機械振動第四講第1頁，共23頁，2023年，2月20日，星期一優(yōu)勢:比三角函數(shù)形式更為方便;與振動的頻域分析方法密切關(guān)聯(lián).kmc當(dāng)系統(tǒng)受余弦擾力作用時,當(dāng)系統(tǒng)受正弦擾力作用時,對上式兩端乘以,再與第3.4.1式相加,得(3.4.1)(3.4.2)引入復(fù)變量,再利用歐拉表示式,上方程可寫為同樣，由于存在阻尼，我們只考慮(定常)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。3.4定常強迫振動的復(fù)數(shù)解法與頻率響應(yīng)函數(shù)(3.4.5)單自由度系統(tǒng)的定常強迫振動第2頁，共23頁，2023年，2月20日，星期一單自由度系統(tǒng)的定常強迫振動設(shè)其穩(wěn)態(tài)特解是代入原方程，消去后，求出是復(fù)數(shù)，稱為復(fù)數(shù)振幅,寫成復(fù)數(shù)形式有得復(fù)指數(shù)解上述復(fù)數(shù)形式的計算要簡便得多。既含有振幅，也含有相位。如果引入無量剛化定義對比復(fù)數(shù)解的模和相位,可見它們是與上一節(jié)中由三角函數(shù)解法得到的振幅和相位完全一樣的表達(dá)式(見書3.3.6式)。另外只要將復(fù)數(shù)解的實部和虛部分離，則可以同時得到系統(tǒng)分別受余弦激勵力和正弦激勵力作用的解。第3頁，共23頁，2023年，2月20日，星期一描述振動系統(tǒng)頻率特性的一個重要技術(shù)術(shù)語：定義：頻響函數(shù)≡(復(fù)諧和響應(yīng))／(復(fù)諧和激勵)如果考慮的是位移響應(yīng)，則上式是(位移／外力)，位移頻響函數(shù)具有“柔度”的意義

，稱為動柔度，又可叫做位移導(dǎo)納。直接可得到位移頻響函數(shù)通常用記號Hd(ω)代表。由運動方程式：出發(fā)，令按定義，xc/F是位移頻響函數(shù)單自由度系統(tǒng)的定常強迫振動頻率響應(yīng)函數(shù)簡稱頻響函數(shù)第4頁，共23頁，2023年，2月20日，星期一單自由度系統(tǒng)的定常強迫振動如果考慮的是速度響應(yīng)，則有速度阻抗如果考慮的是加速度響應(yīng)，則有加速度阻抗則有加速度導(dǎo)納速度導(dǎo)納而Hd(ω)的倒數(shù)Zd(ω)＝(k-mω2+jcω)，稱為動剛度。Zd

又稱為位移阻抗。第5頁，共23頁，2023年，2月20日，星期一3.5周期激勵下的定常強迫振動

外加激振力是時間的周期函數(shù)f(t±nT)=f(t)，T為外擾力的周期。諧和激勵是周期激勵的一種特殊形式.單自由度系統(tǒng)的定常強迫振動按照傅里葉級數(shù)概念，周期性外擾力可以分解成各個頻率成份簡諧激勵的線性組合。對應(yīng)簡諧激勵每一項，可以用前面的公式，計算出它的響應(yīng)量，把這些響應(yīng)量疊加起來，就得到了單自由度系統(tǒng)對該周期激勵的響應(yīng)。若假設(shè)外激勵力為f(t),則系統(tǒng)的振動微分方程的一般形式為設(shè)外f(t)的周期為T,則第6頁，共23頁，2023年，2月20日，星期一傅里葉級數(shù)：稱為基(本)頻(率)。對應(yīng)于基頻的諧和分量稱為基頻分量，其余為高(次)諧(波)分量。單自由度系統(tǒng)的定常強迫振動單自由度系統(tǒng)對f(t)的響應(yīng)

