2=2V5k,

，疾二芯

???CGL一，kL，

BG10k5

故答案為：后.

【點評】本題考查的是圓的有關性質(zhì)、勾股定理、銳角三角函數(shù)等知識，解題的

關鍵是學會添加常用輔助線，學會利用參數(shù)解決問題，屬于中考?？碱}型.

20.【分析】想辦法證明△AEC>S/\OEB,可得應強，推出AE?BE=OE2=L

0EBE

【解答】解：如圖連接OE.

?.?半圓。與四邊形ABCD的邊AD、AB、BC都相切，切點分別為D、E、C,

/.OE±AB,AD±CD,BC±CD,ZOAD=ZOAE,NOBC=NOBE,

，AD〃BC,

.?.ZDAB+ZABC=180°,

/.ZOAB+ZOBA=90°,

ZAOB=90°,

VZOAE+ZAOE=90°,ZAOE+ZBOE=90°,

NEAO=NEOB,

VZAEO=ZOEB=90°,

.,.△AEO^AOEB,

???AE一.O，一E，一,

OEBE

.,.AE?BE=OE2=I,

故答案為1.

【點評】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)、圓周角定理、切線的性質(zhì)等知識,

解題的關鍵是正確尋找相似三角形解決問題.

21?【分析】證明△CDKsaDAH,利用相似三角形的性質(zhì)得用=地，然后利用

10015

比例性質(zhì)可求出CK的長.

【解答］解:DH=100,DK=1OO,AH=15,

VAH//DK,

/.ZCDK=ZA,

而NCKD=NAHD,

/.△CDK^ADAH,

即

CK=DKTCK=100,

a，DHAH'100^^5~，

...CK=2000

3

答：KC的長為駟_步.

故答案為空22_.

【點評】本題考查了相似三角形的應用：利用視點和盲區(qū)的知識構建相似三角形,

用相似三角形對應邊的比相等的性質(zhì)求物體的高度.

22.【分析】由DE〃BC可得出△ADEs^ABC,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)和平行線

的性質(zhì)解答即可.

【解答】解：?；DE〃BC,

/.ZF=ZFBC,

VBF平分NABC,

；.NDBF=NFBC,

AZF=ZDBF,

/.DB=DF,

VDE/7BC,

.?.△ADE^AABC,

ADDE,即1_DE：

，eAD+DB'BC，'1+2=4'

解得:DE=A,

3

VDF=DB=2,

/.EF=DF-DE=2-

3"3

故答案為：2

3

【點評】此題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，關鍵是由DE〃BC可得出AADEs

△ABC.

23.【分析】根據(jù)題意求出此，根據(jù)平行線分線段成比例定理解答.

AB

【解答】解：?.?膽工，

AC3

?BC,?

AB

Vh//I2//I3,

???E'F—--B--C-Zo.，

DEAB

故答案為：2.

【點評】本題考查的是平行線分線段成比例定理，靈活運用定理、找準對應關系

是解題的關鍵.

24.【分析】根據(jù)DE〃BC得到△ADEs^ABC,再結合相似比是AD：AB=1：3,

因而面積的比是1：9,問題得解.

【解答】解：?.,DE〃BC,

/.△ADE^AABC,

VAD：DB=1：2,

AAD：AB=1：3,

，SAADE：S^ABC是1：9-

故答案為：1：9.

【點評】本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)，熟知相似三角形面積的比等于

相似比的平方是解答此題的關鍵.

25.【分析】直接利用已知比例式假設出a,b,c的值，進而利用a+b-2c=6,

得出答案.

【解答】解：???旦=旦=￡,

654

??】攵a=6x,b=5x,c=4x,

a+b-2c=6,

6x+5x-8x=6,

解得：x=2,

故a=12.

故答案為：12.

【點評】此題主要考查了比例的性質(zhì)，正確表示出各數(shù)是解題關鍵.

26.【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出P3D的坐標，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)

計算求出0P4的長，得到答案.

【解答】解：?.?點Pi，P2的坐標分別為（0,-1）,（-2,0）,

/.OPi=l,OP2=2,

RtAPiOP2^RtAP2OP3，

-OP1_op2pn1-2

0P20P320P3

解得，OP3=4,

RSP20P3SRSP30P4，

.0P_0P2.4

.?---------2-------------3---,P>IJI—,

0P30P440P4

解得,OP4=8,

則點P4的坐標為（8,0）,

故答案為：（8,0）.

