放縮法證明不等式1、添加或舍棄一些正項(xiàng)（或負(fù)項(xiàng)）【例1】已知（），求證：（）．【解析】∵（1、2、3、、），∴，∴（）．【點(diǎn)評(píng)】若多項(xiàng)式中加上一些正的值，多項(xiàng)式的值變大，多項(xiàng)式中加上一些負(fù)的值，多項(xiàng)式的值變?。捎谧C明不等式的需要，有時(shí)需要舍去或添加一些項(xiàng)，使不等式一邊放大或縮小，利用不等式的傳遞性，達(dá)到證明的目的．本題在放縮時(shí)就舍去了，從而是使和式得到化簡(jiǎn)．2、先放縮再求和（或先求和再放縮）【例2】函數(shù)，求證：（）．【解析】由得：（）．【點(diǎn)評(píng)】此題不等式左邊不易求和，此時(shí)根據(jù)不等式右邊特征，先將分子變?yōu)槌?shù)，再對(duì)分母進(jìn)行放縮，從而對(duì)左邊可以進(jìn)行求和．若分子，分母如果同時(shí)存在變量時(shí)，要設(shè)法使其中之一變?yōu)槌Ａ?，分式的放縮對(duì)于分子分母均取正值的分式．如需放大，則只要把分子放大或分母縮小即可；如需縮小，則只要把分子縮小或分母放大即可．3、先放縮，后裂項(xiàng)（或先裂項(xiàng)再放縮）【例3】已知：，求證：．【解析】．【點(diǎn)評(píng)】本題先采用減小分母的兩次放縮，再裂項(xiàng)，最后又放縮，有的放矢，直達(dá)目標(biāo)．4、放大或縮小“因式”【例4】已知數(shù)列滿足，，求證：．【解析】∵，，∴，，，∴當(dāng)時(shí)，，∴．【點(diǎn)評(píng)】本題通過對(duì)因式放大，而得到一個(gè)容易求和的式子，最終得出證明．5、逐項(xiàng)放大或縮小【例5】設(shè)，求證：．【解析】∵，，∴，∴，∴．【點(diǎn)評(píng)】本題利用，對(duì)中每項(xiàng)都進(jìn)行了放縮，從而得到可以求和的數(shù)列，達(dá)到化簡(jiǎn)的目的．6、固定一部分項(xiàng)，放縮另外的項(xiàng)【例6】求證：．【解析】∵，∴．【點(diǎn)評(píng)】此題采用了從第三項(xiàng)開始拆項(xiàng)放縮的技巧，放縮拆項(xiàng)時(shí)，不一定從第一項(xiàng)開始，須根據(jù)具體題型分別對(duì)待，即不能放的太寬，也不能縮的太窄，真正做到恰倒好處．7、利用基本不等式放縮【例7】已知：，證明：不等式，對(duì)任何正整數(shù)、都成立．【解析】要證，只要證：，∵，，故只要證：，即只要證：，∵，∴命題得證．【點(diǎn)評(píng)】本題通過化簡(jiǎn)整理之后，再利用基本不等式由放大即可．8、先適當(dāng)組合、排序，再逐項(xiàng)比較或放縮【例8】已知：、、是正整數(shù)，且．（1）證明：；（2）證明：．【解析】（1）對(duì)于，且，，同理，由于，對(duì)于整數(shù)1、2、、，有，∴