正弦、余弦的誘導(dǎo)公式（一）本課說(shuō)明:本小節(jié)是利用單位圓和三角函數(shù)的定義，導(dǎo)出了正弦、余弦的另外兩組誘導(dǎo)公式（即180o＋，－分別稱之為公式二、三），并利用誘導(dǎo)公式一、二、三推導(dǎo)出誘導(dǎo)公式四、五，并通過(guò)運(yùn)用這些公式，把任意角的正弦、余弦值分別轉(zhuǎn)化為銳角的正弦、余弦值，從而滲透了把未知問(wèn)題化歸為已知問(wèn)題的數(shù)學(xué)思想.學(xué)習(xí)目標(biāo):知識(shí)與技能：掌握誘導(dǎo)公式，能運(yùn)用誘導(dǎo)公式并按照其解題步驟進(jìn)行有關(guān)的三角求值與三角變形.過(guò)程與發(fā)展：要了解誘導(dǎo)公式產(chǎn)生的背景.情感態(tài)度與價(jià)值觀：通過(guò)公式的運(yùn)用，了解未知到已知、復(fù)雜到簡(jiǎn)單的轉(zhuǎn)化過(guò)程.學(xué)法指導(dǎo)：學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容，應(yīng)了解以下幾點(diǎn)：1、利用終邊相同角概念，任何一個(gè)角a都可以唯一表示成a=2kp+a0，k∈Z且a0∈[0,2p)，要能靈活地求出k、a0的值；2、對(duì)于任何一個(gè)a、b∈[0,2p)，必存在唯一一個(gè)a0∈，使下列四個(gè)式中有且只有一個(gè)成立：，這樣就把任一角a的三角函數(shù)求值問(wèn)題，化歸為a0∈的三角函數(shù)求值問(wèn)題做好了必要準(zhǔn)備；3、五組誘導(dǎo)公式的正確性，當(dāng)然是借助于三角函數(shù)的定義來(lái)證明的；知識(shí)講解：Ⅰ、情境設(shè)置前面我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了誘導(dǎo)公式一，有了它就可以把任一角的三角函數(shù)求值問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為0°～360°間角的三角函數(shù)值問(wèn)題，那么能否再把0°～360°間的角的三角函數(shù)求值，繼續(xù)化為我們熟悉的0°～90°間的角的三角函數(shù)問(wèn)題呢？這節(jié)課我們就來(lái)研究這一問(wèn)題。Ⅱ、知識(shí)點(diǎn)探究【基礎(chǔ)知識(shí)】1．誘導(dǎo)公式二：如圖，已知任意角的終邊與單位圓的交點(diǎn)P（x，y），則角180o＋的終邊與單位圓的交點(diǎn)（－x，－y）.又因?yàn)閱挝粓A的半徑為r＝1，由正弦函數(shù)，余弦函數(shù)的定義，可得故得公式二：2．誘導(dǎo)公式三：如圖，已知任意角的終邊與單位圓的交點(diǎn)P（x，y），則角－的終邊與單位圓的交點(diǎn).又因?yàn)閞＝1，可得到故得公式三：注：誘導(dǎo)公式：，，及－的三角函數(shù)值，等于的同名函數(shù)值,前面加上把看作銳角時(shí)（無(wú)論是什么角,都“看作”銳角，如）原函數(shù)值在相應(yīng)象限的符號(hào)，簡(jiǎn)記為“函數(shù)名不變，符號(hào)看象限”.3．誘導(dǎo)公式四：于是得到公式四：4．誘導(dǎo)公式五：于是得到公式五：注：公式一、二、三、四、五都叫誘導(dǎo)公式，都可簡(jiǎn)記為“函數(shù)名不變，符號(hào)看象限”.利用上述五組誘導(dǎo)公式,可以把任意角的三角函數(shù)值化為銳角三角函數(shù)值,其一般步驟為.任意負(fù)角的三角函數(shù)相應(yīng)正角的三角函數(shù)角的三角函數(shù)銳角三角函數(shù)三角函數(shù)值，亦可概括為“負(fù)角化正角”“大角化小角”“查表求值.”【應(yīng)用例題】〖例1〗求下列三角函數(shù)值：（1）；（2）.解：（1）＝＝；（2）〖例2〗求下列三角函數(shù)值：（1）；（2）解：（1）（2）〖例3〗化簡(jiǎn)：（1）.（2）解：（1）原式＝.（2）原式＝.〖例4〗已知，求的值.分析：∵，因此可以把化成，進(jìn)而利用誘導(dǎo)公式求解.解：∵＝∴.∴原式＝〖例5〗已知.求：（1）的值；（2）的值.分析：本題已知條件中含有和，欲求值的三角函數(shù)式中含有2，可以用誘導(dǎo)公式化為的三角函數(shù)，這樣再求解就明了了.解：（1）由已知，得兩邊平方得∴∵∴∴（2）由（1）得，∴說(shuō)明：解題時(shí)注意運(yùn)用關(guān)系式：，從而建立與之間的關(guān)系，同時(shí)還要注意在求方根時(shí)的符號(hào)討論.Ⅲ、課內(nèi)練習(xí)一．選擇題1．的值是（）A．1B．2C．0D．22．已知函數(shù)滿足，則的值（）A．5B．－5C．6D．－63．設(shè)，若兩角、的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱，那么（）A．＝0B．＝－1C．＝1D．＝－14．設(shè)，若兩角、的終邊關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，那么（）A．＝1B．＝－1C．＝－1D．＝1二．填空題5．已知，則＝，＝.6．已知，則＝，＝.7．根式的化簡(jiǎn)結(jié)果是.一．1．D2．B3．A4．B二．5．a(chǎn)，－a6．－b，b7．Ⅳ、總結(jié)提煉通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，要熟記誘導(dǎo)公式，最好的辦法以不要死記硬背，應(yīng)掌握記憶的口訣，對(duì)于

，有口訣：“函數(shù)名不變，符號(hào)看象限”.所謂符號(hào)看象限，即看看成銳角時(shí)，取角

所在相應(yīng)象限的三角函數(shù)的符號(hào)，如，將看成銳角，則在第二象限，

這時(shí)余弦值小于0，故.課后作業(yè)一．選擇題1．已知函數(shù)，其中a、b、、均是非零的實(shí)數(shù)，且

滿足，則等于（）A．－1B．0C．1D．22．若，則等于（）A．B．－C．D．－3．下列四個(gè)等式中（1）（2）（3）（4）其中正確的等式有A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)4．設(shè)為第二象限角，則下列各三角函數(shù)中值為正的是（）A．B．C．D．5．若，則的值為（）A．B．C．－D．6．若A、B、C是△ABC的內(nèi)角，則：（1）（2）（3）（4）（5）中，正確的個(gè)數(shù)是（）A．2B．3C．4D．57．設(shè)，若兩角、的終邊關(guān)于x軸對(duì)稱，那么（）A．＝1B．＝－1C．＝1D．＝－1二．填空題8．.9．＝.10．＝.11．＝.三．解答題12．已知，且

，求.一．1．C2．C3．C4．A5．A6．D7．A二．8．9．010．－111．1三．12．解：由得：(1)由得(2)由(1)2＋(2)2得：∴3－2＝2，∴∵，∴∴.正弦、余弦的誘導(dǎo)公式（二）本課說(shuō)明：本小節(jié)是先利用單位圓及三角函數(shù)的定義推導(dǎo)出誘導(dǎo)公式cos(90+)=－sin和sin(90°+)=cos，然后用變量替換的思想及已有誘導(dǎo)公式推導(dǎo)出90°±,270°±的三角函數(shù)值，總結(jié)誘導(dǎo)公式k·90°±的三角函數(shù)值的記憶方法，并介紹其簡(jiǎn)單應(yīng)用．學(xué)習(xí)目標(biāo)：1、了解公式的推導(dǎo)思路，并掌握公式．2、正確使用公式進(jìn)行化簡(jiǎn)求值．知識(shí)講解：Ⅰ、情境設(shè)置這節(jié)課我們?cè)趯W(xué)習(xí)了誘導(dǎo)公式一～五的基礎(chǔ)上，學(xué)習(xí)90°±,270°±這種形式的角的誘