【點評】本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)以及坐標與圖形的性質(zhì)，掌握相

似三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關鍵.

27.【分析】作BH_LOA于H,如圖，利用矩形的性質(zhì)得OA=OC=OB,ZABC=90°,

則根據(jù)勾股定理可計算出AC=5,AO=OB=1,接著利用面積法計算出BH=11,

25

于是利用勾股定理可計算出OH—L,然后證明△OBHSAOEA,最后利用相

10

似比可求出處的值.

AE

【解答】解：作BHLOA于H,如圖，

?.?四邊形ABCD為矩形，

AOA=OC=OB,ZABC=90°,

在RtZ\ABC中，AC=^32+42=5,

.?.AO=OB=$,

2

V±BH*AC=ly\B?BC,

22

..BH=3X4^12,

55____________

在RWOBH中，OH=V訴（營產(chǎn)含

*.?EA±CA,

，BH〃AE,

.,.△OBH^AOEA,

???BH_一OH,

AEOA

7

?OA=OH_-7

??AE~BH一絲24"

5

故答案為JL.

【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：在判定兩個三角形相似時，應注

意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作

用，尋找相似三角形的一般方法是通過作平行線構造相似三角形；在利用三

角形相似的性質(zhì)時主要利用相似比計算線段的長.也考查了矩形的性質(zhì).

28.【分析】如圖，連接EF.首先求出DM、DF的長，證明△DEFs^DPC,可得

出二理，求出DE即可解決問題.

DCDP

【解答】解:如圖,連接EF.

?.?四邊形ABCD是正方形，

，AB=BC=CD=DA=2,ZDAB=90°,ZDCP=45°,

；.AM=BM=1,

在中，

RtZ\ADMDM=A/AD2+AH2=^27p=V5,

：AM〃CD,

???A”M_■—M,■P_■，■1--,

DCPD2

代,

...Dp=2vPF=V5_,

36

.*.DF=DP-PF=返，

2

VZEDF=ZPDC,ZDFE=ZDCP,

/.△DEF^ADPC,

??D?FL.DE,

DCDP

返

.V_DE

Y醞

3

:.DE=$,

6

，CE=CD-DE=2-星工.

66

故答案為工.

6

【點評】本題考查正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、平行線

分線段成比例定理等知識，解題的關鍵是正確尋找相似三角形解決問題，屬

于中考?？碱}型.

29.【分析】直接利用相似三角形的判定方法得出△ADEs4ABC,再利用相似三

角形的周長比等于相似比進而得出答案.

【解答】解：?.，DE〃BC,

.,.△ADES/XABC,

AD=AD+DE+AE=1

ABAB+BC+AC

故答案為：1.

3

【點評】此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，正確得出相似三角形是解題

關鍵.

30.【分析】延長BA、CD,交點為E.依據(jù)題意可知MB=ME.然后證明aEAD

^△EBC.依據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求得aEAD和4EBC的面積，最后依據(jù)S

四邊形AMCD=LSaEBC-S.EAD求解即可.

2

【解答】解：如圖所示：延長BA、CD,交點為E.

，MB=ME,

又,.,AM=L\B,

3

，BM=2AM.EM=2AM,

；.AM=AE,

，AE=1AB,

3

.?.AEJBE,

4

?.?AD〃BC,

/.△EAD^AEBC,

?SAEAD_1

?------------------9

“EBC16

?"S四邊形ADCBU^^SAEBCM"^"，

167

,,SAEBC=-^->

7

?e?SAEAD=-i^-X

7167

?"S四邊形AMCD=k/SEBC-SAEAD=---^=1>

277

故答案為：1.

【點評】本題主要考查的是相似三角形的性質(zhì)和判定，掌握本題的輔助線的作法

是解題的關鍵.

31.【分析】由勾股定理求出BC=^AB2+AC^25,求出aABC的面積=150,證明

△CDE^ACBA,得出CE=CD,求出CE=12,得出BE=BC-CE=13,再由三角形

AC-CB

的面積關系即可得出答案.

