抓住數(shù)學(xué)本質(zhì)凸顯核心素養(yǎng)

——一道“無(wú)刻度直尺”中考題的思考摘要：“無(wú)刻度直尺”是“尺規(guī)作圖”新的升級(jí)，屬于中考的熱門考點(diǎn)。本文以一道中考題為背景，從題目條件為切口入手，發(fā)散學(xué)生的思維，回歸問(wèn)題的本質(zhì)。同時(shí)在現(xiàn)在雙減大背景下，減輕學(xué)生負(fù)擔(dān)，又需要提高學(xué)生的學(xué)習(xí)質(zhì)量，就需要我們教師學(xué)會(huì)抓住數(shù)學(xué)本質(zhì)，改進(jìn)教學(xué)方式，開展多解（變）教學(xué)，促進(jìn)深度學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維，最終培養(yǎng)學(xué)生綜合學(xué)科素養(yǎng)。關(guān)鍵詞：無(wú)刻度作圖、知識(shí)遷移、學(xué)科核心素養(yǎng)一、試題呈現(xiàn)(2021·天津市中考第18題)如圖，在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格中，△ABC的頂點(diǎn)A，C均落在格點(diǎn)上，點(diǎn)B在網(wǎng)格線上．1.線段AC的長(zhǎng)等于_____；2.以AB為直徑的半圓的圓心為O，在線段AB上有一點(diǎn)P，滿足AP=AC請(qǐng)用無(wú)刻度的直尺，在如圖所示的網(wǎng)格中，畫出點(diǎn)P，并簡(jiǎn)要說(shuō)明點(diǎn)P的位置是如何找到的(不要求證明)二、試題特色解讀隨著教育理念深入發(fā)展、我國(guó)基礎(chǔ)教育水平的不斷提高，在“雙減”政策大背景下，在2022年版《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》修訂下，強(qiáng)調(diào)“尺規(guī)作圖”模型觀念和推理能力，在項(xiàng)目學(xué)習(xí)中，綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)和其他學(xué)科知識(shí)與方法解決問(wèn)題，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展“核心素養(yǎng)”。同時(shí)需要我們“會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界”。1.題目設(shè)計(jì)新穎，抓住數(shù)學(xué)本質(zhì)本題第(2)問(wèn)設(shè)計(jì)新穎，難度大，綜合能力強(qiáng)。之前我們接觸絕大多數(shù)的作圖題都是“尺規(guī)作圖”，而無(wú)刻度直尺作圖題，是“尺規(guī)作圖”新的升級(jí)，只有唯一一個(gè)無(wú)刻度直尺這個(gè)工具，這樣的直尺的作用也只是連接直線或者線段而已，同時(shí)網(wǎng)格在作圖中作用是整數(shù)比、垂直和平行。而這一題還不僅僅是網(wǎng)格中的無(wú)刻度直尺作圖題，還加上圓，打破了傳統(tǒng)的作圖的固定模式，能充分反應(yīng)學(xué)生對(duì)幾何知識(shí)的綜合運(yùn)用能力，最關(guān)鍵的還是要從數(shù)學(xué)知識(shí)的根本出發(fā)，把握知識(shí)的本質(zhì)。 2.學(xué)會(huì)知識(shí)遷移，凸顯數(shù)學(xué)素養(yǎng)

無(wú)刻度尺作圖題剛出現(xiàn)時(shí)，有老師認(rèn)為，無(wú)刻度尺作圖題的出現(xiàn)，導(dǎo)致中考試卷中沒有了尺規(guī)作圖題，那我們平時(shí)的教學(xué)中還學(xué)習(xí)尺規(guī)作圖做什么？其實(shí)不然，想想平時(shí)所學(xué)的尺規(guī)作圖題，每一道尺規(guī)作圖題是不是都有對(duì)應(yīng)的推理論證？在教學(xué)中，我們不僅僅是教學(xué)生如何尺規(guī)作圖，而且仔細(xì)地論證了為什么要這樣尺規(guī)作圖，讓學(xué)生在掌握尺規(guī)作圖的同時(shí)，能夠做到活學(xué)活用和我們學(xué)過(guò)的幾何知識(shí)充分地融合一起，相互促進(jìn)幾何知識(shí)的學(xué)習(xí)。而我們的無(wú)刻度尺作圖其實(shí)和尺規(guī)作圖的思維方式是一樣的，只不過(guò)避開了課本中尺規(guī)作圖的死知識(shí)，不是學(xué)什么就考什么的死知識(shí)，而是靈活考查學(xué)生的核心素養(yǎng)，進(jìn)而對(duì)這類題型進(jìn)行升華.“無(wú)刻度直尺作圖”不僅僅是作圖，更重要是作什么樣的圖形，這里面又蘊(yùn)含什么樣的幾何知識(shí)點(diǎn)。就需要我們掌握基本圖形（特殊三角形、特殊四邊形等）中特殊的位置、形狀關(guān)系，同時(shí)借助于背景圖形相關(guān)點(diǎn)、線、角及基本圖形性質(zhì)、判定的基礎(chǔ)上發(fā)現(xiàn)作圖途徑、作圖方法，進(jìn)而作出與構(gòu)建有關(guān)圖形的位置、形狀、大小之間的內(nèi)在關(guān)系、結(jié)構(gòu)關(guān)系。對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手操作、幾何知識(shí)、空間想象等能力有著不可替代的作用。學(xué)生要想正確解答此題，需要學(xué)生具備發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，以及良好的邏輯推理能力、直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，在解題中綜合運(yùn)用知識(shí)和方法解決問(wèn)題，也凸顯了核心素養(yǎng)的檢測(cè)。三、解法欣賞