導(dǎo)公式。Ⅱ、知識(shí)點(diǎn)探究【基礎(chǔ)知識(shí)】1、誘導(dǎo)公式cos(90°±)=和sin(90°±)=cos的推導(dǎo)．如圖，已知任意角的終邊與單位圓相交于點(diǎn)P(x,y)，角90°+的終邊與單位圓相交于點(diǎn)(x',y')，由△OMP≌△P'M'O知x'=－y,y'=x．由正弦函數(shù)，余弦函數(shù)的定義，可得sin=y,cos=x,sin(90°+)=y'=x,cos(90°+)=x'=－y,所以cos(90°+)=－sin,sin(90°+)=cos.于是得到誘導(dǎo)公式：上述公式中的用－取代，得如下誘導(dǎo)公式：2、誘導(dǎo)公式cos(270°±)=±sin和sin(270°±)=－cos的推導(dǎo)．cos(270°±)=cos[180°+(90°±)]=－cos(90°±)=±sin,sin(270°±)=sin[180°+(90°±)]=－sin(90°±)=－cos于是得到誘公式：以上公式簡(jiǎn)化為：“函數(shù)名互余，符號(hào)看象限”．連同上面兩課時(shí)共九組誘導(dǎo)公式，均可以看成求k·的三角函數(shù)值．可簡(jiǎn)記為“奇余偶同，象限定號(hào)”所謂的奇余：常數(shù)角是的奇數(shù)倍時(shí)，名稱就變?yōu)閷?duì)應(yīng)的余名函數(shù)；偶同：常數(shù)角是的偶數(shù)倍時(shí)，名稱不變，象限定號(hào)就是把看作銳角時(shí)，加原三角函數(shù)值在相應(yīng)象限的符號(hào)．正切，余切的誘導(dǎo)公式仍符合這個(gè)規(guī)律．3、正切、余切的誘導(dǎo)公式tan(2)=tan,cot(2)=,tan()=tan,cot()=,tan()=－tan,cot(－)=,tan()=cos,cot()=,tan()=cot,cot()=．【應(yīng)用舉例】〖例1〗求下列三角函數(shù)的值：（1）sin(－1650°)（2）cos(－)解法一：（1）sin(－1650°)=－sin1650°=－sin(4×360°+210°)=－sin210°=－sin(180°+30°)=－sin(－30°)=sin30°=（2）cos(－)=cos=cos(2)=cos=cos()=－cos解法二：（1）sin(－1650°)=－sin1650°=－sin210°=－sin(270°－60°)=－(－cos60°)=cos60°=（2）cos(－)=cos=cos=cos()=－sin〖例2〗研究與的正、余弦函數(shù)間的關(guān)系．分析：因?yàn)閗的不同，結(jié)果也不同，應(yīng)作如下討論．解：（1）當(dāng)k=4n時(shí)，(nZ),sin(k·)=sin(2n+)=sin,cos(k·)=cos(2n+)=cos．(2)當(dāng)k=4n+1時(shí)(nZ)sin(k·)=sin(2n++)=sin(+)=cos,cos(k·)=cos(2n++)=cos(+)=－sin.(3)當(dāng)n=4n+2時(shí),(nZ),sin(k·)=－sin,cos(k·)=－cos.(4)當(dāng)k=4n+3時(shí)(nZ)sin(k·)=－cos,cos(k·)=sin.Ⅲ、課內(nèi)練習(xí)一、選擇題1、下列等式中一定成立的是（）A、cos()=cosB、cos()=sinC、sin()=－cosD、sin()=－cos2、已知cos()=－,則（）A、cos=B、tan=C、sec=D、sin()=3、已知,tan()=,則sin+cos等于（）A、B、C、D、二、填空題4、已知sin=a，則cos()+cos()=___________5、已知cos=b，則cos()=_____________一、1、B2、D3、A二、4、05、－b2Ⅳ、總結(jié)提煉學(xué)完本節(jié)課，要熟記誘導(dǎo)公式，一定不要死記硬背，應(yīng)掌握記憶口訣，對(duì)于k·(k)的誘導(dǎo)公式口訣是：“奇余偶同，象限定號(hào)．”課后作業(yè)：預(yù)習(xí)下課時(shí)內(nèi)容

,和與差的正弦、余弦、正切（一）本課說(shuō)明：本小節(jié)首先通過(guò)勾股定理引入了平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式，用這一公式推出了余弦的和角公式．以此為基礎(chǔ)，又推出余弦的差角公式，正弦的和角、差角公式，以及正切的和角、差角公式，然后介紹了這些公式的初步應(yīng)用．學(xué)習(xí)目標(biāo)：1、掌握兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，能正確運(yùn)用這些公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)、求值與恒等式的證明．2、了解公式的推導(dǎo)思路，掌握平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式．學(xué)法指導(dǎo)：1、能靈活求寫角a的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)（cosa，sina），并結(jié)合平面幾何知識(shí)推證出公式：cos（a+b）=cosacosb－sinasinb；2、本節(jié)的中心公式是cos（a+b），然后對(duì)a、b作不同的特值代換可得其它公式，故靈活適當(dāng)?shù)馁x值法是學(xué)好本節(jié)內(nèi)容的基礎(chǔ)；3、湊角、遞用公式是本節(jié)要實(shí)現(xiàn)的技能之一，能否靈活的求解問(wèn)題，關(guān)鍵是合理的組合角a、b并選擇合理的公式進(jìn)行有效的正用或遞用；知識(shí)講解：Ⅰ、情境設(shè)置上一單元我們學(xué)習(xí)了同一個(gè)角的三角函數(shù)的性質(zhì)以及各三角函數(shù)之間相互關(guān)系，本節(jié)開始討論兩個(gè)角的三角函數(shù)，已知任意角a、b的三角函數(shù)值，如何求出a+b，a-b或2a的三角函數(shù)值，這一節(jié)課我們研究cos（a+b），cos（a－b）。Ⅱ、知識(shí)點(diǎn)探究【基礎(chǔ)知識(shí)】1、平面內(nèi)兩點(diǎn)間距離公式如圖1，已知坐標(biāo)平面內(nèi)的任意兩點(diǎn)P1(x1,y1),P2(x2,y2)，由勾股定理容易得出P1(x1,y1),P2(x2,y2)兩點(diǎn)間的距離公式．P1P2=2、兩角和與差的余弦公式如圖2，在直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)作單位圓O，并作出角與，使角的始邊為Ox，交⊙O于點(diǎn)P1，終邊交⊙O于點(diǎn)P2；角的始邊為OP2，終邊交⊙O于點(diǎn)P3，角的始邊為OP1，終邊交⊙O于點(diǎn)P4，這時(shí)點(diǎn)P1，P2，P3，P4的坐標(biāo)分別是P1(1,0),P2(cos,sin)，P3(cos(),sin()),P4(cos(－),sin(－))，由P1P3=P2P4及兩點(diǎn)間距離公式，得[cos()－1]2+sin2()=[cos(－)－cos]2+[sin(－)－sin]2.展開并整理，得2－2cos()=2－2(coscos－sinsin),所以cos()=coscos－sinsin.(C())這個(gè)公式對(duì)于任意的角、都成立．在公式C()中用－代替,就得到公式cos()=coscos+sinsin.'(C())3、兩角和與差的正弦、正切公式利用上面的公式容易得到如下公式：．(S()).(T())注：cos=coscos,簡(jiǎn)記為：C()sin=sincos,簡(jiǎn)記為：S()tan=,簡(jiǎn)記為：T;【應(yīng)用舉例】〖例1〗利用和（差）角公式求75°，15°的正弦、余弦、正切值．解：sin75°=sin(45°+30°)=sin45°cos30°+cos45°sin30°==cos75°=cos(90°－15°)=sin15°(同時(shí)求sin15°)=sin(45°－30°)(S與S右邊僅第二項(xiàng)異號(hào))=tan75°=,cos15°=cos(90°－75°)=sin75°=tan15°=.〖例2〗已知sin求sin,cos,tan．分析：觀察公式S，C和本題的已知條件，要計(jì)算sin,cos，應(yīng)先算出cos,sin．解：由sin得cos又由cos，得所以sin==,cos=由公式S可得sin()=,所以tan()=〖例3〗利用和角公式計(jì)算的值．解：因?yàn)閠an45=1,所以=．〖例4〗（1）求證證明：左邊===1－所以原式成立．'注：也可以把上面的推導(dǎo)過(guò)程反過(guò)來(lái)，從右邊推出左邊．（2）求證.證明：左邊=2(cos=2(sin所以原式成立．〖例5〗已知一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0且a≠c)的兩個(gè)根為tan,tan,求tan()的

