第八章

不合邏輯的發(fā)展：天堂之門現(xiàn)在人們可以說，絕對的嚴(yán)格已經(jīng)達(dá)到了。——彭加勒數(shù)學(xué)批評運(yùn)動(dòng)的創(chuàng)建者們認(rèn)識到，兩千多年來數(shù)學(xué)家們只是在充溢著直覺，似是而非的證明以及歸納推理和符號表達(dá)式的形式運(yùn)算的荒野上漫游，他們期望著能在一片空白上建立合適的數(shù)學(xué)邏輯基礎(chǔ)，摒棄那些模糊的概念和矛盾，改進(jìn)如歐氏幾何這樣的數(shù)學(xué)分支已有的基礎(chǔ)。這項(xiàng)工作在19世紀(jì)20年代就已經(jīng)開始了，并且，隨著非歐幾何漸為人知，也在愈加廣泛地加速進(jìn)行。它逐漸揭示出歐氏幾何在結(jié)構(gòu)上的缺陷，可以明顯看出，過去被認(rèn)為是嚴(yán)格證明的典范，無懈可擊的堡壘，也經(jīng)不起細(xì)致推敲。稍后，也就是1843年，四元數(shù)的產(chǎn)生又向?qū)崝?shù)、復(fù)數(shù)運(yùn)算的自以為是提出了挑戰(zhàn)。當(dāng)然，還有一些對自己工作過于自信的數(shù)學(xué)家，繼續(xù)粗劣地推理，一旦得到正確的結(jié)果，便更錯(cuò)誤地相信他們的證明和理論是無懈可擊的。雖然嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃枷爰覀兂姓J(rèn)必須摒棄數(shù)學(xué)是現(xiàn)實(shí)世界的真理的主張，但他們還是對數(shù)學(xué)在力學(xué)、地球力學(xué)、聲學(xué)、流體動(dòng)力學(xué)、彈性力學(xué)、光學(xué)、電磁學(xué)以及工程學(xué)的許多分支等諸多領(lǐng)域輝煌的成就感到由衷的敬佩。盡管數(shù)學(xué)是在真理戰(zhàn)無不勝旗幟的庇護(hù)下，但它一定還借助了某種基本的，也許是神秘的力量才取得其成就。數(shù)學(xué)對自然的超常的適用性雖然還需進(jìn)一步解釋（見第十五章），但是，沒有人能否認(rèn)這一事實(shí)并膽敢把這樣一種無所不能的工具棄置不顧。當(dāng)然，它不應(yīng)當(dāng)受到由邏輯困難和矛盾所帶來的混亂的威脅，而且，盡管數(shù)學(xué)家們一度違背了邏輯嚴(yán)密性的原則，但他們也不準(zhǔn)備使他們的學(xué)科永遠(yuǎn)建立在實(shí)用的基礎(chǔ)上。否則，他們的聲望也將受到影響。正因?yàn)槿绱耍幸恍?shù)學(xué)家倉促之中又重新踏上了與原來截然不同的道路，從另一個(gè)角度去認(rèn)識他們所開辟的數(shù)學(xué)世界。他們決心要竭盡全力構(gòu)造，在某些地方是重建數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。欲使數(shù)學(xué)內(nèi)部井然有序，須要采取一些有力措施。很明顯，并沒有堅(jiān)實(shí)的土壤可供建立數(shù)學(xué)大廈之用。以前那些看上去十分牢固的真理基礎(chǔ)，已經(jīng)被證明是不可信的。也許構(gòu)造另一種堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)會穩(wěn)固些，但就要求有完整的、字斟句酌的公理和定義，以及所有結(jié)論的明晰的證明，不管它們看上去是多么的顯而易見。用邏輯的前后一致與彼此相容取代對實(shí)際情況的依賴，公理和定理互相照應(yīng)，可使得整個(gè)大廈無懈可擊。不管它建筑在什么樣的土地上，都與基礎(chǔ)緊密相依，盡管隨風(fēng)搖擺，卻穩(wěn)如泰山。數(shù)學(xué)家們由建造微積分的邏輯開始，因?yàn)槲⒎e分是建立在實(shí)數(shù)系統(tǒng)和代數(shù)的基礎(chǔ)上的，但這兩者都沒有邏輯基礎(chǔ)。從純粹邏輯的觀點(diǎn)來看，這種步驟就像一個(gè)五十層的辦公大樓塞滿了家具和其他設(shè)備而樓主突然發(fā)現(xiàn)整個(gè)大樓搖搖欲墜，必須重建，于是他下令從第20層開始。出發(fā)點(diǎn)選在何處頗有一番說道。我們都知道，在19世紀(jì)以前，各種類型的數(shù)被放肆應(yīng)用，盡管沒有邏輯基礎(chǔ)，也沒有人對其性質(zhì)是否正確多加關(guān)注。神圣的歐氏幾何雖然一直受到懷疑，但是在實(shí)際應(yīng)用中并沒遇到任何麻煩。事實(shí)上，兩千多年的可靠的使用確保了其未加證明的邏輯的正確性。另一方面，微積分是整個(gè)分析的源泉，在這個(gè)浩瀚的領(lǐng)域內(nèi)，嚴(yán)格的證明，悖論甚至矛盾都出現(xiàn)了，而且并不是每個(gè)結(jié)論都能得到實(shí)際的認(rèn)可。在19世紀(jì)初，神父、哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家波爾察諾（BernhardBolzano）、阿貝爾和柯西都認(rèn)為微積分的嚴(yán)格化問題必須加以解決。不幸的是，波爾察諾在布拉格工作，因而他的著作幾十年后方為人知。而阿貝爾27歲就去世了，所以其工作并不深入。只有柯西一直處于他那個(gè)時(shí)代數(shù)學(xué)界的中心。1820年時(shí)，他被認(rèn)為是最偉大的數(shù)學(xué)家之一。正是柯西揭開了數(shù)學(xué)嚴(yán)格化運(yùn)動(dòng)的序幕，其工作受到廣泛的注意，并且產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響?？挛鳑Q定在數(shù)的基礎(chǔ)上建立微積分邏輯。為什么在數(shù)上呢？因?yàn)榕ｎD之后的英國人，曾嘗試用幾何學(xué)使微積分嚴(yán)格化，但失敗了。對柯西來講，很明顯，幾何學(xué)并不是合適的基礎(chǔ)，而且，萊布尼茨之后的大陸人，一直嘗試用分析的辦法。在1820年時(shí)，盡管非歐幾何鮮為人知，但是已使數(shù)學(xué)家們心存猶疑。而在另一方面，在哈密爾頓1843年引入四元數(shù)以前，實(shí)數(shù)系統(tǒng)里還沒有發(fā)生過任何困擾數(shù)學(xué)家們的事兒，即使是四元數(shù)也不能威脅到實(shí)數(shù)系統(tǒng)的正確性。柯西同樣很明智地把微積分建立在極限的概念上。這一正確方法也被數(shù)學(xué)界思維敏銳者所推崇。17世紀(jì)的瓦里斯在其著作《無窮小的算術(shù)》（1655年）及蘇格蘭教授J·格雷戈里在他的《論圓和雙曲線的求積》（1667年）中，還有18世紀(jì)的達(dá)蘭貝爾都確信極限概念是合適的基礎(chǔ)。其中達(dá)蘭貝爾的觀點(diǎn)是最為著名的，因?yàn)樵谒l(fā)表文章的時(shí)候，有牛頓、萊布尼茨、歐拉的工作可以借鑒。在他為《百科全書》（1751—1765）所撰寫的條目“極限”中，明確認(rèn)為：當(dāng)一個(gè)量以小于任何給定的量逼近另一個(gè)量時(shí)，可以說后者是前者的極限，盡管前者絕不會超過后者……。