多面體歐拉定理第1頁，共18頁，2023年，2月20日，星期一1、多面體的概念：

一、復(fù)習(xí)由若干個(gè)多邊形圍成的空間圖形叫多面體；每個(gè)多邊形叫多面體的面，兩個(gè)面的公共邊叫多面體的棱，棱和棱的公共點(diǎn)叫多面體的頂點(diǎn)，連結(jié)不在同一面上的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段叫多面體的對(duì)角線．

2、凸多面體：

把多面體的任一個(gè)面展成平面，如果其余的面都位于這個(gè)平面的同一側(cè)，這樣的多面體叫凸多面體．

3、凸多面體的分類：

多面體至少有四個(gè)面，按照它的面數(shù)分別叫四面體、五面體、六面體等

第2頁，共18頁，2023年，2月20日，星期一歐拉生平事跡簡說：歐拉(Euler)，瑞士數(shù)學(xué)家及自然科學(xué)家1707年4月15日出生于瑞士巴塞爾的一個(gè)牧師家庭，自幼受父親的教育，13歲入讀巴塞爾大學(xué)15歲大學(xué)畢業(yè)，16歲獲碩士學(xué)位，

歐拉是18世紀(jì)數(shù)學(xué)界最杰出的人物之一，他不但為數(shù)學(xué)界作出貢獻(xiàn)，更把數(shù)學(xué)推至幾乎整個(gè)物理的領(lǐng)域此外，他是數(shù)學(xué)史上最多產(chǎn)的數(shù)學(xué)家，寫了大量的力學(xué)、分析學(xué)、幾何學(xué)、變分法的課本，《無窮小分析引論》（1748），《微分學(xué)原理》（1755），以及《積分學(xué)原理》（1768-1770）都成為數(shù)學(xué)中的經(jīng)典著作。1771年，一場重病使他的左眼亦完全失明但他以其驚人的記憶力和心算技巧繼續(xù)從事科學(xué)創(chuàng)作他通過與助手們的討論以及直接口授等方式完成了大量的科學(xué)著作，直至生命的最后一刻。1783年9月18日于俄國彼得堡去逝。第3頁，共18頁，2023年，2月20日，星期一

考慮一個(gè)多面體，例如正六面體，假定它的面是用橡膠薄膜做成的，如果充以氣體，那么它就會(huì)連續(xù)（不破裂）變形，最后可變?yōu)橐粋€(gè)球面如圖：象這樣，表面經(jīng)過連續(xù)變形可變?yōu)榍蛎娴亩嗝骟w，叫做簡單多面體

二、講解新課：

1、簡單多面體：第4頁，共18頁，2023年，2月20日，星期一

第5頁，共18頁，2023年，2月20日，星期一棱柱、棱錐、正多面體等一切凸多面體都是

簡單多面體

推廣：簡單多面體是否就是凸多面體？第6頁，共18頁，2023年，2月20日，星期一第7頁，共18頁，2023年，2月20日，星期一正多面體頂點(diǎn)數(shù)面數(shù)棱數(shù)正四面體446正六面體8612正八面體6812正十二面體201230正二十面體1220302．五種正多面體的頂點(diǎn)數(shù)、面數(shù)及棱數(shù)：

發(fā)現(xiàn)：它們的頂點(diǎn)數(shù)、面數(shù)及棱數(shù)有共同的關(guān)系式：V+F-E=2(V)(F)(E)第8頁，共18頁，2023年，2月20日，星期一歐拉定理：簡單多面體的頂點(diǎn)數(shù)、面數(shù)及棱數(shù)有關(guān)系式：

V+F-E=2第9頁，共18頁，2023年，2月20日，星期一證明：以四面體為例來說明：

將它的一個(gè)面去掉，并使其變?yōu)槠矫鎴D形，四面體的頂點(diǎn)數(shù)、棱數(shù)與剩下的面數(shù)變形后都沒有變因此，要研究、和的關(guān)系，只要去掉一個(gè)面，將它變形為平面圖形即可

第10頁，共18頁，2023年，2月20日，星期一BCDABCDABCDABCDA第11頁，共18頁，2023年，2月20日，星期一BCDABAV+F1-E=1V+F-E=2注：對(duì)任意的簡單多面體，運(yùn)用這樣的方法，都是只剩下一條線段。公式對(duì)任意簡單多面體都是正確的。

第12頁，共18頁，2023年，2月20日，星期一練習(xí)：1、一個(gè)n面體共有8條棱，5個(gè)頂點(diǎn)，則n=_______.2、一個(gè)正n面體共有8個(gè)頂點(diǎn)，每個(gè)頂點(diǎn)處共有三條棱，則n=_______.56第13頁，共18頁，2023年，2月20日，星期一在歐拉公式中令f(p)=V＋F－E叫歐拉示性數(shù)

歐拉示性數(shù)：說明：簡單多面體的歐拉示性數(shù)f(p)=2．

第14頁，共18頁，2023年，2月20日，星期一第15頁，共18頁，2023年，2月20日，星期一請(qǐng)查出下面各多面體的頂點(diǎn)數(shù)V、面數(shù)F、和棱數(shù)E，并計(jì)算歐拉示性數(shù)f(p)=V＋F－E＝？第16頁，共18頁，2023年，2月20日，星期一例1由歐拉定理證明：正多面體只有正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體這五種。應(yīng)用：第17頁，共18頁，2023年，2月20日，星期一例2．歐拉定理在研究化學(xué)分子結(jié)構(gòu)中的應(yīng)用：1996年諾貝爾化學(xué)獎(jiǎng)授予對(duì)發(fā)現(xiàn)有重大貢獻(xiàn)的三位科學(xué)家是由60個(gè)原子構(gòu)成的