值．解：由a≠0和一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，可知且a≠c，所以=Ⅲ、課內(nèi)練習(xí)一、選擇題1、在△ABC中，若sinA·sinB＜cosA·cosB則△ABC一定為（''）A、等邊三角形B、直角三角形C、銳角三角形D、鈍角三角形2、在△ABC中已知sin(A－B)cosB+cos(A－B)sinB≥1，則△ABC是（''）A、銳角三角形B、鈍角三角形C、直角三角形D、等邊三角形3、已知cot=2,tan()=,則tan的值是（''）A、B、C、D、4、已知，則的值等于（'''）A、4+B、C、D、二、填空題5、___________6、________7、_______________一、1、D2、C3、A4、A二、5、－cos6、7、Ⅳ、總結(jié)提煉：1、記準(zhǔn)公式．2、正確使用．課后作業(yè)：一、選擇題1、若在△ABC中滿足tanA·tanB＞1，則這個(gè)三角形一定是（）A、正三角形B、等腰直角三角形C、銳角三角形D、鈍角三角形2、若sin,則cos()的值為（）A、0B、1C、±1'D、－13、已知tan()=,tan()=,那么tan()等于（'）A、B、C、D、4、在△ABC中，cosA=且cosB=,則cosC等于（'）A、B、C、D、二、填空題5、°°－°°的值等于__________6、若0＜＜,0＜＜且tan=,tan,則+的值是________7、若＜＜，且tan=,tan()=－2，則____________一、1、C2、D3、C4、B二、5、6、兩角和與差的正弦、余弦、正切（二）本課說(shuō)明：本節(jié)課著重研究?jī)山呛团c差的正弦、余弦、正切公式在求值、化簡(jiǎn)和證明中的應(yīng)用；學(xué)習(xí)目標(biāo)：靈活使用兩角和與差的正弦、余弦、正切公式解題，靈活地使用兩角和與差的正弦、余弦和正切公式進(jìn)行三角函數(shù)的求值、化簡(jiǎn)和證明.知識(shí)點(diǎn)總結(jié)：1、2、對(duì)和差角的理解：等，考慮到公式的逆用，變形用，從而達(dá)到靈活運(yùn)用公式解題的目的．如知識(shí)講解：Ⅰ、知識(shí)點(diǎn)探究【應(yīng)用舉例】〖例1〗求解：原式=2()==說(shuō)明：在解題的過(guò)程中，可靈活變化常數(shù)，使之符合公式的特點(diǎn)，當(dāng)然也可考試到用進(jìn)行求值．〖例2〗已知銳角、滿足，求．解：∵、為銳角且∴=∴0＜＜，0＜＜得0＜＜又cos()＞0，∴為銳角∴說(shuō)明：在求角的過(guò)程中，要求值與判斷角的范圍相結(jié)合．〖例3〗若銳角、滿足，求sin．解：∵銳角滿足∴又∵銳角、滿足則0＜+＜∴sin(+)=sin==說(shuō)明：本題的解法主要要求觀察．要避免出現(xiàn)將展開，通過(guò)解方程求sin的情況．〖例4〗求的值．解：原式===說(shuō)明：本題的解法主要是注意到7°+8°=15°．例5〗已知（0＜＜求的值.解：又∵0＜＜∴0＜－＜,＜+＜則

=

.說(shuō)明：本題解題過(guò)程中，主要是注意到且〖例6〗已知，，求、解：==說(shuō)明：在解題過(guò)程中主要注意到，，這些關(guān)系?！祭?〗已知、是方程x2－3x－3=0的兩根，試求sin2(+)－3sin(+)cos(+)－3cos2(+)的值。選題意圖：考查同角三角函數(shù)基本關(guān)系式和兩角和與差的正切公式的應(yīng)用。解：由已知∴===說(shuō)明：利用兩角和的正切公式統(tǒng)一角，再用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系統(tǒng)一函數(shù)?！祭?〗已知、是方程的兩個(gè)實(shí)根且＜＜,

＜＜,求解：由已知得＜0，＜0∴＜＜0,＜＜0.∴又＜＜0∴=.說(shuō)明：求角要通過(guò)求值和判斷角的范圍相結(jié)合Ⅱ、總結(jié)提煉：在運(yùn)用兩角和與差的三角函數(shù)公式進(jìn)行三角恒等變形，即進(jìn)行求值、化簡(jiǎn)、證明時(shí)，主要有以下幾方面進(jìn)行靈活運(yùn)用：①角②名稱③公式的運(yùn)用④變形應(yīng)用公式．Ⅲ、課內(nèi)練習(xí)一、選擇題1、已知13sin+5cos=9,13cos+5sin=15,則sin(+)的值為（）A、B、C、D、2、cos=m,sin=n,,則cos(+)的值個(gè)數(shù)是（）A、1B、2C、3D、43、在△ABC中，角A和角B滿足關(guān)系式：1－cotAcotB＜0，那么△ABC是（）A、銳角三角形B、直角三角形C、鈍角三角形D、以上三種情況均有可能4、已知sin+sin+sin=0,cos+cos+cos=0．則cos(－)的值為（）A、B、C、－1D、15、若、，P=sin(+),Q=sin+sin,R=P+Q,則P、Q、R從大到小的排列為（）A、P＞Q＞RB、P＞R＞QC、R＞P＞QD、R＞Q＞P6、△ABC中，已知sinA=,則sin(A+B)的值為（）A、B、C、D、二、填空題7、_________.8、已知5sin=sin(2+),則tan(+)cot=_______．9、已知cos(+)=,cos(－)=,+,－,則cos2=_____,cos2=__________.10、已知cos，且＜＜,則sin=_________．三、解答題11、已知、且＞,cos(－)=,sin(+)=,求sin2的值．12、已知0＜＜,＜＜,且cos,求cos(+)的值．一、1、A2、B3、C4、A5、D6、D二、7、8、9、10、三、11、解：∵＜＜＜∴0＜－＜，＜+＜∴sin(－)=cos(+)=于是sin2=sin[(+)+(－)]=sin(+)cos(－)+cos(+)sin(－)=12、思路：研究角與角的關(guān)系，其和差關(guān)系是解：cos(+)=sin[+(+)]=sin[()]=sin()－cos()①∵＜＜∴－＜－＜－∴＜＜0,∵cos∴sin∴0＜＜，∴＜+＜．而sin(+)=,∴cos(+)=將以上數(shù)據(jù)代入①中，得cos(+)=.課后作業(yè)一選擇題：1．cos15°|cos225°|－sin315°|cos105°|的值是（）A、B、C、D、2．tan15°+tan45°+的值為（）A、B、C、D、3、若，是方程的兩根，且，為銳角，則

