《數(shù)學(xué)廣角-鴿巢問題》教學(xué)設(shè)計【授課內(nèi)容】《鴿巢原理》【教材理解】《鴿巢原理》是人教版小學(xué)數(shù)學(xué)六年級下冊第五單元的內(nèi)容。教材通過幾個直觀例子，借助實際操作，向?qū)W生介紹“鴿巢問題”，使學(xué)生在理解“鴿巢問題”這一數(shù)學(xué)方法的基礎(chǔ)上，對一些簡單的實際問題加以“模型化”，會用“鴿巢問題”加以解決。在數(shù)學(xué)問題中，有一類與“存在性”有關(guān)的問題。在這類問題中，只需要確定某個物體（或某個人）的存在就是可以了，并不需要指出是哪個物體（或人）。這類問題依據(jù)的理論我們稱之為“鴿巢問題”。“鴿巢原理”最先是19世紀(jì)的德國數(shù)學(xué)家狄利克雷運用于解決數(shù)學(xué)問題的，所以又稱“狄利克雷原理”，也稱之為“抽屜原理”.“鴿巢問題”?！傍澇矄栴}”的理論本身并不復(fù)雜，甚至可以說是顯而易見的。但“鴿巢問題”的應(yīng)用卻是千變?nèi)f化的，用它可以解決許多有趣的問題，并且常常能得到一些令人驚異的結(jié)論。因此，“鴿巢問題”在數(shù)論.集合論.組合論中都得到了廣泛的應(yīng)用?！驹O(shè)計理念】讓學(xué)生經(jīng)歷將具體問題“數(shù)學(xué)化”的過程，初步形成模型思想，體會和理解數(shù)學(xué)與外部世界的緊密聯(lián)系，發(fā)展抽象能力.推理能力和應(yīng)用能力，這是《標(biāo)準(zhǔn)》的重要要求，也是本課的編排意圖和價值取向。在教學(xué)中，通過幾個直觀的例子，借助實際操作，向?qū)W生介紹“鴿巢問題”；學(xué)生在理解的基礎(chǔ)上，對一些簡單的實際問題“模型化”，會用鴿巢原理解決問題或解釋相關(guān)的現(xiàn)象，促進邏輯推理能力的發(fā)展?！緦W(xué)情簡介】“鴿巢原理”的變式很多，在生活中運用廣泛，學(xué)生在生活中常常遇到此類問題。教學(xué)時，要引導(dǎo)學(xué)生先判斷某個問題是否屬于“鴿巢原理”可以解決的范疇。能不能將這個問題同“鴿巢原理”結(jié)合起來，是本次教學(xué)能否成功的關(guān)鍵。所以，在教學(xué)中，應(yīng)有意識地讓學(xué)生理解“鴿巢原理”的“一般化模型”。六年級的學(xué)生理解能力.學(xué)習(xí)能力和生活經(jīng)驗已達到能夠掌握本章內(nèi)容的程度。教材選取的是學(xué)生熟悉的，易于理解的生活實例，將具體實際與數(shù)學(xué)原理結(jié)合起來，有助于提高學(xué)生的邏輯思維能力和解決實際問題的能力?！窘虒W(xué)目標(biāo)】1.在了解簡單的“鴿巢問題”的基礎(chǔ)上,使學(xué)生會用此原理解決簡單的實際問題。2.提高學(xué)生有根據(jù).有條理地進行思考和推理的能力。3.通過用“鴿巢問題”解決簡單的實際問題,激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,使學(xué)生感受數(shù)學(xué)的魅力?！窘虒W(xué)重難點】重點:理解鴿巢原理，掌握先“平均分”.再調(diào)整的方法,引導(dǎo)學(xué)生把具體問題轉(zhuǎn)化成“鴿巢問題”。難點:理解“總有”.“至少”的意義，理解平均分后余數(shù)不是1時的至少數(shù)，找出“鴿巢問題”解決的竅門進行反復(fù)推理?！窘虒W(xué)方法】試驗探究法