第7頁，共23頁，2023年，2月20日，星期一周期激勵的響應(yīng)分析現(xiàn)以例子來說明其響應(yīng)分析矩形波由于f(t)為奇函數(shù)，故有于是，f(t)的傅里葉展式為首先要找出激勵f(t)的傅里葉展開式單自由度系統(tǒng)的定常強迫振動-AAT/2f(t)t-T/2圖3.5.1第8頁，共23頁，2023年，2月20日，星期一將周期激勵f(t)的各頻率成份與它們的對應(yīng)激勵幅值畫成圖3.5.2，它稱為激勵f(t)的(離散)頻譜，或線譜。bn對線性系統(tǒng)，按傅里葉展開式，求出各階諧和分量激勵的諧和響應(yīng)。將這些響應(yīng)求和(疊加)，就是該周期力激勵下的強迫響應(yīng)。單自由度系統(tǒng)的定常強迫振動圖3.5.2激勵頻譜第9頁，共23頁，2023年，2月20日，星期一假設(shè)有一無阻尼質(zhì)量－彈簧系統(tǒng)，受周期矩形波激勵，擾力基頻Ω＝p/6(p=6Ω)。擾力f(t)的傅里葉展式為系統(tǒng)的定常強迫振動為取無量綱幅值BnBn11.030.440.650.400.08p=6Ω圖3.5.3響應(yīng)頻譜單自由度系統(tǒng)的定常強迫振動bn啟示：只有低次諧波分量和外激勵頻率接近于系統(tǒng)固有頻率的那些擾力分量對系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)有較大貢獻(xiàn);當(dāng)激勵具有離散頻譜時,系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)也具有離散頻譜,這是線性系統(tǒng)的頻域固有屬性。第10頁，共23頁，2023年，2月20日，星期一飛行器機體振動激起的內(nèi)部設(shè)備振動;飛機滑跑時跑道不平引起的飛機振動等等，都可以看成是由于系統(tǒng)的基礎(chǔ)（支撐點）運動產(chǎn)生的激勵而引起的振動。3.6測振原理3.6.1基礎(chǔ)激勵響應(yīng)單自由度系統(tǒng)的定常強迫振動mkco如圖所示基礎(chǔ)激勵振動系統(tǒng)：基礎(chǔ)激勵整理后得到：利用復(fù)數(shù)解法：第11頁，共23頁，2023年，2月20日，星期一單自由度系統(tǒng)的定常強迫振動兩端求模：可得：第12頁，共23頁，2023年，2月20日，星期一單自由度系統(tǒng)的定常強迫振動第13頁，共23頁，2023年，2月20日，星期一解：系統(tǒng)的固有頻率和阻尼比分別為單自由度系統(tǒng)的定常強迫振動如果該車以恒定的水平速度運行，那么因此輪子隨時間變化的垂直位移為運用基礎(chǔ)激勵穩(wěn)態(tài)響應(yīng)振幅公式則機車的加速度振幅為:第14頁，共23頁，2023年，2月20日，星期一3.6.2慣性式傳感器測振原理如圖所示為測振儀的原理簡圖，傳感器的輸入為被測物體的振動,傳感器的輸出為質(zhì)量塊m的相對位移。作為傳感器，要求輸出量和輸入量之間存在線性關(guān)系。質(zhì)量塊運動方程式:令z=x-y,是質(zhì)量塊m相對被測量物體(基礎(chǔ))的相對位移，代入上式：假定，代入得：圖1慣性式測振儀的原理圖相對坐標(biāo)方程yxkmc被測物體選擇傳感器的靜平衡位置為坐標(biāo)原點，建方程時可不考慮常力的作用。則單自由度系統(tǒng)的定常強迫振動第15頁，共23頁，2023年，2月20日，星期一繪出及的曲線族(以ζ為參數(shù))，即相對位移放大率和相位角變化曲線。式中于是將上式可寫成不難確定單自由度系統(tǒng)的定常強迫振動第16頁，共23頁，2023年，2月20日，星期一|Z|/Y1.0123452.03.00.0位移計頻率比γζ=0ζ=0.25ζ=0.5ζ=0.7ζ=1.01.03.05.0090180相角頻率比γ位移計：即測振儀“滾筒”上記錄下來的Z和要測的物體的位移Y很接近,而相位相差(滯后)接近π。即：位移計就是按這個原理設(shè)計工作的，它要求阻尼要小,彈簧剛度k小，而質(zhì)量塊m較大，從而位移計有較低的固有頻率。適合測量大質(zhì)量對象的振動位移測試。單自由度系統(tǒng)的定常強迫振動第17頁，共23頁，2023年，2月20日，星期一123頻率比γ4321000.10.150.20.70.30.51.02.0加速度計：如果測振儀設(shè)計得具有較高的固有頻率，使這時，記錄下來的即與Yω2成比例，比例常數(shù)是是和被測試物體的加速度成比?？梢娺@種測振儀記錄下來的這種具有較高固有頻率(彈簧剛度大，質(zhì)量塊很小)的測振儀就叫做“加速度計”，它要求被測頻率低于傳感器的自身固有頻率。在測振儀上，它的使用范圍有一個標(biāo)明的頻率上限。這種傳感器的附加質(zhì)量小，得到廣泛應(yīng)用。單自由度系統(tǒng)的定常強迫振動第18頁，共23頁，2023年，2月20日，星期一由于讀數(shù)與被測加速度的比值是常數(shù)，該常數(shù)也就是該加速度計的測試靈敏度。由此可見，加速度計的固有頻率Ω也不能設(shè)計得過高，否則它的靈敏度就太低。由為了擴大測量范圍，要求即啟示:

(1)為增加可測頻率范圍，可提高加速度計的固有頻率,而位移計則要盡量降低固有頻率，因此加速度計易于做得體積小,附加質(zhì)量輕。(2)增加加速度計的固有頻率會降低傳感器的靈敏度。0.10.20.30.40.50.60.70.80.0ζ=0ζ=0.6ζ=0.65ζ=0.7ζ=0.75頻率比γ放大率β0.981.00.961.021.04(3)設(shè)計阻尼率等于0.7,可以增加加速度計的頻率范圍。單自由度系統(tǒng)的定常強迫振動第19頁，共23頁，2023年，2月20日，星期一

壓電加速計是利用壓電晶體的正壓電效應(yīng)實現(xiàn)機電轉(zhuǎn)換的加速度傳感器。

引申：壓電加速計

壓電晶體在傳感器中扮演支撐彈簧的作用。壓電晶體承受到的壓力與感應(yīng)電荷成正比，而壓力又與彈簧的相對位移成正比，從而感應(yīng)電荷與相對位移