極限理論是微分學(xué)真正形而上學(xué)的基礎(chǔ)……達(dá)蘭貝爾在《百科全書》的另一條目“微分”中，討論了巴羅、牛頓、萊布尼茨、洛爾和其他人的工作。他說，微分（無窮?。┦且粋€(gè)無窮小量，它可小于任何給定的量。但他又解釋說，他用這些字眼是為了使其與流行的用法一致。這一術(shù)語，他說是一種縮寫形式，晦澀難懂，極限是正確的語言和方法。他批評牛頓用速度來解釋導(dǎo)數(shù)，因?yàn)槟骋凰矔r(shí)速度并沒有清楚的概念，而且這里還引入了一個(gè)非數(shù)學(xué)的運(yùn)動(dòng)概念。在他的《雜記》（1767年）中，達(dá)蘭貝爾再次指出，“量是物非物，若它是物則還未消失，若它非物，則已杳無蹤影?！彼俅翁岢鰳O限概念，但是，他并沒有將這一概念用于微積分，而且他的同時(shí)代人也未接受他的建議。極限的思想還出現(xiàn)在卡諾的《反射》和惠利爾的獲獎(jiǎng)?wù)撐闹校笳咴@柏林科學(xué)院一次競賽的獎(jiǎng)勵(lì)。卡諾的文章雖未得獎(jiǎng)，但也還說得過去，所以柯西很可能是受了他們的影響。不管怎樣，在他著名的《代數(shù)分析教程》（1821年）引言里，他明確表示：關(guān)于這一方法，我將盡力達(dá)到數(shù)學(xué)中所能要求的全部嚴(yán)格。盡管在這本教材的標(biāo)題中有“代數(shù)”字樣，但柯西反對當(dāng)時(shí)所依靠的大多數(shù)代數(shù)。他的意思是說，他的同事總是假設(shè)，對實(shí)數(shù)成立的對復(fù)數(shù)也成立，對收斂級數(shù)成立的對發(fā)散級數(shù)也一定成立，對有限量成立對無窮小量也同樣成立，等等。他是那樣小心翼翼地定義和建立起微積分的基本概念：函數(shù)、極限、連續(xù)、導(dǎo)數(shù)和積分。他還把無窮級數(shù)分為有和的收斂級數(shù)與沒有和的發(fā)散級數(shù)。當(dāng)然，后來這一定義失效了。1826年10月，阿貝爾給他以前的老師霍姆伯的信中稱柯西“是現(xiàn)在唯一一個(gè)知道怎樣對待數(shù)學(xué)的人”。阿貝爾還補(bǔ)充說，柯西有點(diǎn)傻，也有點(diǎn)固執(zhí)，但老天爺心里自有一桿秤。雖然柯西竭力使分析嚴(yán)格化，并在1829年他的《教程》再版中聲稱他已經(jīng)實(shí)現(xiàn)了最完全的嚴(yán)格，但是他處理的概念還是難以捉摸，他犯了許多錯(cuò)誤。他關(guān)于函數(shù)，極限，連續(xù)和導(dǎo)數(shù)的定義基本上正確，但所用的語言模糊，不確切，與他的同事們一樣。他認(rèn)為連續(xù)即隱含著可微（見第七章），因而他建立的許多定理在假設(shè)中只要求連續(xù)，而在應(yīng)用中卻是可微的。即使他注意到犯了錯(cuò)誤，也不改初衷。柯西在十分仔細(xì)地定義了定積分之后，接著就證明了每一個(gè)連續(xù)函數(shù)都是可積的。但是，他的證明是錯(cuò)誤的，因?yàn)樗麤]有考慮一致連續(xù)的要求。盡管仔細(xì)區(qū)分了收斂極數(shù)與發(fā)散級數(shù)，但他關(guān)于收斂級數(shù)的一些斷言和證明是錯(cuò)誤的。例如，他斷言連續(xù)函數(shù)的無窮級數(shù)的和是連續(xù)的（沒有一致收斂的話，這是錯(cuò)誤的）。他把無窮級數(shù)逐項(xiàng)積分，認(rèn)為積分級數(shù)就是原級數(shù)所表示函數(shù)的積分。這里，他又同樣忽視了一致收斂的要求。他給出了被稱作柯西條件的收斂序列的判定準(zhǔn)則，但他不能證明這一條件的充分性，因?yàn)檫@需要他和他的同行們都不具備的實(shí)數(shù)系統(tǒng)的知識。柯西相信，如果一個(gè)雙變量函數(shù)在它的兩個(gè)變量分別趨近某一點(diǎn)時(shí)，它在這一點(diǎn)有一個(gè)極限，那么當(dāng)這兩個(gè)變量同時(shí)變化并趨近這一點(diǎn)時(shí)，它也一定有一個(gè)極限。起初，分析嚴(yán)密化的工作曾引起了軒然大波，在巴黎科學(xué)院的一次科學(xué)會議上，柯西公開了關(guān)于級數(shù)收斂性的理論。會后，拉普拉斯匆匆返回家里避不見人，檢查他在《天體力學(xué)》所用的級數(shù)。幸而，他發(fā)現(xiàn)每個(gè)級數(shù)都是收斂的。有點(diǎn)荒謬的是，柯西并不愿被束縛于他自尋的嚴(yán)密化。盡管他寫了三本旨在建立嚴(yán)密化的教科書（1821年，1823年，1829年），但在他不斷寫出的研究論文中，他都忽視了這一點(diǎn)。他定義了連續(xù)性，但從未對他所使用函數(shù)的連續(xù)性加以證明。雖然他十分強(qiáng)調(diào)級數(shù)和廣義積分收斂性的重要性，但在他與級數(shù)，傅立葉變換和廣義積分打交道時(shí)，卻從未考慮過收斂的問題。他把導(dǎo)數(shù)定義為一個(gè)極限，但他也給出了一個(gè)像拉格朗日給出的那樣純粹形式的方法（見第六章）。他承認(rèn)了如1-1+1-1+……這樣的半收斂級數(shù)（振蕩級數(shù)），并認(rèn)為條件收斂級數(shù)（既有正項(xiàng)也有負(fù)項(xiàng)的級數(shù)）可以重排。他還犯了一些其他錯(cuò)誤，他對什么是真理心明如鏡，卻從未用自己教科書里所確立的標(biāo)準(zhǔn)來建立真理?？挛鞯墓ぷ骷?lì)了他人更多促使分析嚴(yán)密化的工作，但是主要的成就還得歸功于另一位大師魏爾斯特拉斯(KarlWeierstrass)。正是由于他的工作，分析的基本原理的嚴(yán)密化才得以完成。1858～1859年，他在柏林大學(xué)任教時(shí)，開始講述關(guān)于基礎(chǔ)的工作，而最早的記錄是1861年春由許瓦爾茲.Schwarz)所做的筆記。魏爾斯特拉斯的努力終于使分析從人們久已置疑的完全依靠運(yùn)動(dòng)學(xué)、直覺理解和幾何概念中解放出來。魏爾斯特拉斯在1861年就清楚，連續(xù)并不隱含著可微。1872年他向柏林科學(xué)院提出了一個(gè)處處連續(xù)卻無處可導(dǎo)的函數(shù)的例子（在1875年由杜布爾-雷豪(PaulduBoisReymond)為他出版），這不啻是一聲炸雷，動(dòng)搖了人們頭腦中根深蒂固的觀點(diǎn)。早在1830年，波爾察諾就以幾何形式給出了一個(gè)例子，但沒有發(fā)表，塞萊里埃(CharlesCellérier)也在1830年左右給出了一個(gè)例子，但直到1890年才公布。魏爾斯特拉斯的例子沒有早出現(xiàn)是微積分發(fā)展史上的幸事，正如皮卡(EmilePicard)在1905年所說的那樣：“如果牛頓和萊布尼茨知道了連續(xù)函數(shù)不一定可導(dǎo)，微分學(xué)將無以產(chǎn)生。”的確，嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃枷胍部勺璧K創(chuàng)造?？