羅增儒教授曾說(shuō)：“尋找解題思路的過(guò)程就是尋找條件知識(shí)與結(jié)論知識(shí)之間的邏輯聯(lián)系或轉(zhuǎn)化軌跡的過(guò)程，在這個(gè)過(guò)程中，我們激活知識(shí)、檢索知識(shí)、提取知識(shí)、組織知識(shí)，使解題與發(fā)展通行”。下面是這道題的分析和解答過(guò)程： 從條件出發(fā)：（1）P在線段AB上，AP=AC，從變換的角度聯(lián)想到是關(guān)于∠CAB的角平分線對(duì)稱，在想到△CAP等腰三角形（三線合一）

(2)以AB為直徑，聯(lián)想到直徑對(duì)直角,加上（1）的角平分線，又一個(gè)三線合一，這就需要補(bǔ)圖形。難點(diǎn)：∠CAB角平分線（三線合一）怎么在網(wǎng)格中找到？突破口：網(wǎng)格自身特征，易找到BC的中點(diǎn)點(diǎn)D和半圓圓心O，兩個(gè)中點(diǎn)連接于圓相交。接下來(lái)有兩種思路：

解法一：連接OD并延長(zhǎng)交圓于點(diǎn)E,再連接AE和BE，得到∠AEB=90°，又由角平分線模型的聯(lián)想，延長(zhǎng)AC和BE交于點(diǎn)F，易知點(diǎn)E為BF中點(diǎn)，即AE為∠CAB角平分線（突破難點(diǎn)），AE與BC交于點(diǎn)G，連接FG并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)P,易證明VAPF≌VACB,從而AP=AC，即點(diǎn)P為所求的點(diǎn)。大致繪圖如下：TTT輔助線之多，知識(shí)點(diǎn)應(yīng)用之廣：①直徑對(duì)直角②平行線分線段成比例③角平分線模型④全等，知識(shí)之間鏈接之密，難度大，所以對(duì)學(xué)生幾何綜合素質(zhì)能力要求高。解法二:根據(jù)網(wǎng)格的特征，還可以找到AC中點(diǎn)點(diǎn)F，延長(zhǎng)OD交圓于點(diǎn)E，得到AO=OE,由角平分線模型（平行+等腰）連接AE，就得到AE為∠CAB的平分線（突破難點(diǎn)）。FD于AE相交于點(diǎn)G，連接CG并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)P，由角平分線和中點(diǎn)，得到等腰三角形，即AC=AP,點(diǎn)P為所求作點(diǎn)。大致繪圖如下：TTT以上2種不同的解題思路，都是充分分析題目已知條件和利用了角平分線模型特征，以及與特殊三角形（等腰三角形）結(jié)構(gòu)特征、已知條件和所求問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)習(xí)分析問(wèn)題能力，幾何直觀能力，發(fā)散學(xué)生的思維以及靈活應(yīng)用幾何圖形性質(zhì)達(dá)到解決問(wèn)題，把握數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)，最終培養(yǎng)學(xué)生綜合學(xué)科素養(yǎng)。四、教學(xué)啟示

在現(xiàn)在雙減大背景下，減輕學(xué)生負(fù)擔(dān)，又需要提高學(xué)生的學(xué)習(xí)質(zhì)量，“減負(fù)提質(zhì)”達(dá)到雙贏，“雙減”不減責(zé)任、不減質(zhì)量、不減成長(zhǎng)，就需要我們教師加強(qiáng)教學(xué)常規(guī)管理，強(qiáng)化深研知識(shí)，研的深，研的透。1.抓住數(shù)學(xué)本質(zhì)，改進(jìn)教學(xué)方式