小組合作學(xué)習(xí)法【教學(xué)準(zhǔn)備】撲克牌.紙杯（筆筒）.多媒體課件?！菊n時安排】1課時【教學(xué)過程】一、創(chuàng)設(shè)情境，激情導(dǎo)入。師：我給大家表演一個“魔術(shù)”，一副牌，取出大小王，還剩下多少張？你們5人每人隨意抽一張，我敢肯定的說至少有2張牌是同花色的。相信嗎？師：請你們五位任意抽取一張牌，試試看。師：同學(xué)們，下面就是見證奇跡的時刻。師：把牌拿出來驗證一下，同一花色的站到一起，把牌舉起來面向大家我猜對了嗎？生：表示贊同。師：如果讓這5位同學(xué)反復(fù)抽牌，不管怎樣，總是至少有2張牌是同一花色的，你們相信嗎？有的同學(xué)點頭了，有的半信半疑。師：為什么我敢這么肯定呢？因為在這個游戲中蘊含著一個有趣的數(shù)學(xué)原理鴿巢原理，這節(jié)課我們就一起來研究這個原理。[設(shè)計意圖]撲克牌小魔術(shù)作為新課的切入點，激起學(xué)生認(rèn)知上的興趣，趁機抓住他們的求知欲，激發(fā)學(xué)生探究新知的熱情，使學(xué)生積極主動地投入到新課的學(xué)習(xí)中去。同時，在魔術(shù)中直觀地感知“至少”的意思。二、共同探究，理解鴿巢原理。（一）出示例1，共同探究驗證。1.老師還能料定：把4支鉛筆放進3個筆筒里，不管怎么放，總有一個筆筒里至少放2支鉛筆。質(zhì)疑：大家對老師的說法有什么不理解之處嗎？如果學(xué)生不能提出疑問，那么老師來提問：“總有”是什么意思？（3個筆筒無論哪個，一定有一個）“至少放2支鉛筆”是什么意思？（放2支或2支以上，最少2支）[設(shè)計意圖]引導(dǎo)學(xué)生理解關(guān)鍵詞語“總有”和“至少”的含義，培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)真閱讀理解的習(xí)慣。2.討論：你認(rèn)為老師的說法對嗎？先讓學(xué)生憑直覺判斷對或錯。再指出：對待數(shù)學(xué)問題，我們要有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膽B(tài)度，只有經(jīng)過周密的驗證才能下結(jié)論。那么，可以用什么方法來驗證老師的說法對不對呢？學(xué)生獨立思考，提出設(shè)想。[設(shè)計意圖]樹立學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)學(xué)習(xí)態(tài)度，打開學(xué)生的思維，大膽設(shè)想驗證方法。3.小組合作探究：小組合作驗證，驗證完成了準(zhǔn)備匯報并坐端正。需要筆筒的用紙杯代替筆筒。教師巡視，了解學(xué)生驗證的情況。[設(shè)計意圖]放手讓學(xué)生自主探究，讓學(xué)生充分表達自己的想法，有充足的空間和時間合作探究。4.小組匯報交流，預(yù)設(shè)情況如下：（1）枚舉法請用實物模擬實驗的小組先展示，有用畫圖.數(shù)的分解的方法分析的也進行展示。引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識到要把鉛筆擺放的所有方式都列舉出來，為了不遺漏要做到有序列舉（課件展示），指出這種思考方法叫“枚舉法”。[設(shè)計意圖]經(jīng)歷探究鴿巢原理的過程，初步學(xué)習(xí)枚舉的分析方法，培養(yǎng)學(xué)生分析問題的能力和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S習(xí)慣。（2）假設(shè)法請學(xué)生展示并解說其他的方法，如果學(xué)生沒有想到，教師示范：假設(shè)老師的說法是錯誤的，沒有任何筆筒里有2支或2支以上的鉛筆，那么每個筆筒里只放1支，剩下1支放入任意一個筆筒中，這個筆筒中就有2支筆了。所以總有一個筆筒中至少有2支鉛筆。集體討論：讓學(xué)生充分質(zhì)疑，充分發(fā)表意見，教師適時點撥。教師可連續(xù)發(fā)問：先在每個筆筒中放1支鉛筆，實際上就是在怎樣分？為什么一開始就平均分呢？只考慮平均分這一種情況，其他的擺放方法不用考慮了嗎？引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識到：先在每個筆筒中放1支鉛筆，實際上就是在平均分；平均分，就可以使每個筆筒的鉛筆盡可能的少，也就有可能找到和老師說法不一樣的情況；平均分已經(jīng)使每個筆筒中的筆盡可能少了，如果這樣都符合要求，那另外的情況肯定也是符合要求的了。