的值為（）A、B、C、D、4、若，，∈(0,),∈(0,),則有A、∈(0,)B、∈(，)C、∈(0,)D、=5、已知x、y滿足：x+y=且x，y≠(k∈Z),.則等于（）A、－2B、2C、－1D、1二、填空題7、已知，，則______8、已知，，且，均為銳角，則=______9、在△ABC中,若,則A+B=_________.10、若則的值為_______三解答題：11、求值：1、D2、A3、D4、B5、B6、A7、58、9、1011解：原式====2=2=二倍角的正弦、余弦、正切本課說(shuō)明：本節(jié)課首先運(yùn)用正弦、余弦、正切的和角公式，推導(dǎo)出它們對(duì)應(yīng)的倍角公式以及公式C2a的兩種變形，然后介紹了公式的簡(jiǎn)單應(yīng)用，再利用倍角公式推導(dǎo)出半角公式，并介紹了它的簡(jiǎn)單應(yīng)用，還介紹了一部分和差化積與積化和差公式.學(xué)習(xí)目標(biāo)：1、推導(dǎo)和掌握二倍角的正弦、余弦和正切公式．能夠利用二倍角的三角函數(shù)公式進(jìn)行三角函數(shù)的求值、化簡(jiǎn)和證明．2、了解半角公式的推導(dǎo)過(guò)程，了解和差化積與積化和差公式，能夠利用半角公式進(jìn)行三角函數(shù)的求值、化簡(jiǎn)和證明.學(xué)法指導(dǎo)：重新審視這組公式，真正理解兩角的和與差的公式中a、b的取值范圍是使公式有意義的一切實(shí)數(shù)，在公式中對(duì)a、b任意賦值，不會(huì)改變公式的成立，因此這組公式是從這組公式中一般化特殊而來(lái)的，使用的是化歸方法；知識(shí)講解：Ⅰ、情境設(shè)置我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，那么對(duì)于公式一方面要從推導(dǎo)上去理解它，另一方面要從公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)上去記憶，還要注意公式的正用、逆用和變用，今天我們學(xué)習(xí)二倍角的正弦、余弦、正切公式。Ⅱ、知識(shí)點(diǎn)探究【基礎(chǔ)知識(shí)】1．二倍角公式令和角公式中的，得二倍角的三角函數(shù)公式是：.，其中滿足【應(yīng)用舉例】〖例1〗求證sin3證明：右端=======左端說(shuō)明：與例1一樣還有類似的恒等式：〖例2〗求值sin10°·sin50°·sin70°．解法一：原式=cos20°cos40°cos80°===解法二：原式==說(shuō)明：可類似解法一證明恒等式：〖例3〗求證分析：運(yùn)用比例的基本性質(zhì)，可以發(fā)現(xiàn)原式等價(jià)于證明：原式等價(jià)于①函數(shù)的圖象（二）學(xué)習(xí)目標(biāo)：1、掌握函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性和周期性.2、掌握利用，A＞0,＞0圖象,確定A、、的方法.知識(shí)講解：Ⅰ、情境設(shè)置對(duì)于函數(shù)y=Asin（wx+j）來(lái)說(shuō)：五點(diǎn)法的基本程序是：首先分別令相位wxi+j=0，，然后在直角坐標(biāo)系下描出五個(gè)點(diǎn)（xi，f（xi））（i=1，2，3，4，5），然后用光滑的波形線連接即得一周期y=Asin（wx+j）的圖象；利用正弦曲線y=sinx通過(guò)變換手段做出y=Asin（wx+j）的主要程序是：這節(jié)課我們研究利用掌握利用，A＞0,＞0圖象,確定A、、的方法.Ⅱ、知識(shí)點(diǎn)探究1．（A＞0,＞0）與振動(dòng).在物理學(xué)中，（A＞0,＞0），其中x∈[0，∞)，表示簡(jiǎn)諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程

.這時(shí)參數(shù)A、、有如下物理意義.A稱為振幅，它表示振動(dòng)時(shí)物體離開平衡位置的最大距離.稱為周期，它表示振動(dòng)一次所需的時(shí)間（亦即函數(shù)y的最小正周期）.稱為振動(dòng)的頻率，它表示單位時(shí)間內(nèi)往復(fù)振動(dòng)的次數(shù).叫做相位，當(dāng)x=0時(shí)的相位，即稱為初相.【應(yīng)用舉例】【例1】設(shè)函數(shù)（A＞0,＞0），(1)取何值時(shí),f(x)是奇函數(shù).(2)取何值時(shí),f(x)是偶函數(shù).解：由已知f(x)的定義域?yàn)镽(1)f(x)為奇函數(shù)f(－x)=－f(x)f(x)+f(－x)=0+=0.(2)f(x)為偶函數(shù)f(x)=f(－x)f(x)－f(－x)=0－=0.說(shuō)明：可類似地考慮函數(shù)（A＞0,＞0）的奇偶性.【例2】如果函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則a的值為（）.A、B、－C、1D、－1解：=其中.由函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱知，函數(shù),在處取得最大值或最小值.∴即解得a=－1.答案：D說(shuō)明：過(guò)函數(shù)圖象最值點(diǎn)與y軸平行（或重合）的直線都是函數(shù)圖象的對(duì)稱軸.【例3】如圖所示函數(shù)圖象，求（||＜）的表示式.解：由圖象可知A=2,即∴又(,0)為五點(diǎn)作圖的第一個(gè)點(diǎn),因此2×()+=0,∴=,因此所求函數(shù)表示式為.說(shuō)明：在求的過(guò)程中，A由函數(shù)的最值確定，由函數(shù)的周期確定，可通過(guò)圖象的平移或“五點(diǎn)法”作圖的過(guò)程確定.【例4】函數(shù)（||＜）的圖象如圖，求函數(shù)的表達(dá)式.解：由函數(shù)圖象可知A=1，函數(shù)的周期為T=2[3－(－1)]=8,即,∴=,又(-1,1)為“五點(diǎn)法”作圖的第二個(gè)點(diǎn)，即∴.∴所求函數(shù)表示式為.說(shuō)明：如果利用點(diǎn)(－1,1),(1,0),(3,－1)在函數(shù)的圖象上,得到則很難確定函數(shù)關(guān)系式中的A、、.Ⅲ、課內(nèi)練習(xí)1．函數(shù)以2為最小正周期，且能在x=2時(shí)取得最大值，則j的一個(gè)值為（）

2．將奇函數(shù)y=f（x）（x∈R）的圖象c沿x軸正向平移1個(gè)單位長(zhǎng)度后，所得的圖象為c/，而圖象c/與c關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，那么c/的解析式應(yīng)為；3．函數(shù)f（x）=Msin（wx+j）（w>0）在區(qū)間[a，b]上是增函數(shù)，且f（a）=－M，f（b）=M，則函數(shù)g（x）=Mcos（wx+j）在區(qū)間[a，b]上（）A增函數(shù)B減函數(shù)C可以取得最大值MD可以取得最小值－M4．一根長(zhǎng)為lcm的線，一端固定，另一端懸掛一個(gè)小球，小球擺動(dòng)時(shí)，離開平衡位置的位移s（單位：cm）與時(shí)間t（單位：s）的函數(shù)關(guān)系是（1）求小球擺動(dòng)的周期；（2）已知g≈980cm/s2，要使小球擺動(dòng)的周期為1s，線的長(zhǎng)度l應(yīng)當(dāng)是多少（精確到0．1cm，p取3．14）？5．不畫圖，寫出下列函數(shù)的振幅、周期、初相，并說(shuō)明如何由正弦曲線得出它們的圖象。，x∈R；；1．C2．y=f（x+1）3．C4．5．（1）振幅1，周期T=

上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)壓縮為原來(lái)的倍（縱坐標(biāo)不變），得；（2）振幅2，周期T=12p，初相0，把y=sinx圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大為原來(lái)的6倍（縱坐標(biāo)不變）得，把圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)擴(kuò)大為原來(lái)的2倍（橫坐標(biāo)不變），得；總結(jié)提煉：通過(guò)三角函數(shù)變換，把函數(shù)轉(zhuǎn)化為的形式，然后再去解決函數(shù)的周期、最值，求單調(diào)區(qū)間等問(wèn)題，其中A由最值確定，由周期確定，由特殊點(diǎn)確定.課后作業(yè)：一、選擇題1、函數(shù)是（）.A、奇函數(shù)而不是偶函數(shù)B、偶函數(shù)而不是奇函數(shù)C、奇函數(shù)且是偶函數(shù)D、非奇非偶函數(shù)2、設(shè)條件甲為“是偶函數(shù)”，條件乙為“”，則甲是乙的（）.A、充分非必要條件B、必要非充分條件C、充分條件D、既不充分也不必要條件3、函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸方程是（）.A、B、C、D、4、如圖是函數(shù)的圖象的一段，它的解析式為（）.A、B、C、D、5、函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱的充要條件是（）.A、B、C、D、二、填空題6、函數(shù)的最小正周期為_______.7、函數(shù)的值域?yàn)開______.8、函數(shù)的最小值是_______.9、若函數(shù)（a＜0）的最小值為，最大值為，則a、b的值分別為_____.10、函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是____一、1、A2、B3、A4、D5、B二、6、7、[0，2)8、9、－1，10、