以天津市中考的第18題為例，這道題的第（2）問(wèn)看似和尺規(guī)作圖沒有任何的關(guān)聯(lián)性，其實(shí)不然.眾多輔助線的作出還是源于課本角平分線的尺規(guī)作圖，課本中展示了尺規(guī)作圖的步驟，同時(shí)論證了這條射線為什么是角平分線.所以教師在教學(xué)中不僅要教會(huì)學(xué)生作圖的步驟，還要講解為什么要這樣作圖，這樣作圖的依據(jù)是什么.（構(gòu)等腰、作中垂線、三線合一得到角平分線），這也就是18題的解題思路，只有重視學(xué)生對(duì)知識(shí)的生成性，才能讓學(xué)生有一個(gè)完善的知識(shí)體系，才能在以后的運(yùn)用中對(duì)相關(guān)知識(shí)進(jìn)行遷移。數(shù)學(xué)教學(xué)不僅僅是傳授知識(shí)，教學(xué)生解題，“知其然”，更重要是“知其所以然”，這樣才能活學(xué)活用，融匯貫通。正如《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》對(duì)尺規(guī)作圖的教學(xué)提出了要求，在“學(xué)生要保留作圖痕跡，知道作圖步驟”的基礎(chǔ)上提出“要能了解每一步步驟的道理”。還比如：我們尺規(guī)作圖作線段的垂直平分線，為什么分別以端點(diǎn)為圓心，大于1/2長(zhǎng)度為半徑上下畫弧呢？其實(shí)追其本質(zhì)就是構(gòu)造同底全等的兩個(gè)等腰三角形，再由等腰三角形的對(duì)稱性，就能得到線段的垂直平分線了。還有我們?cè)诮倘热切闻卸〞r(shí)，我們都知道兩邊和非夾角相等（SSA）是不能得到全等的，為什么了？本質(zhì)就是用SSA畫三角形，不能得到唯一確定的一個(gè)三角形，有兩種三角形。所以不能是全等三角形的判定。因此，我們教師在教學(xué)前就要學(xué)會(huì)找出問(wèn)題的根本，抓住數(shù)學(xué)本質(zhì)，這樣才能真正的解決問(wèn)題。2.開展多解（變）教學(xué)，促進(jìn)深度學(xué)習(xí)

良好的數(shù)學(xué)教育是促進(jìn)學(xué)生可持續(xù)發(fā)展的教育。在解題教學(xué)中，要從不同的認(rèn)識(shí)層次、觀察角度、知識(shí)背景和問(wèn)題特點(diǎn)出發(fā)進(jìn)行一題多解、一題多變，這樣不僅能調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，養(yǎng)成積極思考的習(xí)慣，而且還能培養(yǎng)學(xué)生深度思考的能力和發(fā)散性思維.同時(shí)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力在潛移默化中大大提高.能進(jìn)行一題多解，從不同角度去探索，培養(yǎng)學(xué)生思維發(fā)散性，擴(kuò)大知識(shí)的廣度，思維靈活性和深刻性。同時(shí)也促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)，帶領(lǐng)學(xué)生由淺入深、由點(diǎn)到面的延伸知識(shí)體系，達(dá)到做一題、通一類，真正實(shí)現(xiàn)雙減政策下“減負(fù)提質(zhì)”。3.創(chuàng)新思維培養(yǎng)，凸顯核心素養(yǎng)

著名科學(xué)家楊振寧曾指出：“優(yōu)秀的學(xué)生倒不在于他優(yōu)秀的成績(jī)，而在于他優(yōu)秀的思維方式?！痹诮虒W(xué)時(shí)，教師除了對(duì)學(xué)生能力培養(yǎng)，還要注重對(duì)創(chuàng)新思維能力的培養(yǎng)，可以通過(guò)教材例、習(xí)題的“改造”，將具體的問(wèn)題抽象化，讓零碎的知識(shí)系統(tǒng)化，引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)形成、遞進(jìn)和發(fā)展的過(guò)程，促進(jìn)學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的生成、完善、遷移，促進(jìn)學(xué)生思維結(jié)構(gòu)的有效發(fā)展，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維能力。課標(biāo)明確指出，數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)應(yīng)激發(fā)學(xué)生的興趣，調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，引發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考，鼓勵(lì)學(xué)生的創(chuàng)造性思維，天津18題就是對(duì)網(wǎng)格、無(wú)刻度直尺、圓的創(chuàng)新綜合整合，再比如我們?cè)娺^(guò)二次函數(shù)和三角形等創(chuàng)新題。無(wú)刻度直尺作圖是感性與理性的融合、是直觀與抽象相統(tǒng)一的典范、是猜想與推理完美相結(jié)合的產(chǎn)物，對(duì)我們的運(yùn)算能力、推理能力、猜想能力的要求都較高，這樣的題目考查了我們的數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)抽象、幾何直觀、邏輯推理數(shù)學(xué)等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，這也是命題的趨勢(shì)。因此，在平時(shí)的幾何教學(xué)中，加強(qiáng)對(duì)這類問(wèn)題的研究，及時(shí)進(jìn)行方法的歸納與總結(jié)形成能力，更要注重