含有絕對值的不等式·知識點應(yīng)用

由②得

x＞4或x＜0∴

原不等式組解集為【例2】解下列不等式(1)2x2+ax+2＞0；(2)x2-(a+a2)x+a3＞0．解

(1)∵

△=a2-16當△＜0，即-4＜a＜4時，x∈R當△＞0，即a＞4或a＜-4時，解集為(2)原不等式化為(x-a)(x-a2)＞0當a＜0或a＞l，有a＜a2，解集為{x|x＜a或x＞a2}當0＜a＜1，有a＞a2，解集為{x|x＜a2或x＞a}當a=0，解集為{x|x∈R且x≠0}當a=1，解集為{x|x∈R且x≠}．【例3】已知不等式ax2+bx+c＞0的解集是{x}α＜x＜β}(α＞0)，求不等式cx2+bx+a＞0的解集．解法1

由題意可知，α，β是方程ax2+bx+c=0的兩根又

ax2+bx+c＞0

∴a＜0∴

αβx2-(α+β)x+1＜0∴

不等式cx2+bx+a＞0的解集為即

ay2+by+c＞0故不等式cx2+bx+a＞0的解集為【例4】解下列不等式(1)(x2-3x+2)(x2-x-6)＜0；(2)(x2-4)(x-6)2≤0．解

(l)將原不等式變形為(x+2)(x-1)(x-2)(x-3)＜0則方程

(x+2)(x-1)(x-2)(x-3)=0的根為x=-2，l，2，3．如圖5-2所示∴

原不等式的解集為{x|-2＜x＜1}∪{x|2＜x＜3}．(2)解法1

∵(x-6)2≥0

∴x2-4≤0即

-2≤x≤2

又x=6時符合題意∴

原不等式解集為x∈[-2，2］及x＝6．解法2

將原不等式變形為(x+2)(x-2)(x-6)2≤0如圖5-3所示．原不等式解集為x∈[-2，2]∪{6}．注

本例中的解法是用序軸標根法，其步驟是：1．化簡：將原不等式變?yōu)榕c它同解的基本型不等式f(x)=(x-α1)(x-α2)…(x-αn)＞0(或＜0)．2．標根：將f(x)=0的n個根標到數(shù)軸上，將數(shù)軸分成n+l個區(qū)間．3．求解：在所得的n+1個區(qū)間中自右向左畫曲線，取出奇序數(shù)區(qū)間即為f(x)＞0的解．取出偶序數(shù)區(qū)間即為f(x)＜0的解．此種方法和教材中的列表法本質(zhì)并沒有什么區(qū)別，但要注意平方因式(如本例中(x-6)2)的特點．【例5】解不等式解

移項、通分整理得故可求得不等式解集為【例6】解下列不等式故原不等式解集為{x|x＞1}．故原不等式解集為【例7】解下列不等式(1)|x2-2x-3|＞3；(3)|x2-2x+3|＜|3x-l|；(4)|x-5|-|2x+3|＜1．∴

原不等式的解集為當x＞0時故原不等式的解集為故原不等式解集為解法2

∵x2-2x+3=(x-1)2+2＞0故原不等式解集為｛x|1＜x＜4}．(4)原不等式等價于下列不等式組：故原不等式解集為【例8】解下列不等式(2)16x-22+2x+3＜0；(4)故原不等式解集為(2)16x-22+2x+3＜0故原不等式解集為故原不等式解集為{x|-1＜x＜2

或

3＜x＜6}；(4)故原不等式解集為{x|1＜x＜28或0＜x＜}．【例9】解下列關(guān)于x的不等式：(l)loga(4+3x-x2)-loga(2x-l)＞loga2(a＞0，a≠1)；當0＜a＜l綜上所述，當a＞l時，原不等式的解集為當0＜a＜l時，原不等式的解集為{x|2＜x＜4}；綜上所述當

a＞b＞0，原不等式解集為當

0＜a＜b，原不等式解集為綜上所述當

a＜-1或0＜a＜1時，原不等式解集為當

-l＜a＜0或a＞1時，原不等式解集為(Ⅱ)a＜0時

令t=a-2x(Ⅲ)a＞0時

令t=a-2x綜上所述當a=0原不等式解集為{x|x＞0}當a＜0原不等式解集為當a＞0原不等式解集為{x|0＜x≤a}；①logax＜1時2|logax-1|-|logax-2|＜2②1≤logax＜2時2|logax-1|-