而①式左邊==右邊所以①式成立，原式得證．〖例4〗求證sin2.證明：說(shuō)明：也稱為萬(wàn)能公式，它可將三角函數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題．2．半角公式①降冪公式將變形得降冪公式②半角公式用代替上式中的,得半角公式,.由,得公式.【應(yīng)用舉例】〖例5〗求的值.解：說(shuō)明：使用半角公式求角，公式前的符號(hào)確定是由所在的象限來(lái)定，和使用平方關(guān)系求值是類似的.〖例6〗已知,且＜＜,求的值.解法一：由＜＜得＜＜∴解法二：由＜＜且得∴.說(shuō)明：半角的正切公式有三種形式供選擇，可以證明它們是恒等式.〖例7〗求證：(1);(2).證明：(1)右邊===左邊.∴原等式成立.(2)在第(1)小題中,令,則把的值代入,就有,所以.說(shuō)明：以上便是積化和差與和差化積公式，在書后練習(xí)中還有三組公式，都不要求記憶.Ⅲ、課內(nèi)練習(xí)：一、選擇題1、若sin+cos=,則tan+cot等于（）A、1B、2C、－1D、－22、cos的值等于（）A、B、C、2D、43、的值等于（）A、sin2B、－cos2C、cos2D、－cos24、sin6°cos24°sin78°cos48°的值為（）A、B、C、D、二、填空題5、log(tan15°+cot15°)=___________．6、若sin2=,則tan2+cot2的值等于_________.7、若sinsin+coscos=0,則sincos+sincos的值為________．8、若≤≤，則=__________一、1、B2、A3、D4、A二、5、－26、7、08、Ⅳ、總結(jié)提煉：1．二倍角的余弦公式有三種形式，在三角函數(shù)的求值、化簡(jiǎn)和證明過(guò)程中，要注意選擇，同時(shí)它的變形公式可以起到降冪的作用；1+cos2=2cos2,1－cos2=2sin2可以起到升冪作用．2．三角函數(shù)求值、化簡(jiǎn)和證明的出發(fā)點(diǎn)是統(tǒng)一角、統(tǒng)一函數(shù)和降低次數(shù)，應(yīng)該注意的問(wèn)題是確定符號(hào).課后作業(yè)一選擇題1、的值等于（）A、2B、3C、4D、62、下列等式中不正確的是（）A、B、C、D、3、如果＜＜,則的值等于()A、B、C、D、4、已知450°＜＜540°,則等于（）A、B、C、D、二、填空題5、的值等于________.6、已知＜＜,則_______.7、已知是方程7x2－8x+1=0的兩根，則_______.一、1、C2、D3、C4、A二、5、6、－37、－2或兩角和與差的三角函數(shù)習(xí)題課學(xué)習(xí)目標(biāo)：1、掌握兩角和與差及二倍角公式.2、靈活應(yīng)用這些公式進(jìn)行三角函數(shù)式的求值、化簡(jiǎn)與證明.情境設(shè)置：回答下列問(wèn)題：1、°=________.答案：2、已知，則=________.答案：3、=________.答案：4、=_______.答案：5、若則=_________.答案：6、若，則=______.答案：【應(yīng)用舉例】〖例1〗求值(1);(2).解：(1)原式====(2)原式====說(shuō)明：在三角函數(shù)關(guān)系式的變形過(guò)程中，要注意統(tǒng)一角、統(tǒng)一函數(shù)，要注意角與角之間的和、差、倍、半關(guān)系和特殊角之間的關(guān)系等.〖例2〗求證：分析：因式分解、配方、降冪.證明：左邊=====右邊.說(shuō)明：對(duì)于次數(shù)較高的三角函數(shù)式，主要采用降冪的方法進(jìn)行變形，公式有二倍角余弦公式變形，正弦公式的逆用等.〖例3〗已知方程(a＞1)的兩根分別為且

,求的值.解：根據(jù)韋達(dá)定理∴===說(shuō)明：解題的整個(gè)過(guò)程就是統(tǒng)一角，統(tǒng)一函數(shù)的過(guò)程.〖例4〗已知：＜x＜,求的值.分析：若對(duì)結(jié)論切化弦后再化簡(jiǎn)不難發(fā)現(xiàn)，只需求出和的值即可，注意到，就可以發(fā)現(xiàn)求解的途徑了.解：∵＜x＜,∴＜＜.又∵,∴＜＜.∴.又∵==原式====說(shuō)明：(1)本題也可由得,再將要求解的三角式化為用表示的形式;(2)本題解法中巧妙地利用了“角的變換”，使求解過(guò)程不致過(guò)于繁雜；(3)若不注意x的范圍,就會(huì)導(dǎo)致由求出而不知取舍.課內(nèi)練習(xí)：一選擇題：1、化簡(jiǎn)可得（）A、B、C、D、2、等于（）A、0B、C、1D、3、若，則f(－1)的值是（）A、－1B、C、D、14化簡(jiǎn)的結(jié)果為（）A、B、C、D、－5、的值是（）A、－B、C、D、－6、函數(shù)的值域?yàn)椋ǎ〢、[－1，1]B、C、D、7、已知，則的值為（）A、B、－C、D、－8、若＜0,則等于（）A、B、－C、D、－二、填空題9、已知：則=_______.10、已知：，則=________.11、化簡(jiǎn)=_________.12、已知：，則=________.一、1、D2、B3、A4、C5、B6、C7、A8、B二、9、110、211、112、

正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)（二）學(xué)習(xí)目標(biāo)：1、熟練掌握正、余弦函數(shù)的周期性概念，會(huì)求周期，初步掌握用定義證明y=f（x）的周期為T的一般格式；2、熟練掌握正、余弦函數(shù)奇、偶性和單調(diào)性，并能利用y=sinx,y=cosx的單調(diào)性，求較簡(jiǎn)單的三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并能利用三角函數(shù)的單調(diào)性比較兩個(gè)（或多個(gè)）函數(shù)值的大小.知識(shí)講解：Ⅰ、情境設(shè)置自然界里存在著許多周而復(fù)始的現(xiàn)象，如地球的自轉(zhuǎn)和公轉(zhuǎn)，物理學(xué)中的單擺運(yùn)動(dòng)和彈簧振動(dòng)、圓周運(yùn)動(dòng)等，數(shù)學(xué)里從正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義可以知道：角a的終邊每轉(zhuǎn)一周又會(huì)與原來(lái)的位置重合，故sina、cosa的值也具有周而復(fù)始的變化規(guī)律，為定量描述這種周而復(fù)始的變化規(guī)律，今天，我們學(xué)習(xí)函數(shù)的另一性質(zhì)—函數(shù)的周期性。Ⅱ、知識(shí)點(diǎn)探究1．周期性（1）周期函數(shù)的定義觀察上述正、余弦曲線我們知道：正、余弦函數(shù)值當(dāng)自變量增加或減少一定的值時(shí)，函數(shù)值就重復(fù)出現(xiàn)，象這樣：對(duì)于函數(shù)f（x），如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí)，都有f（x+T）=f（x），那么函數(shù)f（x）叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫做這個(gè)函數(shù)的周期。如2p,4p,?-2p,-4p?都是正、余弦函數(shù)的周期。注意：周期函數(shù)的定義中f（x+T）=f（x）有兩點(diǎn)須重視：一是T是常數(shù)且不為零；二是等式必須對(duì)定義域中的每一個(gè)值都成立；（2）最小正周期的定義我們知道：2p,4p,?-2p,-4p?都是正、余弦函數(shù)的周期，可以證明2kp（k≠0，k∈Z）是f（x）=sinx的周期，其中2p是f（x）=sinx的最小正周期。一般地，對(duì)于一個(gè)周期函數(shù)f（x），如果在它所有的周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小正數(shù)就叫做f（x）的最小正周期。注意：1、今后涉及的周期，不加說(shuō)明，指的都是最小正周期；2、依據(jù)定義，y=sinx，y=cosx的最小正周期都是2p?！緫?yīng)用舉例】【例1】求下列函數(shù)的周期：（1）y=3cosx，x∈R；（2）y=sin2x，x∈R；（3）；解：（1）因?yàn)橛嘞液瘮?shù)的周期是2p，所以自變量x只要并且至少要增加到x+2p，余弦函數(shù)的值才能重復(fù)取得，函數(shù)y=3cosx，x∈R的值也才能重復(fù)取得，從而函數(shù)y=3cosx，x∈R的周期是2p。即f（x）=3cosx=3cos（x+2p）=f（x+2p），∴T=2p（2）令g=2x，那么x∈R必須并且只需g∈R，且函數(shù)y=sing，g∈R的周期是2p，就是說(shuō)，變量g只要并且至少要增加到g+2p，函數(shù)y=sing，g∈R的值才能重復(fù)取得，而g+2p=2x+2p=2（x+p），所以自變量x只要并且至少要增加到x+p，函數(shù)值就能重復(fù)取得，從而函數(shù)y=sin2x，x∈R的周期是p。即f（x）=sin2x=sin（2x+2p）=sin2（x+p）（3）令g=，那么x∈R必須并且只需g∈R，且函數(shù)y=2sing，g∈R的周期是2p，由于g+2p=

