2.1概述(ɡàishù)科學的數學化是當代科學開展(kāizhǎn)的一個主要趨勢。數學模型〔mathematicalmodel〕是數學理論與實際問題相結合的一門科學。為解決各種復雜的實際問題，建立數學模型是一種十分有效并廣泛使用的工具或手段。第一頁，共101頁。1彈簧(tánhuáng)特性曲線第二頁，共101頁。22.1.1數學模型的定義(dìngyì)“數學模型是關于局部現(xiàn)實世界和為一種特殊目的(mùdì)而作的一個抽象的、簡化的結構。〞具體來說，數學模型就是為了某種目的(mùdì)，用字母、數字及其它數學符號建立起來的等式或不等式以及圖表、圖像、框圖等描述客觀事物的特征及其內在聯(lián)系的數學結構表達式。第三頁，共101頁。3車身與車輪(chēlún)兩個自由度振動系統(tǒng)模型及其運動方程第四頁，共101頁。42.1.2系統(tǒng)(xìtǒng)類型1.連續(xù)(liánxù)或離散系統(tǒng)連續(xù)系統(tǒng)(xìtǒng)--RLC串聯(lián)電路第五頁，共101頁。5離散系統(tǒng)第六頁，共101頁。62.1.2系統(tǒng)(xìtǒng)類型2.線性或非線性系統(tǒng)(xìtǒng)非線性系統(tǒng)(xìtǒng)用非線性微分方程表示線性定常系統(tǒng)(xìtǒng)線性時變系統(tǒng)

第七頁，共101頁。72.1.2系統(tǒng)(xìtǒng)類型3.集中參數(cānshù)或分布參數(cānshù)系統(tǒng)可以用有限個變量描述的系統(tǒng)，稱為集中參數(cānshù)系統(tǒng)或集總參數(cānshù)系統(tǒng)。狀態(tài)變化不能只用有限個參數(cānshù)而必須用場〔一維或多維空間變量的函數〕來描述的系統(tǒng)，稱為分布參數(cānshù)系統(tǒng)。第八頁，共101頁。8分布參數系統(tǒng)問題--風洞試驗研究(yánjiū)機翼顫振第九頁，共101頁。92.1.2系統(tǒng)(xìtǒng)類型4.確定或隨機系統(tǒng)確定系統(tǒng)指用確定性的數學模型來描述，輸出和輸入變量(biànliàng)之間有完全確定的函數關系。隨機系統(tǒng)那么由于系統(tǒng)內部或環(huán)境發(fā)生不確定的變動，影響輸出變量(biànliàng)。第十頁，共101頁。102.1.2系統(tǒng)(xìtǒng)類型5.單變量或多變量系統(tǒng)單變量系統(tǒng)，是指只有(zhǐyǒu)一個輸入量和一個輸出量的系統(tǒng)。例：壓力或流量調節(jié)系統(tǒng)天線的隨動系統(tǒng)坦克的火炮穩(wěn)定裝置第十一頁，共101頁。11具有多個(duōɡè)輸入量或輸出量的系統(tǒng)，稱多變量系統(tǒng)汽輪機的蒸汽壓力和轉速(zhuànsù)控制第十二頁，共101頁。12渦輪螺旋槳發(fā)動機轉速(zhuànsù)和渦輪進氣溫度的控制第十三頁，共101頁。132.1.3建模要求(yāoqiú)1.真實完整2.簡明(jiǎnmíng)實用3.適應變化第十四頁，共101頁。142.2數學模型

現(xiàn)實問題

數學問題

建立數學模型各種分析方法和計算機工具

對系統(tǒng)進行分析、綜合和仿真第十五頁，共101頁。152.2.1數學模型的作用(zuòyòng)首先(shǒuxiān)幫助人們加深對客現(xiàn)世界的認識其次提高人們的決策和對客現(xiàn)世界的干預能力數學模型的作用(zuòyòng)第十六頁，共101頁。16根據建模目標建立(jiànlì)真實世界系統(tǒng)第十七頁，共101頁。172.2.2集合(jíhé)、抽象與數學模型真實世界的現(xiàn)象(xiànxiàng)數學模型相互關系如何(rúhé)建立抽象