挛鳎踔廖籂査固乩?，在分析嚴(yán)密化工作之初，都把實(shí)數(shù)和復(fù)數(shù)系統(tǒng)看作是無懈可擊的。是哈密爾頓，四元數(shù)的發(fā)明者，在1837年為實(shí)數(shù)和復(fù)數(shù)系統(tǒng)提供邏輯基礎(chǔ)邁出了第一步。哈密爾頓知道復(fù)數(shù)可以用來表示平面向量，所以他尋求能表示空間向量的三元數(shù)（見第四章）。他將復(fù)數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行推廣，其結(jié)果刊于論文《代數(shù)偶：關(guān)于時(shí)間的引論》之中。然密爾頓引入了有序?qū)崝?shù)偶(a,b)，并且他定義了數(shù)偶間的運(yùn)算，以便和它們數(shù)都感到不安。而后，在他的論文里，他寫道：呈現(xiàn)在這里的數(shù)偶理論是為了使（復(fù)數(shù)）的隱含意義充分體現(xiàn)。并且，由這一顯著的例子說明，一些平常看上去只是簡單符號，并無法理解的表達(dá)式，可以寓以實(shí)義。在文章中，他進(jìn)一步表示：），其只表示一種不可能的開方運(yùn)算或純粹一個(gè)虛數(shù)。而在數(shù)偶或?qū)崝?shù)偶，稱作（像我們已經(jīng)看到的那樣）數(shù)偶(-1,0)的基本平則不行。我們可以把任一數(shù)偶(a1,a2)寫作：

第二數(shù)偶(0,1)。這樣，哈密爾頓清除了在復(fù)數(shù)系統(tǒng)中他所謂的“玄奧之障”。哈密爾頓在他的數(shù)偶理論中，預(yù)先假定了實(shí)數(shù)的性質(zhì)。在1837年他的論文中，他嘗試給實(shí)數(shù)系統(tǒng)一個(gè)邏輯的結(jié)構(gòu)。由時(shí)間的概念，他推出了正整數(shù)的性質(zhì)，又?jǐn)U展到有理數(shù)和無理數(shù)，但過于牽強(qiáng)。特別是關(guān)于無理數(shù)的處理，既模糊且錯(cuò)誤百出，為數(shù)學(xué)家們所不齒。哈密爾頓對實(shí)數(shù)和復(fù)數(shù)的基礎(chǔ)只是略加研究，他的重心在四元數(shù)。因此，像他那個(gè)時(shí)代的大多數(shù)人一樣，他毫不猶豫地利用實(shí)數(shù)和復(fù)數(shù)的性質(zhì)。魏爾斯特拉斯第一個(gè)認(rèn)識到如果不能更好地理解實(shí)數(shù)系統(tǒng)，也就不能使分析嚴(yán)密化。他第一個(gè)在我們熟識的有理數(shù)性質(zhì)基礎(chǔ)之上，給出了無理數(shù)的嚴(yán)格定義的性質(zhì)。他在19世紀(jì)40年代就從事這項(xiàng)工作，但他沒有及時(shí)發(fā)表，直到60年代他在柏林大學(xué)通過授課才公之于眾。其他的幾個(gè)人，著名的有戴德金和康托爾，順理成章地在有理數(shù)性質(zhì)之上，正確地定義了無理數(shù)并建立了它們的性質(zhì)。他們的工作成果在70年代得以發(fā)表。戴德金像魏爾斯特拉斯一樣，在講授微積分時(shí)才認(rèn)識到清晰的無理數(shù)理論的迫切性。在《連續(xù)性與無理數(shù)》（1872年）一文中，他這樣寫到，從1858年至今，他“比以往更迫切地感到，算術(shù)中缺乏嚴(yán)格的基礎(chǔ)”。在他關(guān)于分析理論的工作中，康托爾也認(rèn)識到了無理數(shù)理論的迫切性（見第九章）。這樣，借助魏爾斯特拉斯的工作，戴德金和康托爾終無理數(shù)的邏輯還不完善。戴德金認(rèn)識到這一點(diǎn)，并且，在《數(shù)的性質(zhì)和意義》（1888年）一文中，他描述了可以作為有理數(shù)的公理方法的基本性質(zhì)。皮亞諾（GiuseppePeano）借鑒了戴德金的觀點(diǎn)和格拉斯曼《算術(shù)教程》（1861年）中的一些觀點(diǎn)。他在《算術(shù)原理》（1889年）中，從關(guān)于正整數(shù)的公理，成功地導(dǎo)出了有理數(shù)的結(jié)果。這樣，實(shí)數(shù)和復(fù)數(shù)系統(tǒng)的邏輯結(jié)構(gòu)已唾手可得。作為一個(gè)副產(chǎn)品，數(shù)系基礎(chǔ)的建立也解決了熟悉的代數(shù)學(xué)中的基礎(chǔ)問題。為什么用字母代替實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù)時(shí)，其可以像正整數(shù)一樣進(jìn)行運(yùn)算，而結(jié)果絲毫不差呢？答案在于其他類型的數(shù)和正整數(shù)一樣，具有同種形式上立。所以當(dāng)ab被ba代替時(shí)，不管a、b代替的是正整數(shù)還是無理數(shù)，結(jié)果總是正確的。數(shù)學(xué)史上這一系列事件的發(fā)生順序是耐人尋味的，并不是按著先整數(shù)、分?jǐn)?shù)，然后無理數(shù)、復(fù)數(shù)、代數(shù)學(xué)和微積分的順序，數(shù)學(xué)家們是按著相反的順序與它們打交道的。他們看上去是極不情愿地去處理那些本可以留在最后，并能很好地理解的數(shù)，他們非到萬不得已才去進(jìn)行邏輯化的工作。不管怎么說，大約1890年左右，在埃及人和巴比倫人能使用整數(shù)、分?jǐn)?shù)和無理數(shù)的六千年后，數(shù)學(xué)家們終于可以證明2+2=4?？磥恚词故亲顐ゴ蟮臄?shù)學(xué)家也被迫考慮嚴(yán)密性。在19世紀(jì)下半葉，另一個(gè)矚目的問題被解決了。從高斯確信他的非歐幾何是相容的時(shí)候（這也許因?yàn)樗J(rèn)為非歐幾何是物理世界的幾何），到大約1870年，高斯在這方面的研究工作和黎曼的無薪教師就職報(bào)告得以發(fā)表近六十年間，大多數(shù)數(shù)學(xué)家并沒有認(rèn)真地考慮過非歐幾何（見第四章），因?yàn)槠鋬?nèi)容過于偏激。數(shù)學(xué)家們寧肯相信，或者說是希望某一天能在非歐幾何中發(fā)現(xiàn)矛盾，這樣它們也就成了一紙空文。幸運(yùn)的是，所有的基本非歐幾何的相容性問題都被解決了。方法經(jīng)受住了檢驗(yàn)，特別是后來創(chuàng)建的理論。由黎曼在1854年的論文（見第四章）所提出的非歐幾何之一——雙橢圓幾何，與歐氏幾何有根本的不同。沒有平行線，任何兩條直線相交于兩點(diǎn)；三角形內(nèi)角之和大于180°，許多定理也同歐氏幾何中相應(yīng)定理截然不同。貝爾特拉米在1868年指出，如果將雙橢圓幾何的直線看作球上的大圓，平面上的這一幾何同樣適用于球面。這一解釋似乎講不通。所有非歐幾何的發(fā)明者們認(rèn)為他們所定義的直線同歐氏幾何中定義的直線毫無二致。但是，我們可以回憶一下歐幾里得關(guān)于直線及其他一些概念的定義是多余的（見第五章）。