復(fù)變函數(shù)與積分變換課堂第一章1第1頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一第一章復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)§1復(fù)數(shù)及其代數(shù)運(yùn)算§2復(fù)數(shù)的幾何表示§3復(fù)數(shù)的乘冪與方根§4區(qū)域§5復(fù)變函數(shù)§6復(fù)變函數(shù)的極限與連續(xù)性第2頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一§1復(fù)數(shù)及其代數(shù)運(yùn)算1.復(fù)數(shù)的概念2.復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算第3頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一1.復(fù)數(shù)的概念定義：在實(shí)數(shù)范圍,方程是無解的.因此引進(jìn)一個新數(shù)i,稱為虛數(shù)單位,規(guī)定為復(fù)數(shù),x,y分別稱為z的實(shí)部和虛部,記作兩個復(fù)數(shù)相等,是指的它的實(shí)部和虛部分別相等.復(fù)數(shù)z=0,指實(shí)部和虛部都是0.且復(fù)數(shù)不能比較大小.對于任意二實(shí)數(shù)x,y,稱或當(dāng)時(shí),稱為純虛數(shù)。第4頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一2.復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算當(dāng)z1,z2為實(shí)數(shù)時(shí),上二式與實(shí)數(shù)的運(yùn)算一致。復(fù)數(shù)的加,法和乘法定義為稱上面二式右端為z1,z2的和,差與積。稱滿足的復(fù)數(shù)為z1除以z2的商,記作第5頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一與實(shí)數(shù)一樣，復(fù)數(shù)運(yùn)算也滿足交換律,結(jié)合律和分配律:因此第6頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一共軛復(fù)數(shù)把實(shí)部相同而虛部絕對值相等符號相反的兩個共軛復(fù)數(shù)有如下性質(zhì)：如果，那么。復(fù)數(shù)稱為共軛復(fù)數(shù),與z共軛的復(fù)數(shù)記作。第7頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一[解]例1設(shè)，求與所以第8頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一[解]例2設(shè)，求與所以第9頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一[解]例求滿足下列條件的復(fù)數(shù)z:(1)設(shè)則由得故(2)則10第10頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一[證]例3設(shè),為兩個任意復(fù)數(shù)，或證明第11頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一§2復(fù)數(shù)的幾何表示1.復(fù)平面2.復(fù)球面第12頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一1.復(fù)平面所以復(fù)數(shù)的全體與該平面上的點(diǎn)的全體成一一對應(yīng)關(guān)系,此時(shí),x軸稱為實(shí)軸,y軸稱為虛軸,兩軸所在的平面稱為復(fù)平面或z

平面.這樣,復(fù)數(shù)與復(fù)平面上的點(diǎn)成一一對應(yīng),從而使我們能借助幾何語言和方法研究復(fù)變函數(shù)從而復(fù)數(shù)可以用該平面上的坐標(biāo)為的點(diǎn)來表示，這是復(fù)數(shù)的一個常用表示方法。由一對有序?qū)崝?shù)唯一確定,一個復(fù)數(shù)問題。第13頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一OxyxyqPz=x+iy|z|=r在復(fù)平面上,復(fù)數(shù)z還與從原點(diǎn)指向點(diǎn)z=x+iy的平面長度稱為z的模或絕對值,記作向量一一對應(yīng),因此復(fù)數(shù)z也能用向量來表示。向量的顯然,還有下列各式成立在z0的情況,以正實(shí)軸為始邊,以表示z的向量OP為終邊這時(shí),有稱為z的輻角,記作的角的弧度數(shù)第14頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一一個,則為任意整數(shù))給出了z的全部幅角,在的幅角中,滿足的稱為Argz的主值,記作幅角不確定。