第十八頁，共101頁。18集合的概念是建立在抽象根底上的，集合的運算允許我們不必詳細說明細節(jié)而去處理抽象后的關系。有限集合：如無限(wúxiàn)集合：如整數集合，第十九頁，共101頁。19現(xiàn)象(xiànxiàng)抽象(chōuxiàng)集合(jíhé)輸入輸出狀態(tài)變量復合集合結構

定義函數關系理論構造具體化第二十頁，共101頁。202.2.3數學模型的形式化表示(biǎoshì)方式一個系統(tǒng)可以被定義成下面的七元集合結構T為時間(shíjiān)基；X為輸入集；為輸入段集；Q為內部狀態(tài)集；Y為輸出集；δ為狀態(tài)轉移函數；λ為輸出函數。

第二十一頁，共101頁。21(1)時間(shíjiān)基：T是描述時間(shíjiān)和為事件排序的一個集合。第二十二頁，共101頁。22(2)輸入(shūrù)集：X代表系統(tǒng)界面的一局部，外部環(huán)境通過它作用于系統(tǒng)。外部環(huán)境信息流和物質(wùzhì)流系統(tǒng)(xìtǒng)第二十三頁，共101頁。23(3)輸入段集：一個輸入段描述某時間間隔內系統(tǒng)的輸入模式。是時間基中從初始(chūshǐ)時刻到終止時刻的一個區(qū)間，所有上述輸入片段所構成的集合都記作〔X,T〕，輸入段集是(X,T)的一個子集。第二十四頁，共101頁。24(4)內部狀態(tài)集：表示系統(tǒng)(xìtǒng)的記憶，即過去歷史的遺留物，它影響著現(xiàn)在和將來的響應。是內部結構建模的核心。例X為狀態(tài)集，是系統(tǒng)(xìtǒng)建模的核心。第二十五頁，共101頁。25(5)狀態(tài)轉移矩陣：狀態(tài)轉移矩陣函數(hánshù)是一個映射狀態(tài)(zhuàngtài)q時刻(shíkè)系統(tǒng)狀態(tài)輸入集

施加輸入集狀態(tài)q‘時刻系統(tǒng)狀態(tài)第二十六頁，共101頁。26(6)輸出集：除方向不同外，輸出集的含義和輸入集的完全相同。(7)輸出函數：輸入函數使假想的系統(tǒng)內部(nèibù)狀態(tài)與系統(tǒng)對其環(huán)境的影響相關聯(lián)?；虻诙唔?，共101頁。272.2.4模型(móxíng)的有效性與建模形式化實際系統(tǒng)(xìtǒng)數據模型產生(chǎnshēng)的數據二者的符合程度度量模型的有效性