在任何一個(gè)數(shù)學(xué)分支中，總有未定義的概念，像亞里士多德強(qiáng)調(diào)的那樣，只要這些直線滿足公理即可。但球面上的大圓的確滿足雙橢圓幾何的公理。當(dāng)雙橢圓幾何的公理適用于球面上的大圓時(shí)，其定理也同樣適用，因?yàn)槎ɡ砜偸沁壿嫷慕Y(jié)果。若認(rèn)可了將直線作為大圓，那雙橢圓幾何的相容性可以如下建立：如果雙橢圓幾何中有矛盾的定理的話，那么在球面幾何中也會出現(xiàn)矛盾的定理。而球面是歐氏幾何的一部分，因此，如果歐氏幾何是相容的，那么雙橢圓幾何也必然是相容的。雙曲幾何的相容性就沒有這么簡單了（見第四章）。但是，既然雙橢圓幾何的相容性可以用球表面作為一個(gè)模型來建立，那雙曲幾何也可以由某個(gè)與歐氏幾何相關(guān)的構(gòu)型來建立。我們在這里不追究細(xì)節(jié)，但是，我們應(yīng)注意到這一事實(shí)，即雙曲幾何的相容性也意味著歐氏幾何中平行公理是獨(dú)立于其他公理的。否則，即它可以由其他公理推出，那它只能成為雙曲幾何的定理。因?yàn)?，除了平行公理，雙曲幾何的其他公理，同歐氏幾何中相應(yīng)的公理是一模一樣的。但是歐氏幾何的這一“定理”將與雙曲幾何的平行公理矛盾，從而雙曲幾何是不相容的。因此，數(shù)年來由歐氏幾何其他公理推導(dǎo)出平行公理的努力，注定是勞而無功。有這樣一個(gè)奇異的現(xiàn)象，即被看作是幾何的非歐幾何，它們的直線不具有通常的意義，可以適用于與人的想象截然不同的圓形，這一事實(shí)將導(dǎo)致舉足輕重的結(jié)果。如同我們說過的那樣，完全不同的解釋是可能的，因?yàn)槿魏喂淼陌l(fā)展中未定義的概念是必然存在的。這些解釋被稱作模型。這樣，我們目睹了由于某種物理意義而發(fā)明的數(shù)學(xué)分支可以適用于截然不同的物理或數(shù)學(xué)的情形。非歐幾何的相容性建立在歐氏幾何相容性的基礎(chǔ)之上，對19世紀(jì)七、八十年代的數(shù)學(xué)家而言，歐氏幾何的相容性是不容置疑的。除了高斯，羅里切夫斯基、鮑耶和黎曼，歐氏幾何還被看作現(xiàn)實(shí)世界的必然幾何，沒有人相信其中會有矛盾，但是，其相容性并沒有邏輯的證明。對大多數(shù)輕蔑非歐幾何的數(shù)學(xué)家來說，接受相容性證明有另外的原因。這些證明賦與非歐幾何以意義，但只是將其作為歐氏幾何意義上的模型。因此，人們是從這個(gè)意義上，而不是把它作為可應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)世界，其中直線具有通常意義的幾何來接受的。當(dāng)然，這與高斯，羅巴切夫斯基和黎曼的觀點(diǎn)不同?，F(xiàn)在嚴(yán)密化工作只剩一個(gè)主要問題了。歐氏幾何被發(fā)現(xiàn)是有缺陷的，但是與分析不同，幾何的本質(zhì)和概念是清晰的。因此，確定非定義的概念，將定義精確化，補(bǔ)充遺漏的公理，完成證明，相對而言較為輕松。這項(xiàng)工作分別由帕斯(MoritzPasch)，韋隆內(nèi)(GiuseppeVeronese)，和皮埃里(MarioPieri)完成。希爾伯特借助于帕斯的研究成果，給出了目前最常使用的形式。幾乎在同一時(shí)刻，由蘭伯特、高斯、羅巴切夫斯基和鮑耶發(fā)明的非歐幾何，以及19世紀(jì)所發(fā)明的其他幾何，特別是投影幾何的基礎(chǔ)，都給出了。到1900年為止，算術(shù)、代數(shù)和（建立在整數(shù)公理基礎(chǔ)上的）分析及（以點(diǎn)、線和其他幾何概念為基礎(chǔ)的）幾何已經(jīng)被嚴(yán)密化。許多數(shù)學(xué)家贊成進(jìn)一步通過解析幾何把所有幾何建立在整數(shù)的基礎(chǔ)之上，但幾何尚有疑點(diǎn)。關(guān)于非歐幾何的一個(gè)教訓(xùn)是，曾被視為嚴(yán)密之典范的歐氏幾何實(shí)際上是有缺陷的，這一令人痛苦的記憶仍然縈繞在數(shù)學(xué)家們的心頭。1900年以前，把全部幾何歸結(jié)為數(shù)這一工作并未真正開展起來。盡管如此，當(dāng)時(shí)大多數(shù)的數(shù)學(xué)家總是說數(shù)學(xué)的算術(shù)化，雖然精確地來講應(yīng)是分析的算術(shù)化。這樣，1900年在巴黎舉行的第二屆國際數(shù)學(xué)家大會上，彭加勒斷言：“今天分析領(lǐng)域中只剩下了整數(shù)，及整數(shù)的有窮和無窮系統(tǒng)，它們由相等或不相等的關(guān)系網(wǎng)連結(jié)著?！迸了箍ㄕf過“所有超越了幾何的都超越了我們的理解力”，1900年時(shí)，數(shù)學(xué)家們更愿意說：“所有超越了算術(shù)的都超出了我們的理解力”。最初目標(biāo)有限的運(yùn)動(dòng)，在得到日益增多的擁護(hù)者的同時(shí)，遇見的問題常常會超出最初的計(jì)劃，甚至?xí)贿@些問題淹沒。關(guān)于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的批評運(yùn)動(dòng)也糾纏于邏輯，即在由一個(gè)數(shù)學(xué)步驟推出另一個(gè)中的推理原理。邏輯科學(xué)是由亞里士多德在他的《工具篇》中奠定的。他明確指出，他注意到了數(shù)學(xué)家們所使用的推理原理，把它們抽象出來，而且發(fā)現(xiàn)它們是適用于所有推理的理論。他的基本原理之一就是排中律，即所有有意義的斷言非真即假。這可能是他從數(shù)學(xué)命題，如所有正整數(shù)非偶即奇中抽象出來的。亞里士多德的邏輯主要由三段論構(gòu)成。兩千多年來，被數(shù)學(xué)家們占據(jù)了一席之地的知識界一直接受亞里士多德的邏輯。不錯(cuò)，對一切信仰及教條提出質(zhì)疑的笛卡爾確實(shí)提出過我們總能知道邏輯原理是否正確這一問題。他的回答是，上帝不會欺騙我們。這樣，他就為我們擁有這些原理的正確性找到了一個(gè)合理的辯護(hù)。笛卡爾和萊布尼茨想把邏輯定律拓廣為一個(gè)統(tǒng)一的推理的科學(xué)、一個(gè)統(tǒng)一的推理的演算方法，適用于所有的思維領(lǐng)域。同時(shí)，他們還有這樣的想法，即像代數(shù)那樣用符號來嚴(yán)密和便利推理定律的使用。笛卡爾是這樣提及數(shù)學(xué)方法的：“比較起前人所饋贈給我們的知識工具來說，它作為所有其他方法的源泉是最有力的?！比R布尼茨的普遍邏輯構(gòu)想比笛卡爾的更為明確，它需三個(gè)基本元素。首先是普遍性——一種統(tǒng)一的科學(xué)的語言，其可以部分或大部分符號化，適用于由推理得出的所有真理。第二個(gè)元素是一個(gè)包攬無遺的推理邏輯形式的完備集合——推理演算——它允許由最初的原理進(jìn)行任何可能的演算。第三個(gè)——技巧組合——所有基本概念的集合。在此形式之上可定義其他所有概念，它是一個(gè)思維的程序，對下面每一簡單概念賦以一個(gè)符號，通過對這些符號的組合和運(yùn)算允許更為復(fù)雜的概念的表達(dá)式和處理。