《集合的含義及表示》教學(xué)設(shè)計(jì)一、教學(xué)目標(biāo)使學(xué)生掌握集合的概念和性質(zhì)，集合的元素特征，有關(guān)數(shù)的集合；培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，提高學(xué)生理解掌握概念的能力；培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)識(shí)事物的能力，引導(dǎo)學(xué)生愛(ài)班、愛(ài)校、愛(ài)國(guó)．二、教學(xué)重點(diǎn)集合的概念，集合元素的三個(gè)特征．三、教學(xué)難點(diǎn)集合元素的三個(gè)特征，數(shù)集與數(shù)集關(guān)系．四、教學(xué)方法嘗試指導(dǎo)法：學(xué)生依集合概念的要求、集合元素的特征，在教師指導(dǎo)下，能自己舉出符合要求的實(shí)例，加深對(duì)概念的理解、特征的掌握．五、教學(xué)過(guò)程（一）復(fù)習(xí)回顧師生共同回顧初中代數(shù)中涉及“集合”的提法．師：同學(xué)們回憶一下，在初中代數(shù)第六章不等式的解法一節(jié)中提到：一般地，一個(gè)含有未知數(shù)的不等式的所有的解，組成這個(gè)不等式的解的集合，簡(jiǎn)稱這個(gè)不等式的解集．不等式解集的定義中涉及到“集合”．（二）講授新課下面我們?cè)倏匆唤M實(shí)例．幻燈片：觀察下列實(shí)例．（1）數(shù)組1，3，5，7．（2）到兩定點(diǎn)距離的和等于兩定點(diǎn)間距離的點(diǎn)．（3）滿足3x－2＞x＋3的全體實(shí)數(shù)．（4）所有直角三角形．（5）高一（3）班全體男同學(xué)．（6）所有絕對(duì)值等于6的數(shù)的集合．（7）所有絕對(duì)值小于3的整數(shù)的集合．（8）中國(guó)足球男隊(duì)的隊(duì)員．（9）參加2008年奧運(yùn)會(huì)的中國(guó)代表團(tuán)成員．（10）參與中國(guó)加入WTO談判的中方成員．通過(guò)以上實(shí)例．教師指出：1．定義一般地，某些指定對(duì)象集在一起就成為一個(gè)集合（集）．師進(jìn)一步指出：集合中每個(gè)對(duì)象叫做這個(gè)集合的元素．師：上述各例中集合的元素是什么?生：例1．的元素為1，3，5，7．例2．的元素為到兩定點(diǎn)距離的和等于兩定點(diǎn)間距離的點(diǎn)．例3．的元素為滿足不等式3x－2＞x＋3的實(shí)數(shù)x．例4．的元素為所有直角三角形．例5．為高一（3）班全體男同學(xué)．例6．的元素為－6，6．例7．的元素為－2，－1，0，1，2．例8．的元素為中國(guó)足球男隊(duì)的隊(duì)員．例9．的元素為參加2008年奧運(yùn)會(huì)的中國(guó)代表團(tuán)成員．例10．的元素為參與WTO談判的中方成員．師：請(qǐng)同學(xué)們另外舉出三個(gè)例子，并指出其元素．生：（1）高一年級(jí)所有女同學(xué)．（2）學(xué)校學(xué)生會(huì)所有成員．（3）我國(guó)公民基本道德規(guī)范．其中例（1）的元素為高一年級(jí)所有女同學(xué)．例2．的元素為學(xué)生會(huì)所有成員．例3．的元素為愛(ài)國(guó)守法、明禮誠(chéng)信、團(tuán)結(jié)友愛(ài)、勤儉自強(qiáng)、敬業(yè)奉獻(xiàn)．師：一般地來(lái)講，用大括號(hào)表示集合．師生共同完成上述例題集合的表示．如：例1．{1，3，5，7}；例2．{到兩定點(diǎn)距離的和等于兩定點(diǎn)間距離的點(diǎn)}；例3．{3x－2＞x＋3的解}；例4．{直角三角形}；例5．{高一（3）班全體男同學(xué)}；例6．{－6，6}；例7．{－2，－1，0，1，2}；例8．{中國(guó)足球男隊(duì)隊(duì)員}；例9．{參加2008年奧運(yùn)會(huì)的中國(guó)代表團(tuán)成員}；例10．