時(shí)，argz當(dāng)其中當(dāng)時(shí),,可由右邊關(guān)系確定：是其中的有無窮多個幅角,如果任何一個復(fù)數(shù)第15頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一由復(fù)數(shù)運(yùn)算法則,兩個復(fù)數(shù)Oxyz1z2z1+z2且成立不等式加減法一致。如圖(三角不等式),Oxy原點(diǎn)上,還有。一對共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)和，如果z不在負(fù)實(shí)軸和Oxy的位置是關(guān)于實(shí)數(shù)軸對稱的,因而z1和z2的加減法和相應(yīng)的向量的第16頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的關(guān)系：OxyxyqPz=x+iy|z|=r可以將z表示成三角表示式：得指數(shù)表示式：

利用歐拉公式[解]例1將下列復(fù)數(shù)化為三角表示式與指數(shù)表示式。1)顯然,。又z在第三象限，則第17頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一因此，z的三角表示式為z的指數(shù)表示式為2)顯然,,又故z的三角表示式為z的指數(shù)表示式為第18頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一[解]例將下列復(fù)數(shù)化為三角表示式與指數(shù)表示式。1)顯然,所以，19第19頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一[解]例將下列復(fù)數(shù)化為三角表示式與指數(shù)表示式。2)顯然,所以，當(dāng)時(shí)，有20第20頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一[證]例2設(shè)又為兩個任意復(fù)數(shù)，證明：所以兩邊開方，應(yīng)得到所要證明的三角不等式。第21頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一[解]例3因此，復(fù)數(shù)形式的參數(shù)方程為將通過兩點(diǎn)由此得知由取形式的方程來表示。的直線用復(fù)數(shù)已知通過點(diǎn)的直線可用參數(shù)方程表示為的直線段的參數(shù)方程可以寫成到，得知線段的中點(diǎn)為第22頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一[解]例將下列復(fù)數(shù)化為三角表示式與指數(shù)表示式。1)顯然,所以，23第23頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一[解]例將下列復(fù)數(shù)化為三角表示式與指數(shù)表示式。2)顯然,所以，當(dāng)時(shí)，有24第24頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一[解]例4設(shè)求下列方程所表示的曲線：或1)從幾何上看，方程表示所有與點(diǎn)－i距離為2，方程可變?yōu)橐簿褪堑狞c(diǎn)的軌跡，即中心為－i，半徑為2的圓。也可用代數(shù)方法求出該圓的直角坐標(biāo)方程。第25頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一所以，那么軌跡，所以方程表示的曲線是一條垂直平分線，它的2)從幾何上看，方程表示到兩點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的方程為。也可以用代數(shù)的方法求得。3)設(shè)從而立即可得所求曲線方程為，這是一條平行于x軸的直線。第26頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一[解]例求下列方程所表示的曲線：點(diǎn)的軌跡，所以方程表示的曲線是一條垂直平分線，它1)從幾何上看，方程表示到兩點(diǎn)距離相等的的方程為。也可以用代數(shù)的方法求得。的點(diǎn)的軌跡，所以方程表示的曲線是一條垂直平分線，2)從幾何上看，方程表示到兩點(diǎn)距離之和為定值它的方程為。也可以用代數(shù)的方法求得。27第27頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一[解]例求下列方程所表示的曲線：3)從幾何上看，方程表示z到1的距離與z到的點(diǎn)集是實(shí)軸上的閉區(qū)間[－1,1]。－1的距離之和為2，而－1到1的距離也為2。因此z只能在線段[－1,1]上，即滿足條件28第28頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一另一點(diǎn)N。稱N為北極，S為南極。NSOxyPz2.復(fù)球面除了復(fù)數(shù)的平面表示方法外,還可以用球面上的點(diǎn)來表示復(fù)數(shù)。取一個與復(fù)平面切于原點(diǎn)的球面,球面上的一點(diǎn)S與原點(diǎn)重合。