基本原理，比方說將是同一律，即A就是A，而不是非A，從這些原理，所有的理性真理，包括數(shù)學(xué)中的理性真理，都可推出。而且，還有事實(shí)真理的存在必須以他所謂的充分推理原理為條件，不可能有別的情況。萊布尼茨是符號邏輯的創(chuàng)始人，但他在這一領(lǐng)域的工作直到1901年才被認(rèn)識到。不管是笛卡爾，還是萊布尼茨，都沒有發(fā)展推理的符號演算，他們只寫下了一些零散的片斷。這樣，直到19世紀(jì)，亞里士多德的邏輯依舊盛行。在1797年的《純粹理性批判》第二版中，康德稱邏輯為“一個(gè)封閉的完整的學(xué)說體系”。雖然到1900年，大多數(shù)的數(shù)學(xué)家們?nèi)岳^續(xù)用符合非正規(guī)的口頭表述的亞里士多德的原理來進(jìn)行推理，但他們也開始用一些其他并未被亞里士多德接受的原理。他們并未嚴(yán)格檢驗(yàn)自己的邏輯原理，而是自認(rèn)為他們使用的是合理的推理邏輯，實(shí)際上，他們使用的原理直覺上是合理的，但并不是準(zhǔn)確的邏輯原理。當(dāng)大多數(shù)的科學(xué)家全神貫注于數(shù)學(xué)的嚴(yán)格化時(shí)，有一部分人開始探討當(dāng)時(shí)所使用的邏輯。下一個(gè)大的發(fā)展當(dāng)歸功于布爾（GeorgeBoole），一位愛爾蘭科克王后學(xué)院的數(shù)學(xué)教授。布爾的工作無疑是受到皮科克、格雷戈里和笛·摩根（見第七章）代數(shù)觀點(diǎn)的啟發(fā)。雖然他們的型的永恒性原理并不能真的證明代表實(shí)數(shù)、復(fù)數(shù)的文字系數(shù)的算術(shù)運(yùn)算的正確性，但他們可能是無意識地采納了這樣一個(gè)新的代數(shù)觀點(diǎn)，即符號和運(yùn)算可用來表示任何事物，并且哈密爾頓在四元數(shù)上的工作（1843年）也的確表明，其他的代數(shù)也是可能的。布爾1848年在一篇文章中綜述了他稱之為算子演算的代數(shù)推理。注意到這樣一種觀點(diǎn)，即代數(shù)不只是處理數(shù)，且代數(shù)的定律也不一定是實(shí)數(shù)和復(fù)數(shù)的定律。在他的《邏輯的數(shù)學(xué)分析》（1847年）的開篇他講到這一點(diǎn)，并提出了一門邏輯代數(shù)。他的主要著作是《思想規(guī)律的研究》（1854年）。布爾的主要觀點(diǎn)沒有萊布尼茨的野心勃勃，但更貼近于萊布尼茨的推理演算，即現(xiàn)存的推理規(guī)則可以由符號形式來表達(dá)，這樣可以嚴(yán)密化并促進(jìn)現(xiàn)存邏輯的應(yīng)用。在他的書中，他這樣敘述道：下列論文的目的是為了研究思維運(yùn)算的基本規(guī)則，推理正是依據(jù)這些規(guī)則而完成的。給出演算的符號語言表示式，并在此基礎(chǔ)上建立邏輯科學(xué)和構(gòu)造它的方法。布爾也考慮了在思維中的特殊應(yīng)用，例如，概率律。符號化使科學(xué)家們受益無窮。在證明過程中，人們可能由于無意識地引入了并非自己所指的意義或使用了不正確的演繹原理而出現(xiàn)錯(cuò)誤。即如，把光線作為光學(xué)現(xiàn)象討論時(shí)，說到“看見光”或一物體的“光重”是令人迷惑的。但是，如果用l來表示物理光線，則所有關(guān)于l的進(jìn)一步符號分析，都將指的是光學(xué)現(xiàn)象。而且，所有的證明就是符號集合用符號轉(zhuǎn)換規(guī)則而不是用邏輯定理非正式形式轉(zhuǎn)化成另一集合。這些規(guī)則用嚴(yán)密且易于應(yīng)用的形式表示了正確原理。為了正確評價(jià)布爾的邏輯代數(shù)，讓我們先了解一些他的觀點(diǎn)。假設(shè)用x、y表示事物的集合，例如，表示狗的集合和紅色動(dòng)物的集合。那么xy表示既屬于x又屬于y的事物的集合。在狗和紅色動(dòng)物這種情況下，它表示紅色的狗的集合。對任何x、y而言，有xy=yx。若z代表白色物體，且x=y的話，則有zx=zy。從xy的意義還可推出xx=x。符號化的x+y表示在x中或在y中或既在x中又在y中的事物的集合（這在后來被杰文斯(WilliamStamleyJevons)做了修改）。這樣若x代表男人的集合，y代表選民的集合，那x+y則是男人和選民的集合（這一集合也包括了女性選民）。因此可以證明，若z表示年齡超過35歲的人的集合，則有z(x+y)=zx+zy若x是一集合，則1-x或-x是所有不在x中事物的集合。這樣，若1表示所有事物的集合，而x表示狗，1-x或-x則表示非狗的事物，這樣-(-x)表示狗的集合。等式x+(1-x)=1說明每一事物要么是狗，要么不是狗。這就是集合的排中律。布爾示范了如何在不同的領(lǐng)域運(yùn)用這種純代數(shù)操作來進(jìn)行推理。布爾也引入了所謂的命題邏輯，雖然這一邏輯的使用應(yīng)當(dāng)追溯到斯多伊克斯(Stoics)。在這種解釋過程中，p總是代表，如，“約翰是一個(gè)男人”且假定p是指“約翰是一個(gè)男人”為真。則1-p（或者-p）表示“約翰是一個(gè)男人”為假。同樣，-(-p)表示約翰不是男人不為真，即，約翰是一個(gè)男人。命題的排中律，即任何命題非真即假，布爾將之表達(dá)為p+(-p)=1，其中的1表示真。乘積pq表示命題p、q均真。同理p+q表示或者p為真或者q為真或者p、q都真。笛·摩根掀起了另一場變革。在他的主要著作《形式邏輯》（1847年）中，笛·摩根引入了這樣的觀點(diǎn)，邏輯必須處理普遍意義上的關(guān)系。亞里士多德的邏輯處理的是動(dòng)詞“是”的關(guān)系。一個(gè)典型的例子是“所有的人都是要死的?！比绲选つΩf，亞里士多德的邏輯不能證明由“一匹馬是一個(gè)動(dòng)物”到“一匹馬的頭是一個(gè)動(dòng)物的頭”的推理，這需要增加一個(gè)前提即所有的動(dòng)物都有頭。亞里士多德確實(shí)提及了邏輯的關(guān)系，盡管是含混不清且不廣泛。而且，亞里士多德的許多著作以及中世紀(jì)學(xué)者們的補(bǔ)充在17世紀(jì)時(shí)已失散了。顯而易見，需要有關(guān)系的邏輯，這樣，基于關(guān)系“是”的論斷，如：A是一個(gè)p；B是一個(gè)p；因此，A和B都是p。這顯見是錯(cuò)誤的，如以下的論斷：約翰是一個(gè)哥哥；彼特是一個(gè)哥哥；因此，約翰和彼特都是哥哥（相互間），顯然這是錯(cuò)誤的，類似地：蘋果是酸的；酸是一種味道；因此，蘋果是一種味道。也是一個(gè)不正確的結(jié)論。沒有發(fā)展關(guān)系邏輯是亞里士多德邏輯的主要缺陷，這一缺陷萊布尼茨也注意到了。關(guān)系通常不能翻譯成主詞+謂詞，其中謂詞僅僅表明主詞包含于由謂詞所說明的集合中。因此，必須考慮表示關(guān)系的命題，例如：2比3小或點(diǎn)O在點(diǎn)p和點(diǎn)R之間。也必須考慮它們的否、逆、聯(lián)合等其他聯(lián)系的命題。關(guān)系邏輯由皮爾斯（CharlesSandersPeirce）在他從1870到1893年的幾篇論文中得以發(fā)展，并被施羅德（ErnstSchr?der）系統(tǒng)化。