可以用除法算式表示這種分析方法，指出這種思考方法叫做“假設(shè)法”。[設(shè)計意圖]經(jīng)歷探究鴿巢原理的過程，理解學(xué)習(xí)假設(shè)的分析方法，培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理的能力和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S習(xí)慣。（3）請學(xué)生評價這兩種方法。師生共同總結(jié)結(jié)論并板書。[設(shè)計意圖]培養(yǎng)學(xué)生的優(yōu)化意識，使學(xué)生認(rèn)識到枚舉法的優(yōu)越性和局限性.假設(shè)法的獨特優(yōu)點。（二）繼續(xù)解決問題，建立數(shù)學(xué)模型1.初建模型師：如果把6支鉛筆放入5個筆筒，不管怎么放，總有一個杯子里至少有幾支鉛筆？生1：還是總有一個筆筒里至少有兩支鉛筆。師：你是怎么分的？生1：先把每個杯子里放一支，還剩一支，再把剩下的一支放入其中任意一個筆筒。師：如果把7支鉛筆放入6個筆筒呢？你們能接著往下說嘛？齊說師：把8支鉛筆放入7個筆筒呢？生：結(jié)論不變，總有一個杯子里至少有2支鉛筆。把1000支鉛筆放入999個筆筒呢？生：都是總有一個筆筒里至少有兩支鉛筆。師：觀察鉛筆的數(shù)量和筆筒的數(shù)量，你有什么發(fā)現(xiàn)？生：我們發(fā)現(xiàn)了當(dāng)鉛筆的數(shù)量比筆筒的數(shù)量多1師：當(dāng)鉛筆的數(shù)量比筆筒的數(shù)量多1時，不管怎么放，就會怎么樣？總有一個筆筒里至少有兩支鉛筆。師：其實在我們生活中還有很多類似問題，比如（1）把6個蘋果放進5個抽屜里，不管怎么放，總有一個抽屜里至少放2個蘋果。。。。。。引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)：鉛筆.蘋果.籃球.鴿子都是待分物體，筆筒.抽屜.球筐.鴿巢都可以看作盛放待分物體的“鴿巢”；待分物體都比“鴿巢”多1，都是總有一個“鴿巢”至少放2個待分物體。引導(dǎo)學(xué)生用字母表示：如果“鴿巢”個數(shù)用n來表示，待分物體就有（n+1）個，那么請你把這四個關(guān)鍵詞并用一句完整的話來描述：把m個待分物體放進(m-1)個鴿巢里，總有一個鴿巢里至少放了2個待分物體。揭示課題：這就是老師所說的那個著名的數(shù)學(xué)原理——鴿巢原理。（板書課題）[設(shè)計意圖]讓學(xué)生經(jīng)歷將具體問題數(shù)學(xué)化的過程，建立鴿巢原理最簡單情況的數(shù)學(xué)模型，初步形成模型思想，發(fā)展學(xué)生的抽象能力和概括能力。2.普及數(shù)學(xué)史知識知道鴿巢原理最早是由誰提出的嗎？課件出示：這個原理是組合數(shù)學(xué)中的一個重要原理，它最早由德國數(shù)學(xué)家狄利克雷提出并運用于解決數(shù)論中的問題，所以該原理又稱“狄利克雷原理”。該原理有兩個經(jīng)典案例，一個是把10個蘋果放進9個抽屜，總有一個抽屜里至少放了2個蘋果，所以這個原理又稱為“抽屜原理”；另一個是6只鴿子飛進5個鴿巢，總有一個鴿巢至少飛進2只鴿子，所以也稱為“鴿巢原理”（指名讀）。令人遺憾的是我國學(xué)者雖然很早就會用抽屜原理來分析具體問題，但是在古代文獻中并未發(fā)現(xiàn)關(guān)于抽屜原理的概括性文字，沒有人將它抽象為一條普遍的原理，最后還不得不將這一原理冠以數(shù)百年后西方學(xué)者狄利克雷的名字。老師在此也希望在座的大家也能發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)原理，用自己的名字來命名為祖國爭光，有信心嗎？[設(shè)計意圖]了解鴿巢原理的由來，進一步強化鴿巢原理基本形式的數(shù)學(xué)模型，感受數(shù)學(xué)的魅力，體會數(shù)學(xué)的價值,激發(fā)愛國情懷。3.完善模型教學(xué)例2師：如果待分物體不是鴿巢的數(shù)量多1，而是多2，多3，多4又會怎樣呢？.師:把7本書放進3個抽屜,不管怎么放,總有一個抽屜里至少放進3本書？為什么?學(xué)生獨立思考后,組織全班交流師:我們已經(jīng)學(xué)了平均分的方法，不要再列舉了，說說你想怎么分？生:假設(shè)把書盡量的“平均分”給各個抽屜,把7本書平均放進3個抽屜,每個抽屜放2本書,還剩1本;把剩下的1本不管放到哪個抽屜,總有一個抽屜至少放3本書。師：你能用算式表示這一平均分的過程和結(jié)果嗎?生:7÷3=2……1