通過S作垂直于復(fù)平面的直線與球面相交于對復(fù)平面內(nèi)任一點(diǎn)z,用直線將z與N相連,與球面相交于P點(diǎn),則球面上除N點(diǎn)外的所有點(diǎn)和復(fù)平面上的所有點(diǎn)有一一對應(yīng)的關(guān)系,而N點(diǎn)本身可代表無窮遠(yuǎn)點(diǎn),記作。這樣的球面稱作復(fù)球面。第29頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一于復(fù)數(shù)來說，實(shí)部、虛部與輻角的概念均無意義，但包括無窮遠(yuǎn)點(diǎn)在內(nèi)的復(fù)平面稱為擴(kuò)充復(fù)平面。不包括無窮遠(yuǎn)點(diǎn)在內(nèi)的復(fù)平面稱為有限平面，或稱復(fù)平面。對其模規(guī)定為正窮大，即。對于其它復(fù)數(shù)z都有關(guān)于的四則運(yùn)算作如下規(guī)定：除法：但可為)加法：至于其它運(yùn)算，不規(guī)定其意義。乘法：減法：第30頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一§3復(fù)數(shù)的乘冪與方根1.乘積與商2.冪與根第31頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一設(shè)有兩個復(fù)數(shù)１.乘積與商于是那么

定理一兩個復(fù)數(shù)乘積的模等于它們的模的乘積,兩個復(fù)數(shù)乘積的幅角等于它們幅角的和。從而有第32頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一用指數(shù)形式表示復(fù)數(shù):q2q2z2q1z1z1z21Oxy并旋轉(zhuǎn)一個角度，如圖所示相當(dāng)于將z1的模擴(kuò)大|z2|倍則則定理可以表示為：由定理進(jìn)一步可證，如果當(dāng)用向量表示復(fù)數(shù)時(shí)，第33頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一

定理二兩個復(fù)數(shù)的商的模等于它們的模的商,兩個復(fù)數(shù)的商的輻角等于被除數(shù)與除數(shù)的幅角之差。按照商的定義,當(dāng)時(shí),有由乘積公式有于是由此得如果用指數(shù)形式表示復(fù)數(shù)：定理二可簡明地表示為：第34頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一。根據(jù)復(fù)數(shù)乘法，有[解]例1即為所求的頂點(diǎn)已知正三角形的兩個頂點(diǎn)為所以求第三個頂點(diǎn)。如圖，將旋轉(zhuǎn)類似可得Oxy表示繞或得到另一個向量，它的終點(diǎn)或第35頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一。根據(jù)復(fù)數(shù)乘法，有[解]例向量，它的終點(diǎn)即為所求的頂點(diǎn)已知等腰直角三角形的兩個底角的點(diǎn)分別為所以，求頂點(diǎn)。如圖，將旋轉(zhuǎn)類似可得Oxy表示繞或，長度再縮短或得到另一個36第36頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一2.冪與根則對任意正整數(shù)n,有

n個相同復(fù)數(shù)z的乘積稱為z的n次冪，記作，即若定義，那么當(dāng)n為負(fù)整數(shù)時(shí)上式也成立。時(shí)，則有棣莫弗(DeMoivre)公式特別地，當(dāng)下面用棣莫弗公式求方程的根，其中z為已知復(fù)數(shù)。第37頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一如n為正整數(shù),則一個復(fù)數(shù)的n次根不止有一個,而是方根設(shè)z為己知,方程的根稱為z的n次根，都記為，即有n個,下面就來求出這個根先不妨令由棣莫弗公式有于是則上式成立，必有第38頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一由此，可得其中，是算術(shù)平方根，所以時(shí)，得到n個相異的根：當(dāng)?shù)?9頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一當(dāng)k為其他整數(shù)值代入時(shí)，這些根又會重復(fù)出現(xiàn)。在幾何上,不難看出：z1/n的n個值就是以原點(diǎn)為中心,r1/n為半徑的圓的內(nèi)接正n邊形的n個頂點(diǎn)。例如k=n時(shí)，第40頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一[解]例2求因?yàn)榧此赃@四個根是內(nèi)接于中心在原點(diǎn)，半徑為的圓的正方形的四個頂點(diǎn)，且有第41頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一[解]例求因?yàn)榧此赃@四個根是內(nèi)接于中心在原點(diǎn)，半徑為的圓的正方形的四個頂點(diǎn)，且有42第42頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一[解]例求方程因?yàn)榧此缘乃懈?3第43頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一§4區(qū)域1.