皮爾斯引入了特殊的符號概指表示關(guān)系的命題。這樣，lij就表示“i愛j”，實(shí)際上，他的關(guān)系代數(shù)是很復(fù)雜的，并不實(shí)用。以后我們將看到在現(xiàn)代符號邏輯中如何處理關(guān)系。邏輯科學(xué)的另一擴(kuò)展（布爾曾涉獵過），由皮爾斯有效地引進(jìn)。他強(qiáng)調(diào)了命題函數(shù)這一概念。就像數(shù)學(xué)處理的函數(shù)，如y=2x，而不是關(guān)于常數(shù)的命題，如10=2×5。“約翰是一個(gè)男人”是一個(gè)命題，而“x是一個(gè)男人”則是一個(gè)命題函數(shù)，其中x是一個(gè)變量。命題函數(shù)可以包括兩個(gè)或更多個(gè)變量，如在“x愛y”中。由于皮爾斯的功績，推理得以延伸到命題函數(shù)中。皮爾斯還引入了所謂的“量詞”。普通語言相對于量詞來說，是很模糊的，如以下兩句：一個(gè)美國人領(lǐng)導(dǎo)了獨(dú)立戰(zhàn)爭。一個(gè)美國人信仰民主。用“一個(gè)美國人”這一詞語表示兩種不同的意思。第一句指的是一個(gè)特殊的美國人：喬治·華盛頓；而第二句指的是每一個(gè)美國人。通常這一含混可以由短語使用的上下文來判別，但這種含混不清對于嚴(yán)密的邏輯思維來說卻是不可接受的。論斷本身必須是明確的，解決的辦法就是使用量詞。我們可能希望能斷言一個(gè)命題函數(shù)對某個(gè)集合中的所有元素都為真，例如：每一個(gè)美國人。如果對所有的x，x是一個(gè)男人，那么就能斷言美國的所有人都是男人，“對所有的x”即是一個(gè)量詞。另一方面我們希望說至少有一個(gè)x，使得x是在美國的男人。在這種情況下，“至少存在一個(gè)x使得”是量詞。這兩種量詞分別由符號x、x來表示。邏輯在關(guān)系、命題函數(shù)、量詞上的擴(kuò)充包含了在數(shù)學(xué)上使用的推理種類，使得邏輯更加豐富。弗雷格（GottlobFrege）是耶拿（德國一城市）的一位數(shù)學(xué)教授，在數(shù)學(xué)化邏輯的方向上，他邁出了19世紀(jì)的最關(guān)鍵一步。弗雷格寫了幾本重要著作，《概念演算》（1879年）、《算術(shù)基礎(chǔ)》（1884年）和《算術(shù)的基本法則》（第一卷：1893年；第二卷：1903年）。他繼承了命題邏輯、涉及關(guān)系的命題、命題函數(shù)和量詞等觀念，他自己也做出了一些貢獻(xiàn)。他引入了一個(gè)命題的敘述和判定它是真的這二者之間的區(qū)別。用符號├放在命題的前面表示肯定。他區(qū)分了元素x和僅含x的集合{x}，還區(qū)分了元素屬于集合和集合蘊(yùn)涵于另一集合。弗雷格還將一個(gè)更廣泛的蘊(yùn)涵概念，稱為實(shí)質(zhì)蘊(yùn)含形式化，它的字面形式上的表達(dá)將追溯到墨伽拉的菲羅(PhiloofMegara)。邏輯處理關(guān)于命題和命題函數(shù)的推理，這一過程中蘊(yùn)涵是最重要的。如，我們知道約翰是一個(gè)聰明的人，而聰明的人長壽，那么可以推導(dǎo)出這樣的蘊(yùn)涵：約翰將長壽。實(shí)質(zhì)蘊(yùn)涵與通常使用的蘊(yùn)涵有所不同。當(dāng)我們假定，如，“如果下雨，我將去看電影”，兩個(gè)命題間不僅有一定的關(guān)系，而且是蘊(yùn)涵關(guān)系。即若前提“天下雨”成立，則結(jié)論“我去看電影”必然成立。而實(shí)質(zhì)蘊(yùn)涵的概念允許p和q，即前提和結(jié)論，可以為任何命題。命題之間不必存在因果關(guān)系或其他任何聯(lián)系?？梢赃@樣說“如果x是一個(gè)偶數(shù)，我就去看電影?！倍遥瑢?shí)質(zhì)蘊(yùn)涵允許甚至當(dāng)x是一個(gè)偶數(shù)為假時(shí)，結(jié)果也成立。即“若x不是偶數(shù)時(shí)，我將去看電影?！备M(jìn)一步，它允許蘊(yùn)涵“若x不是偶數(shù)時(shí)，我將不去看電影”。這個(gè)蘊(yùn)涵僅當(dāng)x為偶數(shù)而我沒有去看電影時(shí)為假。從形式上來說，若p和q均是命題，若p為真，蘊(yùn)涵“p蘊(yùn)涵q”當(dāng)然意味著q為真。但是，實(shí)質(zhì)蘊(yùn)涵允許，其至p為假時(shí)，無論q真假與否，蘊(yùn)涵“p蘊(yùn)涵q”都是真的。只有當(dāng)p為真而q為假時(shí)，這一蘊(yùn)涵為假。這一蘊(yùn)涵觀點(diǎn)是通常意義的延伸。不過這一延伸并不造成任何危害，因?yàn)槲覀冎挥挟?dāng)知道p為真時(shí)，才用“p蘊(yùn)涵q”，而且，實(shí)質(zhì)蘊(yùn)含同日常用法有某些相通之處。考慮這一論斷：“若哈羅德今天發(fā)工資，他將購買食品”。這里，p是哈羅德今天發(fā)工資，q是他購買食品?，F(xiàn)在他可能仍在購買食品，即使他今天沒發(fā)工資。因此，我們把p為假q為真的情況納入合理蘊(yùn)涵，當(dāng)然，這一結(jié)論不為假。相似地有，“若哈羅德今天沒發(fā)工資，他將不購買食品”也不是假命題。作為另一個(gè)，最后一種情況的更好例子，莫若“若木頭是金屬，則木頭是可鍛造的?！蔽覀冎纼蓚€(gè)命題都是假的，而蘊(yùn)涵是真的。因此，我們把p為假而q為假的這種情況也包含在作為p蘊(yùn)涵q的正確情況。概念的重要應(yīng)用是能從p的真實(shí)性以及p蘊(yùn)涵q的蘊(yùn)涵中判斷q，當(dāng)p為假時(shí)的擴(kuò)展在符號邏輯中是方便的，且最有效的。但是，由于無論q為真或假、p為假都蘊(yùn)涵q，實(shí)質(zhì)蘊(yùn)涵也就允許一個(gè)錯(cuò)誤的命題蘊(yùn)涵任何命題。對于這一“缺陷”，有人會反駁說，在一個(gè)正確的邏輯系統(tǒng)和數(shù)學(xué)中，假命題是不應(yīng)當(dāng)出現(xiàn)的。不管怎么說，對實(shí)質(zhì)蘊(yùn)涵的概念一直存在反對意見。例如，彭加勒用這樣的事例嘲笑它，說有些學(xué)生在考試中用錯(cuò)誤命題得出了正確命題。但是，盡管在這一概念上還需做更大的努力，實(shí)質(zhì)蘊(yùn)涵現(xiàn)在成了一種規(guī)則，至少在符號邏輯中是作為數(shù)學(xué)基礎(chǔ)使用的。弗雷格做出的另一更大貢獻(xiàn)，在以后被證實(shí)是舉足輕重的。邏輯包括許多推理原理，好像歐氏幾何關(guān)于三角形、矩形、圓和其他圖形的論斷一樣。由于19世紀(jì)末其他數(shù)學(xué)分支的重新組織，幾何中的許多論斷可以由極少的基本論斷——公理導(dǎo)出。弗雷格為邏輯精細(xì)地做了這一工作。他的符號和公理是復(fù)雜的，我們僅僅從字面上指出邏輯的公理發(fā)展的方法（見第十章）。作為一個(gè)公理來采用論斷“p蘊(yùn)涵p或q”無疑是穩(wěn)妥的，因?yàn)閜或q的意義是，p或者q中至少一個(gè)是真的。