+2p=，所以自變量x只要并且至少要增加到x+4p，函數(shù)值才能重復(fù)取得，即T=4p是

能使等式成立的最小正數(shù)，從而函數(shù)

的周期是4p。即注意：從上例可以看出，這些函數(shù)的周期僅與自變量x的系數(shù)有關(guān)，即設(shè)函數(shù)y=Asin（wx+j）x∈R及函數(shù)y=Acos（wx+j），x∈R（其中A，w，j為常數(shù)，且A≠0，w＞0），f（x）=Asin（wx+j）=Asin（wx+j+2p）=，∴T=，同理可求得y=Acos（wx+j），x∈R的周期T=．【例2】求證：（1）y=cos2x+sin2x的周期為p；（2）y=sin4x+cos4x的周期為；（3）y=|sinx|+|cosx|的周期為；證明：（1）∴y=cos2x+sin2x的周期為p；（2）∴y=sin4x+cos4x的周期為；（3）∴y=|sinx|+|cosx|的周期為；【及時(shí)反饋】（1）函數(shù)的最小正周期為（）A2pB4pCpD（2）的周期是；（3）求的最小正周期；（1）C；（2）；=1+cos（4x+），∴T=；（3）欲求的周期，一般是把三角函數(shù)f（x）化成易求周期的函數(shù)y=Asin（wx+j）+b，x∈R及函數(shù)y=Acos（wx+j）+b，x∈R的形式，然后用公式求最小正周期，而化簡(jiǎn)的一般思路是“多個(gè)化一個(gè)，高次化一次”，將所給函數(shù)化成簡(jiǎn)單函數(shù)。由=，∴T==p．

2．奇偶性觀察上面的正弦曲線、余弦曲線發(fā)現(xiàn)：正弦曲線y=sinx，x∈R的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，余弦曲線y=cosx，x∈R的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，容易證明：f（－x）=sin（－x）=－sinx=－f（x），∴f（x）=sinx，x∈R為奇函數(shù)；f（－x）=cos（－x）=cosx=f（x），∴f（x）=cosx，x∈R為偶函數(shù)。3．單調(diào)性（1）y=sinx,x∈R在],k∈Z上是增函數(shù)，在]k∈Z上是減函數(shù).（2）y=cosx,x∈R在],k∈Z上是增函數(shù)，在],k∈Z上是減函數(shù).【應(yīng)用舉例】【例3】比較sin1,sin2,sin3的大小.解：∵1＜＜2＜3＜又sin(－2)=sin2,sin(－3)=sin30＜－3＜1＜－2＜而y=sinx在(0,)上遞增.∴sin(－3)＜sin1＜sin(－2),即sin3＜sin1＜sin2.說(shuō)明：判斷三角函數(shù)值的大小，可先判斷三角函數(shù)值的正負(fù)，若三角函數(shù)值同號(hào)，可利用誘導(dǎo)公式轉(zhuǎn)化到同一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi)進(jìn)行比較.【例4】（1）函數(shù)y=sin(－2x+)的單調(diào)增區(qū)間；（2）求函數(shù)y=－cos2x+2的遞減區(qū)間；解：（1）∵y=sin(－2x+)=－sin(2x－)∴要求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，只要將2x－限制在正弦

函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間中，≤2x－≤，k∈Z.∴≤2x≤(k∈Z).∴≤x≤(k∈Z).∴函數(shù)的單調(diào)區(qū)間為[,](k∈Z).（2）y=－cos2x+2=當(dāng)≤2x≤，(k∈Z)即≤x≤，(k∈Z)時(shí),函數(shù)y=cos2x遞增.∴函數(shù)y=－cos2x+2的遞減區(qū)間為[,]，(k∈Z).說(shuō)明：要注意由－≤－2x+≤，k∈Z解出x的范圍是函數(shù)y=sin(－2x+)的遞減區(qū)間.【例5】已知求siny－cos2x的最大值.解：令W=siny－cos2x，則由得由siny∈[－1,1]知：≤sinx≤1.若令t=sinx,則≤t≤1),故當(dāng)t=時(shí)，.說(shuō)明：將二元問(wèn)題化為一元問(wèn)題后，還得注意隱含條件≤sinx≤1.Ⅲ、課內(nèi)練習(xí)一．選擇題1、在[－，]上既是增函數(shù)，又是奇函數(shù)的是（）A、B、C、D、2、在區(qū)間（0，）上，下列函數(shù)中為增函數(shù)是（）A、B、C、D、3、下列不等式中正確的是（）①sin1＜cos1②sin2＜cos2③sin4＜cos4④sin5＜cos5⑤A、①與②B、①與③C、①與④D、③與④二．填空題4、函數(shù)y=log2sinx的單調(diào)減區(qū)間是________.5、若f(x)=x2+bx+c對(duì)任意實(shí)數(shù)x都有f(1+x)=f(1－x),則f(cos1)與的大小關(guān)

系是________.6、函數(shù)的遞減區(qū)間是_______.一、1、A2、D3、D二、4、[，)，k∈Z5、f(cos1)＜6、[，]，k∈ZⅣ、總結(jié)提煉（1）三角函數(shù)特有的性質(zhì)是周期性，周期與最小正周期是不同概念，研究三角函數(shù)的周期時(shí)，如未特殊聲名，一般指最小正周期；（2）設(shè)y=f（x），x∈R，若T為y=f（x）的周期，則必有：（1）R為無(wú)限集；（2）x∈RTx+T?R；（3）f（x+T）=f（x）在R上恒成立；（3）只有y=Asin（wx+j）+b，x∈R及y=Acos（wx+j）+b，x∈R的形式，才能使用公式；（4）對(duì)于比較三角函數(shù)值的大小，總是利用誘導(dǎo)公式將三角函數(shù)化為同名函數(shù)的同一單調(diào)區(qū)間上進(jìn)行比較；（5）f（x）=Asin（wx+j），x∈R為奇函數(shù)的充要條件：j=kp，k?Z；f（x）=Acos（wx+j），x∈R為偶函數(shù)的充要條件：j=kp+，k∈Z；這里的A，w均為非零常數(shù)。（6）f（x）=Asin（wx+j），x∈R的對(duì)稱軸（即過(guò)圖象峰頂或峰谷垂直于x軸的直線）。課后作業(yè)：一．選擇題1．已知函數(shù)，則下列等式成立的是（）Af（2p－x）=fBf（2p+x）=fCf（－x）=－f（x）Df（－x）=f（x）2．函數(shù)y=x－sinx在上的最大值是（）ABCDp3、下列函數(shù)中，哪一個(gè)既是區(qū)間（0，）上的增函數(shù)，又是以為周期的偶函數(shù)（）A、y=|sinx|B、y=sin|x|C、y=cos2xD、y=lgsin2x4、函數(shù)y=sin(－2x)的單調(diào)減區(qū)間是（）A、[，]，k∈ZB、[，]，k∈ZC、[，]，k∈ZD、[]，k∈Z二．填空題1．函數(shù)y=sin2x的遞增區(qū)間是________.；2．函數(shù)y=sinx－cosx的遞減區(qū)間是________.；3．已知周期函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，6是f（x）的一個(gè)周期，而且f（－1）=1，則f（－5）=________；4．已知f（x）=ax+bsinx+1，若f（5）=7，則f（－5）=________；三．求下列函數(shù)的周期一．1．D2．Dy=x－sinx在上單調(diào)遞增，∴fmax（x）=f（p）=p；3．A4．D二．1、[，]，k∈Z2、[，]，k∈Z3、－1∵f（－5）=f（－5+6）=f（1）=－f（－1）=－14、－5令j（x）=ax+bsinx，則j（x）為奇函數(shù)，f（x）=j（x）+1，f（5）=7Tj（5）=6，∴j（－5）=－6，∴f（－5）=j（－5）+1=－6+1=－5三；