三個不同級別的模型有效：復制有效、預測有效和結構有效

第二十八頁，共101頁。28(1)行為(xíngwéi)水平人們在這個水平上描述系統(tǒng)，是將它看成一個黑盒，并且對它施加一個輸入信號，然后對它的輸出信號進行(jìnxíng)測量與記錄。第二十九頁，共101頁。29(2)狀態(tài)(zhuàngtài)結構水平人們在這個水平上描述系統(tǒng)，建模者對實際系統(tǒng)的內部工作情況(qíngkuàng)了解清楚，且掌握了實際系統(tǒng)的內部狀態(tài)及其總體結構。第三十頁，共101頁。30(3)分解(fēnjiě)結構水平把實際系統(tǒng)描述為由許多(xǔduō)子系統(tǒng)相互連接起來而構成的一個整體。第三十一頁，共101頁。312.3數學(shùxué)建模的根本方法第三十二頁，共101頁。322.3.1建模過程(guòchéng)的信息源真實世界中的物體(wùtǐ)或與此有關的信息加工(jiāgōng)處理模型描述數學建模的信息源第三十三頁，共101頁。33(1)目標和目的(mùdì)(2)先驗知識牛頓說過：“假設我看得遠，那是因為我站在巨人的肩上〞。(3)實驗數據第三十四頁，共101頁。342.3.2建模途徑(tújìng)(1)演繹法：從一般到特殊(2)歸納法：從特殊到一般(3)目標法：直接指向(zhǐxiànɡ)建模的特定目標單純采用上述方法很難獲得有效的結果，所以通常是綜合采用之。第三十五頁，共101頁。352.3.3模型(móxíng)可信度可信度一方面取決于模型的種類，另一方面又取決于模型的構造過程(guòchéng)。1)在行為水平上的可信度2)在狀態(tài)結構水平上的可信度3)在分解結構水平上的可信度第三十六頁，共101頁。362.3.4建模過程(guòchéng)第三十七頁，共101頁。372.3.5建模的邏輯思維(luójísīwéi)方法(1)分析(fēnxī)綜合能力；(2)抽象概括能力；(3)想象洞察能力；(4)運用數學工具的能力；(5)通過實踐驗證數學模型的能力。第三十八頁，共101頁。382.3.5建模的邏輯思維(luójísīwéi)方法建立數學模型是一種(yīzhǒnɡ)積極的思維活動，從認識論角度看，它是一種(yīzhǒnɡ)極為復雜且應變能力很強的心理現(xiàn)象。第三十九頁，共101頁。39幾種邏輯思維(luójísīwéi)方法抽象:從眾多(zhòngduō)的事物中抽取出共同的、本質性的特征，而舍棄其非本質的特征。抽象(chōuxiàng)出共同特征：水果第四十頁，共101頁。40歸納：從特殊的具體的認識推進(tuījìn)到一般的抽象認識的一種思維方式。多面體的面數F、頂點數V和棱數E之間有什么(shénme)關系呢？第四十一頁，共101頁。41分析這些特例(tèlì)數據的根底上就可歸納出一個結論：第四十二頁，共101頁。42演繹：由一般性的命題(mìngtí)推出特殊命題(mìngtí)的推理方法。十角形確定(quèdìng)它有多少條對角線？第四十三頁，共101頁。43一般(yībān)原理本例，n=10，n-角數，L-對角線數第四十四頁，共101頁。44類比：由兩個對象(duìxiàng)的某些相同或相似的性質，推斷它們在其它性質上也有可能相同或相似的一種推理形式。例：汽車(qìchē)懸架系統(tǒng)力學(lìxué)類比第四十五頁，共101頁。45汽車(qìchē)懸架系統(tǒng)質量-彈簧-減振器二階線性微分方程RLC串聯(lián)(chuànlián)電路的數學模型為第四十六頁，共101頁。46RLC并聯(lián)電路的數學模型比較(bǐjiào)上述三式，不難得到所示的類比關系汽車懸掛系統(tǒng)可以采用電路類比模型，改變電路中元件數值來預測汽車的性能，從而為汽車的設計提供依據。第四十七頁，共101頁。47移植：將某個學科、領域中的原理、技術、方法等，應用或滲透到其它學科、領域中，為解決某一問題提供啟迪、幫助(bāngzhù)的創(chuàng)新思維方法。手術拉鏈代替(dàitì)線縫合第四十八頁，共101頁。48材料移植(yízhí)：玻璃纖維取代鋼來制造坦克的外殼第四十九頁，共101頁。492.4數學模型常用(chánɡyònɡ)的表述形式差分方程的模型形式(xíngshì)差分方程是在離散時段上描述現(xiàn)實世界中變化過程的數學模型。