{參與WTO談判的中方成員}．2．集合元素的三個(gè)特征幻燈片：?jiǎn)栴}及解釋．A＝{1，3}，問(wèn)3，5哪個(gè)是a的元素？A＝{所有素質(zhì)好的人}能否表示為集合？A＝{2，2，4}表示是否準(zhǔn)確?A＝{太平洋，大西洋}，B＝{大西洋，太平洋}是否表示為同一集合?生在師的指導(dǎo)下回答問(wèn)題：例（1）3是集合A的元素，5不是集合A的元素．例（2）由于素質(zhì)好的人標(biāo)準(zhǔn)不可量化，故A不能表示為集合．例（3）的表示不準(zhǔn)確，應(yīng)表示為A＝{2，4}．例（4）的A與B表示同一集合，因其元素相同．由此從所給問(wèn)題可知，集合元素具有以下三個(gè)特征：（1）確定性集合中的元素必須是確定的，也就是說(shuō)，對(duì)于一個(gè)給定的集合，其元素的意義是明確的．如上例（1）、例（2）、再如：參加學(xué)校運(yùn)動(dòng)會(huì)的年齡較小的人}也不能表示為一個(gè)集合．（2）互異性集合中的元素必須是互異的，也就是說(shuō)，對(duì)于一個(gè)給定的集合，它的任何兩個(gè)元素都是不同的．如上例（3），再如A＝{1，1，1，2，4，6}應(yīng)表示為A＝{1，2，4，6}．（3）無(wú)序性集合中的元素是無(wú)先后順序，也就是說(shuō)，對(duì)于一個(gè)給定集合，它的任何兩個(gè)元素都是可以交換的．如上例（1）師：元素與集合的關(guān)系有“屬于∈”及“不屬于”（也可表示為）兩種．如A＝{2，4，8，16}4∈A8∈A32請(qǐng)同學(xué)們考慮：A＝{2，4}，B＝{{1，2}，{2，3}，{2，4}，{3，5}}，A與B的關(guān)系如何？雖然A本身是一個(gè)集合．但相對(duì)B來(lái)講，A是B的一個(gè)元素．故A∈B．幻燈片：3．常見(jiàn)數(shù)集的專用符號(hào)N：非負(fù)整數(shù)集（或自然數(shù)集）（全體非負(fù)整數(shù)的集合）N*或N＋：正整數(shù)集（非負(fù)整數(shù)集N內(nèi)排除0的集合）Ｚ：整數(shù)集（全體整數(shù)的集合）Q：有理數(shù)集（全體有理數(shù)的集合）R：實(shí)數(shù)集（全體實(shí)數(shù)的集合）師：請(qǐng)同學(xué)們熟記上述符號(hào)及其意義．六、課堂練習(xí)1．（口答）說(shuō)出下面集合中的元素（1）{大于3小于11的偶數(shù)}其元素為4，6，8，10（2）{平方等于1的數(shù)}其元素為－1，1（3）{15的正約數(shù)}其元素為1，3，5，152．用符號(hào)∈或eq\o(∈,\\)填空1∈N0∈N－3eq\o(∈,\\)N0．5eq\o(∈,\\)Neq\r(2)eq\o(∈,\\)N1∈Z0∈Z－3∈Z0．5eq\o(∈,\\)Ｚeq\r(2)eq\o(∈,\\)Ｚ1∈Q0∈Q－3∈Q0．5∈Qeq\r(2)eq\o(∈,\\)Q1∈R0∈R－3∈R0．5∈Req\r(2)∈R3．判斷正誤（1）所有在N中的元素都在N*中（×）（2）所有在N中的元素都在Z中（√）（3）所有不在N*中的數(shù)都不在Z中（×）（4）所有不在Q中的實(shí)數(shù)都在R中（√）（5）由既在R中又在N中的數(shù)組成的集合中一定包含數(shù)0（×）（6）不在N中的數(shù)不能使方程4x＝8成立（√）七、課時(shí)小結(jié)1．集合的概念中，“某些指定的對(duì)象”，可以是任意的具體確定的事物，例如數(shù)、式、點(diǎn)、形、物等．2．集合元素的三個(gè)特征：確定性、互異性、無(wú)序性，要能熟練運(yùn)用之．八、課后作業(yè)（一）練習(xí)1．用集合符號(hào)表示下列集合，并寫(xiě)出集合中的元素：（1）所有絕對(duì)值等于8的數(shù)的集合A（2）所有絕對(duì)值小于8的整數(shù)的集合B分析：由集合定義：一組確定對(duì)象的全體形成集合，所以能否形成集合，就看所提對(duì)象是否確定；其次集合元素的特征也是解決問(wèn)題依據(jù)所在．