2+1=3師板書。解釋算式的含義師：商2指的是什么？余數(shù)1又指的是什么呢？生：商2指的是每個抽屜放進去的2本書，余數(shù)1指剩下的那一本書。師:結(jié)合這個有余數(shù)的除法算式說明把這個問題完整說一說?生:把7本書平均放進3個抽屜,每個抽屜放2本書,還剩1本;把剩下的1本不管放到哪個抽屜,總有一個抽屜至少放3本書。師:如果有8本書會怎樣呢?請2名同學(xué)們黑板扮演，比較。師：誰想說說你們的想法，你們的結(jié)論？先讓得出“總有一個抽屜里至少有4本書”的學(xué)生說。生1：把8本書放入3個抽屜，先每個抽屜放2本，還剩2本，把這兩枝放入一個抽屜。算式是8÷3

=

2……2

2+2=4再讓得出“總有一個抽屜里至少有3本書”的學(xué)生說。生2：我們是這樣想的，把8本書平均放進3個抽屜,每個抽屜放2本書,還剩2本;把剩下的2本中的1本不管放到哪個抽屜,總有一個抽屜至少放3本書。算式是8÷3

=

2……2

2+1=3師：大家注意到了嗎？他們都是先把8本書平均分，每個抽屜放2本，只是對于余下的2本書有了不同的放法，你們同意誰的意見。剩下的2本為什么還要放進不同的抽屜？生：依據(jù)還是把余下的也盡量平均，盡可能分成最多的份數(shù)，才能保證出現(xiàn)至少數(shù)。師:10本書呢?生:10÷3=3……1,可知把10本書平均放進3個抽屜,每個抽屜放3本書,還剩1本;把剩下的1本不管放到哪個抽屜,總有一個抽屜至少放4本書。師：如果讓你繼續(xù)增加書和抽屜的數(shù)量，還會算嗎，試一試？師：觀察黑板上這些算式？這個至少數(shù)到底是怎么推算出來的呢？生1：我們通過用物體的數(shù)量÷抽屜的數(shù)量=商……余數(shù)，總有一個鴿巢里至少有商+1個物體。師：你們發(fā)現(xiàn)了嗎？齊說師板書：商+1=至少數(shù)齊讀師:物體數(shù)除以抽屜數(shù),那么總會有一個抽屜里放進比商多1的物體個數(shù)。余數(shù)不論是多少，都加1。[設(shè)計意圖]在這個環(huán)節(jié)里抓住假設(shè)法的核心思路，用有余數(shù)除法的形式來表示，讓學(xué)生直觀的理解，如果把書盡量多的平均分給各個抽屜，看看每個抽屜里能分到多少，余下的多少都能保證總有一個抽屜里的數(shù)量比平均數(shù)多1。三、利用模型，解決問題師：現(xiàn)在，你能利用這一原理揭密課前的魔術(shù)了嗎？生：五張牌相當(dāng)于鴿子，四種花色相當(dāng)于鴿巢，五張牌中至少有兩張是同一花色的。師：其實在我們生活中有很多“鴿巢原理”的應(yīng)用。1.隨意找13位老師，他們中至少有幾個人的屬相相同。為什么？個人坐8把椅子，總有一把椅子上至少坐幾人？為什么？只鴿子飛進4個鴿巢，至少有幾只鴿子要飛進同一個鴿巢里。為什么？4.六（8）班有38名同學(xué)，可以肯定，在這38人中，至少有幾個人的生日在同一個月。想一想，為什么？[設(shè)計意圖]能初步運用鴿巢原理解釋相關(guān)的現(xiàn)象。讓學(xué)生真正掌握并運用鴿巢原理解決問題，培養(yǎng)學(xué)生解決問題的靈活性和遷移能力。四、課末總結(jié)，梳理提升師:同學(xué)們美好的時光總是過得這么快，這節(jié)課大家表現(xiàn)都非常好，下面說說你這節(jié)課都有哪些收獲呀？[設(shè)計意圖]培養(yǎng)學(xué)生反思?xì)w納的學(xué)習(xí)習(xí)慣。師:其實在我們的生活中還存在很多可以用鴿巢原理去解決的問題,最后薛老師還給大家推薦一個有關(guān)鴿巢原理的二桃殺三士的故事，我們課下可以去看看，期待同學(xué)們下次更精彩的表現(xiàn)!【板書設(shè)計】鴿巢原理物體的數(shù)量÷抽屜的數(shù)量=商……余數(shù)

至少數(shù)=商+1鉛筆數(shù)量

筆筒數(shù)量