區(qū)域的概念2.單連通域與多連通域第44頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一1.區(qū)域的概念平面上以z0為中心,d(任意的正數(shù))為半徑的圓：dz0內(nèi)部的點(diǎn)的集合稱為z0的鄰域,而稱由不等式所確定的點(diǎn)集為z0的去心鄰域。設(shè)G為一平面點(diǎn)集,z0為G中任意一點(diǎn)。內(nèi)點(diǎn)：若存在z0的一個鄰域,該鄰域內(nèi)的所有點(diǎn)都屬于G,則稱z0為G的內(nèi)點(diǎn)開集：如果G內(nèi)的每個點(diǎn)都是它的內(nèi)點(diǎn),則稱G為開集。區(qū)域：若平面點(diǎn)集D是一個開集，且是連通的，也就是D中任何兩點(diǎn)都可以用完全屬于D的一條折線連接起來，則稱D為一個區(qū)域。第45頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一但在P的任意小的鄰域內(nèi)總包含有D中的點(diǎn),邊界點(diǎn)：設(shè)D為復(fù)平面內(nèi)的一個區(qū)域,如果點(diǎn)P不屬于D,則點(diǎn)P稱為D的邊界點(diǎn)。區(qū)域的邊界可能是由幾條曲線和一些孤立的點(diǎn)所組成的。邊界：D的所有邊界點(diǎn)組成D的邊界。C3C2zg1g2C1P第46頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一xyDO如果一個區(qū)域可以被包含在一個以原點(diǎn)為中心的圓里面,即存在正數(shù)M,使區(qū)域D的每個點(diǎn)z都滿足|z|<M,則稱D為有界的,否則稱為無界的。滿足不等式r1<|z-z0|<r2的所有點(diǎn)構(gòu)成一個區(qū)域,而且是有界的,區(qū)域的邊界由兩個圓周|z-z0|=r1和|z-z0|=r2構(gòu)成,稱為圓環(huán)域。若在圓環(huán)域內(nèi)去掉一個(或幾個)點(diǎn),它仍然構(gòu)成區(qū)域,只是區(qū)域的邊界由兩個圓周和一個(或幾個)孤立的點(diǎn)所構(gòu)成。區(qū)域D與它的邊界一起稱為閉區(qū)域或閉域,記作。z0r2r1第47頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一無界區(qū)域的例子xyy上半平面：Imz>0角形域：0<argz<xyjxab帶形域：a<Imz<b第48頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一２.單連通域與多連通域在數(shù)學(xué)上,常用參數(shù)方程表示各種平面曲線。若x(t)和y(t)是兩個連續(xù)的實(shí)變函數(shù),則方程組代表一條平面曲線,稱為連續(xù)曲線。令則此曲線可用一個方程來代表。這就是平面曲線的復(fù)數(shù)表示式。且t的每一個值,有這曲線稱為光滑的,由幾段依次相接的光滑曲線所組成的曲線,稱為按段光滑曲線。都連續(xù),上和如果區(qū)間連續(xù)不連續(xù)光滑不光滑第49頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一z(a)=z(b)簡單,閉z(a)z(b)簡單,不閉z(a)=z(b)不簡單,閉不簡單,不閉z(a)z(b)重點(diǎn)的連續(xù)曲線C,稱為簡單曲線或若爾當(dāng)(Jardan)曲線。如果簡單曲線C的起點(diǎn)與終點(diǎn)閉合,即z(a)=z(b),則曲線C稱為簡單閉曲線。設(shè)為一條連續(xù)曲線,與分別為C的起點(diǎn)與終點(diǎn)。對于滿足的t1與t2,當(dāng)而有時(shí),點(diǎn)稱為曲線C的重點(diǎn)。沒有定義：第50頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一定義：內(nèi)部外部C任意一條簡單閉曲線C把整個復(fù)平面唯一地分成三個互不相交的點(diǎn)集,其中除去C外,一個是有界區(qū)域,稱為C的內(nèi)部,另一個是無界區(qū)域,稱為C的外部,C為它們的公共邊界。單連通域多連通域復(fù)平面上的一個區(qū)域B,如果在其中任就稱為單連通域,一個區(qū)域如果不是單連通域,就稱為多連通域。作一條簡單閉曲線,而曲線的內(nèi)部總屬于B,一條簡單閉曲線的內(nèi)部是單連通域。單連通域B具有這樣的特征：屬于B的任何一條簡單閉曲線，在B內(nèi)可以經(jīng)過連續(xù)的的變形而縮成一點(diǎn)，多連通域則無這個特征。第51頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一§5復(fù)變函數(shù)1.復(fù)變函數(shù)的定義2.映射的概念第52頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一1.