【解答】解:,在RQABC中,ZBAC=90°,AB=15,AC=20,

ABC=VAB2+AC2=25,AABC的面積審B?AC=/15X20=150,

VAD=5,

/.CD=AC-AD=15,

VDE1BC,

/.ZDEC=ZBAC=90°,

又,.，NC=NC,

/.△CDE^ACBA,

*CECD即CE15:

??而五’：、而看‘

解得：CE=12,

ABE=BC-CE=13,

?.,△ABE的面積：ZXABC的面積=BE：BC=13：25,

，AABE的面積150=78；

25

故答案為：78.

【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、三角形的面積；熟練

掌握勾股定理，證明三角形相似是解決問題的關鍵

32.【分析】過P作PQ垂直于MN,利用三線合一得到Q為MN中點，求出MQ

的長，在直角三角形OPQ中，利用30度所對的直角邊等于斜邊的一半求出

OQ的長，由OQ-MQ求出OM的長，然后根據(jù)平行線分線段成比例即可得

到結論.

【解答】解：過P作PQ1MN,

VPM=PN,

/.MQ=NQ=2，

2

在RtZ\OPQ中，OP=10,ZAOB=60°,

，NOPQ=30°,

，OQ=5,

則OM=OQ-QM=工，

2

VCD^ON,

；iCD_PD_DE；

TPM=MN'

7

；iCD_0M_2=7

??而13而T"6

故答案為；I.

【點評】此題考查了平行線分線段成比例，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，以及

含30度直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握勾股定理是解本題的關鍵.

33.【分析】由菱形ABCD中，AB=AC,易證得aABC是等邊三角形，則可得NB=

NEAC=60°,由SAS即可證得4ABF絲Z\CAE；則可得NBAF=NACE,利用三角

形外角的性質(zhì)，即可求得NAHC=120。；在HD上截取HK=AH,連接AK,易得

點A,H,C,D四點共圓，則可證得AAHK是等邊三角形，然后由AAS即可

證得aAKD之△AHC,則可證得AH+CH=DH；易證得△OADs^AHD,由相似

三角形的對應邊成比例，即可得AD2=OD?DH.

【解答】解：?.?四邊形ABCD是菱形，

，AB=BC,

VAB=AC,

，AB=BC=AC,

即AABC是等邊三角形，

同理：^ADC是等邊三角形

/.ZB=ZEAC=60o,

在4ABF和4CAE中，

'BF=AE

<NB=NEAC，

BC=AC

/.△ABF^ACAE(SAS)；

故①正確；

，/BAF=NACE,

,/ZAEH=ZB+ZBCE,

/.ZAHC=ZBAF+ZAEH=ZBAF+ZB+ZBCE=ZB+ZACE+ZBCE=ZB+Z

ACB=60o+60°=120°；

故②正確；

在HD上截取HK=AH,連接AK,

ZAHC+ZADC=120°+60°=180°,

.?.點A,H,C,D四點共圓，

/.ZAHD=ZACD=60°,NACH=/ADH,

...△AHK是等邊三角形，

，AK=AH,ZAKH=60°,

.,.ZAKD=ZAHC=120°,

在AAKD和aAHC中，

'NAKD=/AHC

-ZADH=ZACH，

AD=AC

/.△AKD^AAHC(AAS),

，CH=DK,

，DH=HK+DK=AH+CH；

故③正確；

VZOAD=ZAHD=60°,NODA=NADH,

/.△OAD^AAHD,

AAD：DH=OD：AD,

.*.AD2=OD?DH.

故④正確.

故答案為：①②③④.

【點評】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定

與性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì).此題難度較大，注意掌握輔助線的作

法，注意數(shù)形結合思想的應用.

34.【分析】作BE〃AC,從而得到平行四邊形ACEB,根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)及

中位線定理可求得DE的長，根據(jù)勾股定理的逆定理可得到ADBE為直角三角

形，根據(jù)面積公式可求得梯形的高，從而不難求解.

【解答】解：過點B作BE〃AC,交DC的延長線于點E,

VAB//CE,

四邊形ABEC是平行四邊形，

；.CE=AB,BE=AC,

???梯形中位線，

/.AB+CD=10,

/.DE=CE+CD=AB+CD=10,

VBE=AC=6,BD=8