解：（1）A＝{絕對(duì)值等于8的數(shù)}其元素為：－8，8（2）B＝{絕對(duì)值小于8的整數(shù)}其元素為：－7，－6，－5，－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4，5，6，72．下列各組對(duì)象不能形成集合的是（）A．大于6的所有整數(shù)B．高中數(shù)學(xué)的所有難題C．被3除余2的所有整數(shù)D．函數(shù)y＝eq\f(1,x)圖象上所有的點(diǎn)解：綜觀四個(gè)選擇支，A、C、D的對(duì)象是確定的，惟有B中的對(duì)象不確定，故不能形成集合的是B．3．下列條件能形成集合的是（）A．充分小的負(fù)數(shù)全體B．愛(ài)好飛機(jī)的一些人C．某班本學(xué)期視力較差的同學(xué)D．某校某班某一天所有課程解：綜觀該題的四個(gè)選擇支，A、B、C的對(duì)象不確定，惟有D某校某班某一天所有課程的對(duì)象確定，故能形成集合的是D．4．集合A的元素由kx2－3x＋2＝0的解構(gòu)成，其中k∈R，若A中的元素至多有一個(gè)，求k值的范圍．解：由題A中元素即方程kx2－3x＋2＝0（k∈R）的根若k＝0，則x＝eq\f(2,3)，知A中有一個(gè)元素，符合題設(shè)若k≠0，則方程為一元二次方程．當(dāng)Δ＝9－8k＝0即k＝eq\f(9,8)時(shí)，kx2－3x＋2＝0有兩相等的實(shí)數(shù)根，此時(shí)A中有一個(gè)元素．又當(dāng)9－8k＜0即k＞eq\f(9,8)時(shí),kx2－3x＋2＝0無(wú)解．此時(shí)A中無(wú)任何元素，即A＝也符合條件綜上所述k＝0或k≥eq\f(9,8)評(píng)述：解決涉及一元二次方程問(wèn)題，先看二次項(xiàng)系數(shù)是否確定，若不確定，如該題，則須分類討論．其次至多有一個(gè)元素，決定了這樣的集合或者含一個(gè)元素，或者不含元素，分兩種情況．5．若x∈R，則{3，x，x2－2x}中的元素x應(yīng)滿足什么條件?解：集合元素的特征說(shuō)明{3，x，x2－2x}中元素應(yīng)滿足關(guān)系式eq\b\lc\{(\a\al(x≠3,x≠x2－2x,3≠x2－2x))即eq\b\lc\{(\a\al(x≠3,x2≠3x,x2－2x－3≠0))也就是eq\b\lc\{(\a\al(x≠3,x≠0,x≠－1))即x≠－1，0，3滿足條件．6．方程ax2＋5x＋c＝0的解集是{eq\f(1,2)，eq\f(1,3)}，則a＝_______，c＝_______．解：方程ax2＋5x＋c＝0的解集是{eq\f(1,2)，eq\f(1,3)}，那么eq\f(1,2)、eq\f(1,3)是方程兩根即有eq\b\lc\{(\a\al(eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＝－eq\f(5,a),eq\f(1,2)·eq\f(1,3)＝eq\f(c,a)))得eq\b\lc\{(\a\al(a＝－6,c＝－1))那么a＝－6，c＝－17．集合A的元素是由x＝a＋beq\r(2)（a∈Z,b∈Z）組成，判斷下列元素x與集合A之間的關(guān)系：0，eq\f(1,\r(2)－1)，eq\f(1,\r(3)－\r(2))．解：因x＝a＋beq\r(2)，a∈Z,b∈Z則當(dāng)a＝b＝0時(shí)，x＝0又eq\f(1,\r(2)－1)＝eq\r(2)＋1＝1＋eq\r(2)當(dāng)a＝b＝1時(shí)，x＝1＋eq\r(2)又eq\f(1,\r(3)－\r(2))＝eq\r(3)＋eq\r(2)當(dāng)a＝eq\r(3)，b＝1時(shí)，a＋beq\r(2)＝eq\r(3)＋eq\r(2)而此時(shí)eq\r(3)eq\o(∈,\\)Z，故有：eq\f(1,\r(3)－\r(2))eq\o(∈,\\)A，故0∈A，eq\f(1,\r(2)－1)∈A，eq\f(1,\r(3)－\r(2))eq\o(∈,\\)A．