復(fù)變函數(shù)的定義定義如果z的一個值對應(yīng)著w的一個值,則函數(shù)f(z)是單值的；定的法則存在,按照這一法則,對于集合G中的每一個復(fù)數(shù)z,就有一個或幾個復(fù)數(shù)數(shù)w是復(fù)變數(shù)z的函數(shù)(簡稱復(fù)變函數(shù)),記作否則就是多值的。集合G稱為f(z)的定義集合,對應(yīng)于G中所有z對應(yīng)的一切w值所成的集合G*,稱為函數(shù)值集合。的集合,如果有一個確設(shè)G是一個復(fù)數(shù)與之對應(yīng),則稱復(fù)變在以后的討論中,定義集合G常常是一個平面區(qū)域,稱之為定義域,并且,如無特別聲明,所討論的函數(shù)均為單值函數(shù)。第53頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一由于給定了一個復(fù)數(shù)實(shí)數(shù)x和y,而復(fù)數(shù)u和v,所以復(fù)變函數(shù)w和自變量z之間的關(guān)系w=f(z)相當(dāng)它們確定了自變量為x和y的兩個二元實(shí)變函數(shù).例如,考察函數(shù)令因而函數(shù)w=z2對應(yīng)于兩個二元函數(shù):就相當(dāng)于給定了兩個亦同樣地對應(yīng)著一對實(shí)數(shù)于兩個關(guān)系式:，則第54頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一2.映射的概念定義如用z平面的點(diǎn)表示自變量z的值,而用另一個平面w平面上的點(diǎn)表示函數(shù)w的值,則函數(shù)w=f(z)在幾何上就可看做是把z平面上的一個點(diǎn)集G(定義集合)變到w平面上的一個點(diǎn)集G*(函數(shù)值集合)的映射(或變換)。這個映射通常簡稱為由函數(shù)w=f(z)所構(gòu)成的映射。如果G中的點(diǎn)z被映射w=f(z)映射成G*中的點(diǎn)w,則w稱為z的象(映象),而z稱為w的原象。例如，函數(shù)所構(gòu)成的映射，是一個關(guān)于實(shí)軸的對稱映射，把任一圖形映成關(guān)于實(shí)軸對稱的全同圖形。再如，函數(shù)所構(gòu)成的映射，可以把z平面上與正實(shí)軸交角為的角形域映射成w平面上與正實(shí)軸交角為的角形域。如下頁圖。第55頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一2axyOuvOz1z2w2z3w3aw1xyOuvOABCz1z2A'B'C'w1w2函數(shù)函數(shù)第56頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一假定函數(shù)w=f(z)的定義集合為z平面上的集合G,函數(shù)值集合為w平面上的集合G*,則G*中的每個點(diǎn)w必將對應(yīng)著G中的一個(或幾個)點(diǎn)。按照函數(shù)的定義,在G*上就確定了一個單值(或多值)函數(shù)反函數(shù),也稱為映射w=f(z)的逆映射。從反函數(shù)的定義可知,對任意的wG*,有當(dāng)反函數(shù)為單值函數(shù)時(shí),也有，它稱為函數(shù)w=f(z)的今后，不再區(qū)分函數(shù)與映射(變換)。若函數(shù)與它的反函數(shù)都是單值的，那么稱函數(shù)是一一的。也稱集合G與G*是一一對應(yīng)的。第57頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一§6復(fù)變函數(shù)的極限和連續(xù)性１.函數(shù)的極限２.函數(shù)的連續(xù)性第58頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一1.函數(shù)的極限作當(dāng)zz0時(shí),f(z)A。如圖定義：內(nèi)，如果有一確定的數(shù)A存在,對于任意給定的地必有一正數(shù)則稱A為f(z)當(dāng)z趨向于z0時(shí)的極限,記作設(shè)函數(shù)w=f(z)定義在z0的去心鄰域,相應(yīng),使得當(dāng)時(shí)有,或記xyOz0dzOuvAef(z)幾何意義：z0的充分小的點(diǎn)f(z)就落A的預(yù)先給定的鄰域中。應(yīng)當(dāng)注意,z趨向于z0的方式是任意的,無論以何種方式趨向于z0,f(z)都要趨向于同一常數(shù)A。當(dāng)變點(diǎn)z一旦進(jìn)入鄰域時(shí),它的象第59頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一充分必要條件是則[證]必要性:任給，根據(jù)極限的定義有如果,存在,當(dāng)時(shí)，或當(dāng)這就是說時(shí)，因此有定理一

設(shè)第60頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一充分性:如果由極限定義，對于任給，總存在，使當(dāng)時(shí)，而則當(dāng)時(shí)，有即第61頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一定理二定理一將求