正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)（一）學(xué)習(xí)目標(biāo)：1、了解如何利用正弦線畫出正弦函數(shù)的圖象，并在此基礎(chǔ)上由誘導(dǎo)公式畫出余弦函數(shù)的圖象.2、用五點(diǎn)法畫正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的簡(jiǎn)圖，會(huì)用這一方法畫出與正弦函數(shù)、余弦函數(shù)有關(guān)的某些簡(jiǎn)單函數(shù)的簡(jiǎn)圖.3、掌握正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義域和值域，以及取得最大、最小值時(shí)的x值學(xué)法指導(dǎo)：1、閱讀教材，體會(huì)教材展開的基本手法：如由單位圓中的正弦線→[0,2p]中的一段正弦函數(shù)圖象→利用y=sinx，x∈[2kp,2(k+1)p),k∈Z，且k≠0的圖象與y=sinx，x∈[0,2p)的圖象完全一樣，只是位置不同→y=sinx，x∈R的圖象。簡(jiǎn)單說(shuō)，教材采用了從特殊到一般的手法，所以學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容，要多思考，多動(dòng)手操作，多從一個(gè)周期上考慮相關(guān)問(wèn)題，多去感受問(wèn)題的演變過(guò)程，這也是學(xué)好數(shù)學(xué)的常用方法；2、本章出現(xiàn)的一般函數(shù)總是要先化歸為：y=Asin（wx+j）+C→與y=Asinwx比較→與y=sinx比較，從而揭示一般函數(shù)的性質(zhì)。知識(shí)講解：Ⅰ、情境設(shè)置引進(jìn)弧度制以后，f（x）=sinx就可以看做是定義域?yàn)椋ǎ蓿?∞）的實(shí)變量函數(shù)，作為函數(shù)，通過(guò)前面的學(xué)習(xí)我們知道：要研究它的性質(zhì)，必須先研究它的圖象特征，本節(jié)課我們一起來(lái)學(xué)習(xí)做正、余弦函數(shù)圖象的方法。Ⅱ、知識(shí)點(diǎn)探究1、利用正弦線畫出正弦函數(shù)的圖象在精確度要求不太高時(shí)，常用五點(diǎn)法畫正弦函數(shù)的圖象.五點(diǎn)法做圖的實(shí)質(zhì)是選取函數(shù)的一個(gè)周期,將其四等分(即取得5個(gè)分點(diǎn)),分別找到函數(shù)圖象的最高點(diǎn),最低點(diǎn)及“平衡點(diǎn)”，因?yàn)檫@五個(gè)點(diǎn)大致確定了函數(shù)圖象的位置與形狀，因此就可以迅速地畫出函數(shù)的草圖了.由于所以余弦函數(shù)的圖象是將正弦函數(shù)圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到的.正弦函數(shù)的圖象,余弦函數(shù)的圖象分別叫正弦曲線、余弦曲線,如下圖2、正、余弦函數(shù)的定義域和值域y=sinxy=cosx定義域RR值域[－1，1][－1，1]最值當(dāng)(k∈Z),y最小=－1，當(dāng)(k∈Z),y最大=1當(dāng)(k∈Z),y最小=－1，當(dāng)(k∈Z),y最大=1【應(yīng)用舉例】【例1】用五點(diǎn)法作下列函數(shù)的圖象(1)x∈[0,](2)x∈[]解：(1)x02010－1021232描點(diǎn)作圖如圖(1)(2)02X10－101描點(diǎn)作圖如圖(2)【及時(shí)反饋】（1）說(shuō)出f（x）=sinx，x∈[0,2p]的單調(diào)區(qū)間；（2）說(shuō)出f（x）=－cosx，x∈[-p,p]的奇偶性；（1）由f（x）=sinx，x∈[0,2p]的圖象知：為其單調(diào)遞增區(qū)間，為其單調(diào)遞減區(qū)間；（2）由f（x）=－cosx，x∈[-p,p]的圖象知f（x）是偶函數(shù)；【例2】求下列函數(shù)的定義域(1)(2)解：(1)要使函數(shù)有意義,必須且只須解得：≤x＜,k∈Z因此函數(shù)的定義域是{x∈R|＜k∈Z｝(2)要使函數(shù)有意義，必須且只須解得：－3≤x＜0或0＜x≤3因此函數(shù)的定義域是[－3,0]∪(0,3)說(shuō)明：例1(1)中解不等式組可利用單位圓中的三角函數(shù)線,也可利用的圖象.【例3】求下列函數(shù)的最大值與最小值：(1)(2);(3),x∈[].解：(1)當(dāng)即(k∈Z)時(shí),取最大值1,從而.當(dāng)即(k∈Z)時(shí),取最小值－1,從而.(2)=∵,∴當(dāng)即(k∈Z)時(shí),y有最小值-9.當(dāng)sinx=1,即(k∈Z)時(shí),y有最大值1.(3)∵(借助單調(diào)性即得)從而當(dāng),即時(shí),;當(dāng),即時(shí),.【例4】求下列函數(shù)的值域.(1)(2)解：(1)由可得,∴∵≤1∴≤1即≤1.從而≥0∴y≤或y≥1故函數(shù)的值域?yàn)?－∞,∪[1,+∞)說(shuō)明：①上面解法的實(shí)質(zhì)是從已知關(guān)系式中,利用≤1消去x,從而求出y的范圍.②本題也可分離常數(shù)來(lái)做.=∵－1≤≤1且≠－∴－2≤2(2+1)≤6且2(2+1)≠0∴≥或≤－,故y≥1或y≤.(2)∵－1＜≤1∴－4＜y≤∴函數(shù)的值域?yàn)?－4,)Ⅲ、課內(nèi)練習(xí)1、要得到正弦曲線，只需將余弦曲線（）A、向右平移個(gè)單位B、向左平移個(gè)單位C、向右平移個(gè)單位D、向左平移個(gè)單位2、正弦曲線的圖象的一條對(duì)稱軸是（）A、y軸B、x軸C、直線x=D、直線x=3、的圖象與直線交點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（）A、0B、1C、2D、34、函數(shù)的最大值為（）A、1B、0C、2D、－15、函數(shù)的最小值是（）A、2B、C、D、不存在6、已知，函數(shù)的定義域是（）A、B、C、D、二、填空題7、要得出的圖象，只需將的圖象左右平移______.8、余弦函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸是________.9、不等式≥,的解集為_______.10、函數(shù)的定義域是_______.11、函數(shù)的值域?yàn)開______.12、函數(shù)的值域是______.一、1、A2、C3、C4、C5、C6、C二、7、個(gè)單位（*）8、9、10、{x|＜x＜或＜x＜，k∈Z}11、[0，2]12、[，+∞]Ⅳ、總結(jié)提煉①利用五點(diǎn)法作圖要牢記五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)的選取特點(diǎn)；②除利用五點(diǎn)法作圖外，還可以利用平移誘變法作圖，這在函數(shù)第一章學(xué)習(xí)平移作圖時(shí)就使用過(guò)，如：要做y=cosx，x∈R的圖象；因?yàn)閥=cosx=y=cos（－x）=，所以y=cosx，x∈R與y=sin是同一個(gè)函數(shù)，即余弦函數(shù)的圖象可以由正弦曲線向左平移個(gè)長(zhǎng)度單位角得到，余弦函數(shù)的圖象叫余弦曲線；③y=sinx，y=cosx的定義域均為R，值域均為[－1,1]，即正、余弦函數(shù)的有界

性：；④正、余弦圖象的優(yōu)點(diǎn)：正、負(fù)區(qū)間及零點(diǎn)，從圖上一目了然；單調(diào)區(qū)間也可以從圖上看出；課后作業(yè)：1．下列命題中正確的個(gè)數(shù)是（）（1）y=sinx的遞增區(qū)間是；（2）y=sinx在第一象限是增函數(shù)；（3）y=sinx在上是增函數(shù)；（4）y=sinx圖象關(guān)于中心對(duì)稱；A1B2C3D42．求下列函數(shù)的定義域（1）；3．畫出下列函數(shù)的簡(jiǎn)圖（1）y=1－sinx，x∈[0,2p]；（2）y=3cosx，x∈[0,2p]；（3），x∈[0,2p]；4．求下列函數(shù)的最大值、最小值，并分別求出此時(shí)的自變量x的集合？（1）y=－5sinx，x∈R；（2）；（3）；（4），x∈R