若我們一開始便假定p為真，則p和q中的一個(gè)肯定為真。我們也可以把下述作為公理：若由A表示的某命題（或命題組合）為真且A蘊(yùn)涵B，B為另一命題（或命題組合），則我們可以單獨(dú)地判斷B。這一公理，稱為推理規(guī)則，使我們能推導(dǎo)或判定新的命題。由上面的公理我們可推導(dǎo)出，例如：p為真或者p為假這一推導(dǎo)組成了排中律。還可以推導(dǎo)出矛盾律，其字面形式是p和非p不能同時(shí)為真，兩種可能只能有一種成立。矛盾律應(yīng)用于數(shù)學(xué)中所謂的間接證明中。若我們假定p為真，又推導(dǎo)出它為假，我們得到了p和非p，但兩者不能同時(shí)成立，因此p一定為假。這種間接方法經(jīng)常采用另一種形式，我們假設(shè)p為真，且它蘊(yùn)涵q，但q已知為假，因此，由邏輯定律，p一定為假。許多其他常用的邏輯定律都可由公理演繹而來。這種邏輯的演繹結(jié)構(gòu)始于弗雷格的《概念演算》，在他的《基本法則》中得以發(fā)展。弗雷格還有一個(gè)更宏大的目標(biāo)，在以后的章節(jié)中我們將細(xì)述（見第十章）。這里簡單提一句，他在他的邏輯工作中試圖為數(shù)和代數(shù)分析構(gòu)造出一個(gè)新的基礎(chǔ)，這一基礎(chǔ)比19世紀(jì)最后幾十年中的批評運(yùn)動(dòng)還要嚴(yán)格得多。另一個(gè)用符號邏輯來改進(jìn)數(shù)學(xué)的嚴(yán)密性的關(guān)鍵人物是皮亞諾。像戴德金一樣，他在數(shù)學(xué)中發(fā)現(xiàn)現(xiàn)存的嚴(yán)格性不完善，因而獻(xiàn)身于改進(jìn)邏輯基礎(chǔ)。他不僅將符號邏輯用于邏輯原理，而且用于數(shù)學(xué)公理的表示式，并且用符號邏輯原理操作符號公理進(jìn)行定理的推導(dǎo)。他明確而堅(jiān)定地認(rèn)為，我們應(yīng)當(dāng)放棄直覺，而這只有用操作符號運(yùn)算才能做到，符號避免了普通詞語間直覺聯(lián)系帶來的危險(xiǎn)。皮亞諾將量詞、連詞例如“和”、“或”、“非”引入了自己的符號系統(tǒng)。他的符號邏輯只具雛形，但影響甚大。他所編輯的雜志《數(shù)學(xué)評論》（創(chuàng)建于1891年，于1906年出刊）和所著的五卷《數(shù)學(xué)公式》(1894—1908年)是他主要的貢獻(xiàn)。在《公式》中他給出了以前所提及的整數(shù)的公理。皮亞諾創(chuàng)建了邏輯學(xué)家的學(xué)派，而皮爾斯和弗雷格的工作在羅素1901年發(fā)現(xiàn)弗雷格的貢獻(xiàn)之前一直鮮為人知。羅素于1900年獲曉了皮亞諾的工作，比起弗雷格的，他更欣賞皮亞諾的工作。從布爾、施羅德到皮爾斯、弗雷格，邏輯中的變革組成了數(shù)學(xué)方法的應(yīng)用：符號系統(tǒng)和從邏輯公理中得到邏輯原理的推導(dǎo)證明。所有的這些關(guān)于形式邏輯或符號邏輯中的工作吸引了邏輯學(xué)家和數(shù)學(xué)家，因?yàn)榉柕氖褂帽苊饬诵睦砩稀⒄J(rèn)識上、形而上學(xué)的意義和暗示。包括命題函數(shù)關(guān)系，如“x愛y”或“A在B、C之間”，以及量詞的邏輯的系統(tǒng)現(xiàn)在一般稱為一階謂詞演算或一階邏輯。雖然對某些邏輯學(xué)家而言，它并不能覆蓋數(shù)學(xué)中所有用到的推理，例如數(shù)學(xué)歸納法，它是現(xiàn)代數(shù)學(xué)家頗為青睞的系統(tǒng)。鑒于以后我們將涉及數(shù)學(xué)的邏輯結(jié)構(gòu)，在這里讓我們強(qiáng)調(diào)一點(diǎn)，數(shù)學(xué)和邏輯的嚴(yán)格化是首先由歐幾里得通過公理途徑達(dá)到的。這一方法的一些特色在19世紀(jì)的公理化運(yùn)動(dòng)中愈來愈清晰，讓我們回顧一下它們。首先是定義概念的必要性。因?yàn)閿?shù)學(xué)獨(dú)立于其他學(xué)科，所以定義也必須用其他的數(shù)學(xué)概念來說明。如此，這一過程將導(dǎo)致定義的無限循環(huán)。解決這一問題的方法是基本概念必須是不加定義的。那么怎么用它們呢？又怎么知道對于他們可以斷言哪些事實(shí)呢？答案在于公理確定了未定義（已定義）概念，告訴我們什么可以判定。這樣，如果點(diǎn)和線未定義，則兩點(diǎn)確定一條直線的公理和三點(diǎn)確定一個(gè)平面的公理，可以用來推導(dǎo)關(guān)于點(diǎn)、線、面更進(jìn)一步的結(jié)論。盡管亞里士多德在他的《工具論》、帕斯卡在他的《幾何精神論》中，以及萊布尼茨在《單子論》中都強(qiáng)調(diào)了未定義概念的必要性，但數(shù)學(xué)家們還是忽視了這一事實(shí)，結(jié)果給出了許多毫無意義的定義。格高尼(Goseph-DiazGergonne)早在19世紀(jì)初即指出公理將告訴我們對未定義的概念可以做出什么樣的結(jié)論；它們給出了所謂的隱含定義。直到1882年帕斯再一次強(qiáng)調(diào)未定義概念的必要性，數(shù)學(xué)家們才開始嚴(yán)肅地考慮這一問題。任何演繹系統(tǒng)一定包括未定義概念，其能翻譯成滿足公理的含義，這一事實(shí)給數(shù)學(xué)家們引入了一個(gè)新層次的抽象。這一點(diǎn)早被格拉斯曼在他的《線性擴(kuò)張論》（1844年）中提出。他指出幾何當(dāng)不同于物理空間的研究，幾何是一個(gè)純數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，可以運(yùn)用于物理空間，但不拘于這一解釋。后來，公理的研究者們：帕斯、皮亞諾和希爾伯特，強(qiáng)調(diào)了這種抽象性。雖然帕斯明白存在未定義概念且只有公理限制它們的意義，但他只在頭腦中構(gòu)造幾何。皮亞諾洞悉帕斯的研究，在他1889年的文章中更清楚地認(rèn)識到許多其他的解釋也是可能的。希爾伯特在《幾何基礎(chǔ)》（1899年）中指出，雖然用的概念是點(diǎn)、線、面等，但如果它們遵從所涉及的公理的話，可以是啤酒杯、椅子或任何物體。演繹系統(tǒng)多種解釋的可能性實(shí)際上是非常有益的，因?yàn)樗试S更多的應(yīng)用，但我們將發(fā)現(xiàn)（見第十二章）它也引起一些令人困擾的結(jié)果。帕斯通曉現(xiàn)代公理體系，他提出的觀點(diǎn)的意義在19世紀(jì)末顯然并未被接受，即必須建立公理集合的相容性，也就是說，它們不會導(dǎo)致矛盾的定理。非歐幾何中相容性問題曾出現(xiàn)，但已被滿意地解決了。但是，非歐幾何仍令人感到奇怪。對一些基本的分支，像整數(shù)理論或歐氏幾何，任何關(guān)于相容性的疑問看上去是不切實(shí)際的。不管怎么說，帕斯認(rèn)為這些公理系統(tǒng)的相容性應(yīng)該建立起來，弗雷格附和他這一觀點(diǎn)，他曾在《算術(shù)基礎(chǔ)》（1884年）中寫道：把一個(gè)單純的假設(shè)當(dāng)作自己的結(jié)果來著手處理問題是很普遍的，我們假設(shè)在任何情況下，執(zhí)行減法、除法、開方的運(yùn)算都是可能的，而且認(rèn)為我們已經(jīng)做了足夠多的這種運(yùn)算。但是為什么我們不假定任何三點(diǎn)可以畫出一條直線？為什么我們不假設(shè)所有的加法、乘法定律在三維復(fù)數(shù)系統(tǒng)中會像在實(shí)數(shù)中一樣成立？因?yàn)檫@些假設(shè)包含著矛盾。如這樣我們首先要做的是證明我們的其他假設(shè)不包含任何矛盾，直到我們做了這一切，像我們希望的，嚴(yán)格才不會是空想。皮亞諾和他的學(xué)派也在19世紀(jì)90年代開始比較嚴(yán)肅地對待相容性問題。皮亞諾相信建立相容性將很容易。數(shù)學(xué)的相容性很可能在希臘時(shí)代就被懷疑，為什么到19世紀(jì)末它才得以顯露？我們已經(jīng)注意到，非歐幾何的創(chuàng)立迫使人們意識到，數(shù)學(xué)是人為的，只是對現(xiàn)實(shí)世界的近似描述，這種描述是相當(dāng)成功的，但從反映宇宙的固有結(jié)構(gòu)而言，它并不是真理，因而不必是相容的。實(shí)際上，19世紀(jì)末的公理化運(yùn)動(dòng)使數(shù)學(xué)家們認(rèn)識到數(shù)學(xué)和現(xiàn)實(shí)世界間有一條壕溝，每個(gè)公理體系都包含未定義概念，其屬性在這些公理意義上是明確的。但這些概念的意義并不固定，雖然我們頭腦中直覺地具有數(shù)、點(diǎn)及線的概念。值得肯定的是，公理是用來確定屬性，從而使這些概念確實(shí)具有我們本能地與之聯(lián)系在一起的屬性。但是我們確實(shí)做到了這一點(diǎn)嗎？我們能確保沒引入一些想要的屬性或蘊(yùn)涵，而導(dǎo)致了矛盾嗎？公理化方法的另一個(gè)特點(diǎn)也是由帕斯指出的。數(shù)學(xué)任一分支的公理最好是獨(dú)立的，即這一分支中的任一公理不應(yīng)當(dāng)由其他公理推出來。如果這樣的話，被推導(dǎo)出的公理只能是一個(gè)定理。確定一個(gè)公理的獨(dú)立性的方法是給出其他公理的一個(gè)解釋或模式，其中這些公理都滿足，而欲加討論的那個(gè)不滿足（這一解釋不必與欲加討論的公理的否定相容）。例如，欲由歐氏幾何的其他公理建立平行公理的獨(dú)立性時(shí)，可以用雙曲非歐幾何來解釋，在這種幾何中除平行公理外，所有歐氏幾何的其他公理都滿足，一個(gè)既能滿足所論公理又能滿足與其相矛盾的公理的解釋是不相容的。因此當(dāng)用一個(gè)解釋或模式來證明一個(gè)公理的獨(dú)立性時(shí)，首先必須知道這一模式是否相容。這樣，像我們以前提到的，歐氏幾何平行公理的獨(dú)立性是由在歐氏幾何中建立一雙曲非歐幾何模式而確立的。雖然我們后面的大多數(shù)時(shí)間是關(guān)注著數(shù)學(xué)公理化引起的疑問，不涉及重大的問題，但在20世紀(jì)初公理化方法被認(rèn)為是完美的。沒有人比希爾伯特對它更為推崇了，他是那時(shí)世界上頂尖的數(shù)學(xué)家。在他的文章中關(guān)于“公理化思維”(1918年出版)，他宣稱：任何可以成為數(shù)學(xué)思維對象的東西，其理論的建立一旦成熟，它就會成為公理化的方法，并由此直接進(jìn)入數(shù)學(xué)。通過探尋公理的每一更深的層次……我們可以洞悉科學(xué)思想的精髓，獲得我們知識的統(tǒng)一，特別是借助公理化方法，數(shù)學(xué)應(yīng)該在所有認(rèn)識中起到主導(dǎo)作用。在1922年他又?jǐn)嘌裕汗砘椒?，確實(shí)是，而且始終是不論在哪個(gè)領(lǐng)域中探求事實(shí)精髓的合適的、不可缺少的工具。其邏輯性是無懈可擊的，同時(shí)也是成熟的，因此也保證了分析的完全自由。進(jìn)行公理化意味著除了有關(guān)問題外，不需考慮其他知識。起先沒有公理化方法時(shí)，人只是幼稚地思考，把一些特定的關(guān)系當(dāng)作教條，公理化方法清除了這種幼稚性。人們一般認(rèn)為數(shù)學(xué)家們都會贊成在一個(gè)堅(jiān)實(shí)，嚴(yán)格的基礎(chǔ)上建立自己的科學(xué)，但是數(shù)學(xué)家們也是人，一些基本概念如無理數(shù)、連續(xù)性、積分、導(dǎo)數(shù)的精確定義未被所有的數(shù)學(xué)家們樂于接受。許多人并不理解新的技術(shù)語言，而把這些精確的定義看作是無稽之談。他們認(rèn)為對數(shù)學(xué)的理解，甚至對嚴(yán)格的證明都是沒有必要的。這些人覺得直覺已經(jīng)夠好的了，盡管對于沒有導(dǎo)數(shù)的連續(xù)函數(shù)和其他邏輯上正確但非直覺的創(chuàng)造倍感驚訝。皮卡在1904年這樣提及偏微分方程中的嚴(yán)格：“真正的嚴(yán)格是富有成效的，與那種純形式和繁雜的嚴(yán)密截然不同，那種嚴(yán)密工作給它所觸及的問題投上了陰影?！卑柮芴卦?893年5月20日給斯蒂杰斯的一封信中寫道：“我簡直驚恐萬狀，不愿意面對這一不幸的現(xiàn)實(shí)，沒有導(dǎo)數(shù)的連續(xù)函數(shù)！”彭加勒在他的數(shù)學(xué)哲學(xué)（將在以后的章節(jié)中研究）中也抱怨道：“在以前，新的函數(shù)引進(jìn)時(shí)，目的是為了應(yīng)用它們。今天卻恰恰相反，構(gòu)造函數(shù)是為了證明前人的錯(cuò)誤，而本身毫無半點(diǎn)用處?！庇性S多人堅(jiān)持說他們的定義和證明正是嚴(yán)格化所產(chǎn)生的結(jié)果，即使如鮑萊爾這樣的大師也如此捍衛(wèi)自己，其他的人則反對這種吹毛求疵。哈代1934年在一篇文章中稱嚴(yán)密化是例行公事。還有一些人仍舊不理解嚴(yán)密化，因而防御性地貶損它，有一些人稱之為數(shù)學(xué)中的混亂，對于新的觀點(diǎn)，即在當(dāng)時(shí)的情況下有助于數(shù)學(xué)的嚴(yán)密化的觀點(diǎn)，數(shù)學(xué)家和其他的人同樣不樂于接受。嚴(yán)密化工作揭示了數(shù)學(xué)創(chuàng)造的另一面。嚴(yán)密化滿足了19世紀(jì)的需要，而最后的結(jié)果也告訴了我們關(guān)于數(shù)學(xué)發(fā)展的一些事實(shí)。新建立的嚴(yán)密結(jié)構(gòu)也許保證了數(shù)學(xué)的正確性，但這一保證幾乎毫無必要。算術(shù)、代數(shù)、歐氏幾何中沒有一個(gè)定理因此而改變，而分析的定理只是比以前要更仔細(xì)地表述了。于是，想用一個(gè)連續(xù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時(shí)必須假設(shè)其是可導(dǎo)的。事實(shí)上，所有的這些新的公理化結(jié)構(gòu)和嚴(yán)密所做的無非是證明了數(shù)