函數(shù)的圖象（一）學(xué)習(xí)目標(biāo)：1、掌握y=sinx→y=Asinx→y=Asinwx的做圖；2、掌握由y=sinx→y=sin（x+j）的變化過(guò)程，理解由y=sinx到y(tǒng)=Asin（wx+j）的變換步驟；3、利用平移、伸縮變換方法，做函數(shù)y=Asin（wx+j）圖象；學(xué)法指導(dǎo)：1、復(fù)習(xí)函數(shù)的基本做圖法（1）平移變換：水平平移：y=f（x）→y=f（x±a）；上下平移：y=f（x）→y=f（x）±b；（2）對(duì)稱變換：①y=f（x）與y=f（－x）關(guān)于y軸對(duì)稱；②y=f（x）與y=－f（x）關(guān)于x軸對(duì)稱；③y=f（x）與y=－f（－x）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；④y=f（x）與y=f-1（x）關(guān)于y=x對(duì)稱；⑤y=|f（x）|是把y=f（x）在x軸下方圖象關(guān)于x軸對(duì)稱，y=f（x）在x軸上方的圖象保

持不變；⑥y=f（|x|）是把y=f（x）的圖象位于y軸左側(cè)的部分舍去，保留不在y軸左側(cè)部分及該

部分關(guān)于y軸的對(duì)稱圖象；⑦y=f（x）具有性質(zhì)：y=f（x+m）=f（x－m），則y=f（x）關(guān)于x=m對(duì)稱；（3）伸縮變換：①y=af（x）（a＞0）是將y=f（x）圖象上每個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的a倍；②y=f（ax）（a＞0）是將y=f（x）圖象上每點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍；2、多做練習(xí)，來(lái)體會(huì)五點(diǎn)法、描點(diǎn)法及變換做圖的不同，注意書寫、做圖的規(guī)范性；知識(shí)講解：Ⅰ、情境設(shè)置函數(shù)（A、w、j是常數(shù)）廣泛應(yīng)用于物理和工程技術(shù)上，例如：物體作簡(jiǎn)諧振動(dòng)時(shí)，位移s與時(shí)間t的關(guān)系，交流電中電流強(qiáng)度I與時(shí)間t的關(guān)系等，都可用這類函數(shù)來(lái)表示，我們知道，圖象是函數(shù)的最直觀的模型，如何作出這類函數(shù)的圖象呢？這節(jié)課我們就研究這一內(nèi)容。Ⅱ、知識(shí)點(diǎn)探究1．函數(shù)y=Asinx與y=sinx的圖象的聯(lián)系【例1】畫出函數(shù)y=sin2x及y=sinx（x∈R）的簡(jiǎn)圖解：函數(shù)y=sin2x及y=sinx（x∈R）的周期均為2p，我們先作[0,2p]上簡(jiǎn)圖，列表并描點(diǎn)作圖。x0p2psinx010－102sinx020－20sinx00－0利用這兩個(gè)函數(shù)的周期性，可以把它們?cè)赱0,2p]上的簡(jiǎn)圖向左、右分別擴(kuò)展，從而得到它們的簡(jiǎn)圖?？梢钥吹剑簓=sin2x的圖象可以看做是把y=sinx的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍（橫坐標(biāo)不變）而得到的，y=sin2x,x∈R的值域是[-2,2]，最大值是2，最小值是－2；y=sinx的圖象可以看做是把y=sinx的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍（橫坐標(biāo)不變）而得到的，y=sinx,x∈R的值域是，最大值是，最小值是－。結(jié)論：函數(shù)(A＞0且A≠1)的圖象，可以看作是y=sinx圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)都伸長(zhǎng)（A＞1）或縮短（0＜A＜1）到原來(lái)的A倍（橫坐標(biāo)不變）而得到的.這種變換叫振幅變換,它實(shí)質(zhì)上是縱向的伸縮，的值域是[－A，A]；2、函數(shù)y=sinwx與y=sinx的圖象的聯(lián)系【例2】做函數(shù)y=sin2x及y=sin的簡(jiǎn)圖解：函數(shù)y=sin2x的周期T=p，因此我們做x∈[0,p]時(shí)函數(shù)的簡(jiǎn)圖，列表：x0p2x0p2pSin2x010－10函數(shù)y=sin的周期，因此，做x∈[0,4p]的函數(shù)的簡(jiǎn)圖，列表：x0p2p3p4p2x0p2psin010－10描點(diǎn)做圖利用這兩個(gè)函數(shù)的周期性，可將上面的簡(jiǎn)圖向左、右擴(kuò)展，得出y=sin2x及y=sin的簡(jiǎn)圖?？梢钥吹剑簓=sin2x的圖象可以看做是把y=sinx的圖象上的所有的點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍（縱坐標(biāo)不變）而得到的；同樣y=sin的圖象可以看做把y=sinx的圖象上的所有的點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍而得到的。結(jié)論：函數(shù)(＞0且≠1)的圖象,可以看作是把y=sinx的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)都縮短(＞1)或伸長(zhǎng)(0＜＜1)到原來(lái)的倍(縱坐標(biāo)不變)而得到的.由y=sinx的圖象變換為的圖象,其周期由變?yōu)?這種變換叫做周期變換.它實(shí)質(zhì)上是橫向的伸縮.3．函數(shù)y=sin（x+j）與y=sinx的圖象的聯(lián)系【例3】函數(shù)的簡(jiǎn)圖解：從y=sinx的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到y(tǒng)=sin（），即y=cosx的圖象得到啟發(fā)，我們只要把正弦曲線上所有點(diǎn)向左平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度，就可以得到的圖象，如把正弦曲線上所有的點(diǎn)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，就可以得到的圖象。函數(shù)y=sinx，x∈[0,2p]；，；，；在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖：結(jié)論：函數(shù)(≠0)的圖象,可以看作是把y=sinx的圖象上各點(diǎn)向左(＞0)或向右(＜0)平移||個(gè)單位而得到的.這種由y=sinx的圖象變換為的圖象的變換,使相位由x變?yōu)?我們稱它為相位變換,它實(shí)質(zhì)上是一種左右平移變換.應(yīng)用振幅變換、周期變換、相位變換（左右平移變換）和上下平移變換可由y=sinx的圖象得到

+k的圖象.Ⅲ、課內(nèi)練習(xí)一．選擇題1、要得到的圖象，只需y=3sin2x的圖象（）A、向左平移個(gè)單位B、向右平移個(gè)單位C、向左平移個(gè)單位D、向右平移個(gè)單位2、函數(shù)的圖象可以看作是把函數(shù)的圖象（）A、向左平移個(gè)單位B、向右平移個(gè)單位C、向左平移個(gè)單位D、向右平移個(gè)單位3、要得到的圖象，只需y=sin(－2x)的圖象（）A、向左平移個(gè)單位B、向右平移個(gè)單位C、向左平移個(gè)單位D、向右平移個(gè)單位4、下列命題中正確的是（）A、將y=cosx的圖象向右平移個(gè)單位，得到y(tǒng)=sinx的圖象B、將y=sinx的圖象向右平移2個(gè)單位，得到y(tǒng)=sin(x+2)的圖象C、將y=sin(－x)的圖象向左平移2個(gè)單位，得到y(tǒng)=sin(－x+2)的圖象D、函數(shù)的圖象是由y=sin2x的圖象向左平移個(gè)單位而得到的5、要得到的圖象，可將y=sinx的圖象（）A、各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，再向左平移個(gè)單位B、各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的倍，再向左平移個(gè)單位C、向左平移個(gè)單位，再將圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍D、向左平移個(gè)單位，再將圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍6、要得到的圖象，只須將的圖象（）A、向左平移個(gè)單位B、向右邊平移個(gè)單位C、向左平移個(gè)單位D、向右平移個(gè)單位二．填空題7、將函數(shù)y=sinx的圖象作關(guān)于y軸的對(duì)稱圖象，再將所得圖象向左平移個(gè)單位，所得圖象的函數(shù)解析式是_______.8、將函數(shù)y=cosx的圖象向右平移個(gè)單位，再將所得圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的二倍，則所得圖象的函數(shù)解析式為________.9、將函數(shù)y=cosx的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的二倍，再將得到函數(shù)圖象向右平移個(gè)單位，所得圖象的函數(shù)解析式為________.10、先將y=sinx的圖象向右平移個(gè)單位，再變化各點(diǎn)的橫坐標(biāo)（縱坐標(biāo)不變），得到最小正周期為的函數(shù)（其中＞0）的圖象，則=_____,=_______.11、函數(shù)的最小正周期為_______.12、函數(shù)的最小正周期為________.一、1、C