k階差分(chàfēn)(k為正整數)定義為第五十頁，共101頁。50微分方程的模型(móxíng)形式普通(pǔtōng)n階線性微分方程式可寫為：RLC串聯(lián)電路(diànlù)微分方程第五十一頁，共101頁。51偏微分方程的模型(móxíng)形式為得到(dédào)更精確的描述采用偏微分方程專業(yè)數值(shùzí)分析軟件包FEMAB，以偏微分方程(PDEs〕為根底，來建立模型并且解決科學及工程問題。第五十二頁，共101頁。522.5工程(gōngchéng)系統(tǒng)常用的數學模型工程上常用(chánɡyònɡ)的數學模型可分為連續(xù)系統(tǒng)的數學模型和離散系統(tǒng)的數學模型。第五十三頁，共101頁。532.5.1連續(xù)(liánxù)系統(tǒng)連續(xù)系統(tǒng)的數學模型通?？捎脦追N形式(xíngshì)表示：微分方程傳遞函數狀態(tài)空間表達式線性結構圖非線性結構圖第五十四頁，共101頁。54微分方程(wēifēnfānɡchénɡ)一個連續(xù)系統(tǒng)可以表示(biǎoshì)為高階微分方程，即連續(xù)系統(tǒng)本來就是和時間聯(lián)系在一起的，因此微分方程及其時域解是最根本的描述方式。第五十五頁，共101頁。55傳遞函數單輸入-單輸出線性定常系統(tǒng)(xìtǒng)的傳遞函數定義為系統(tǒng)(xìtǒng)松弛〔初始條件為零的系統(tǒng)(xìtǒng)稱初始松弛系統(tǒng)(xìtǒng)〕時，輸出量的拉普拉斯變換與輸入量的拉普拉斯變換之比。第五十六頁，共101頁。56狀態(tài)(zhuàngtài)空間表達式狀態(tài)(zhuàngtài)空間表達式由狀態(tài)(zhuàngtài)方程和輸出方程組成第五十七頁，共101頁。57權函數〔脈沖過渡(guòdù)函數〕一個零初始條件的連續(xù)系統(tǒng)，受到一個狄拉克函數的作用后，其響應(xiǎngyìng)就稱為系統(tǒng)的權函數或稱脈沖過渡函數。狄拉克函數(hánshù)第五十八頁，共101頁。58線性結構圖表示(biǎoshì)線性結構圖組合彈性(tánxìng)系統(tǒng)線性結構圖第五十九頁，共101頁。59非線性結構圖表示(biǎoshì)在一個(yīɡè)線性系統(tǒng)中參加了假設干個非線性環(huán)節(jié)，就構成了非線性結構圖。死區(qū)-滯環(huán)-開關(kāiguān)非線性系統(tǒng)第六十頁，共101頁。602.5.2離散系統(tǒng)離散系統(tǒng)常用的數學模型有差分方程、z傳遞函數、離散狀態(tài)(zhuàngtài)空間表達式、線性結構圖和非線性結構圖。第六十一頁，共101頁。61差分(chàfēn)方程差分方程(fāngchéng)的一般表達式為第六十二頁，共101頁。62z傳遞函數〔簡稱(jiǎnchēng)z函數〕對差分方程進行(jìnxíng)z變換，得G(z)稱為系統(tǒng)(xìtǒng)的z函數。第六十三頁，共101頁。63離散狀態(tài)(zhuàngtài)空間表達式第六十四頁，共101頁。64權序列(xùliè)一個(yīɡè)零初始條件的離散系統(tǒng)，當它受到一個(yīɡè)δ函數的作用后，其響應稱為權序列δ函數(hánshù)第六十五頁，共101頁。65線性結構圖表示(biǎoshì)SISO離散(lísàn)閉環(huán)系統(tǒng)第六十六頁，共101頁。66非線性結構圖表示(biǎoshì)帶有滯后(zhìhòu)的調節(jié)過程第六十七頁，共101頁。672.6數學模型之間的轉換(zhuǎnhuàn)化連續(xù)(liánxù)狀態(tài)方程為離散狀態(tài)方程連續(xù)(liánxù)系統(tǒng)方程為其離散狀態(tài)表達式為第六十八頁，共101頁。682.6.2化離散(lísàn)狀態(tài)方程為連續(xù)狀態(tài)方程設系統(tǒng)的離散(lísàn)模型為相應(xiāngyīng)的連續(xù)模型為第六十九頁，共101頁。692.6.3化微分方程(wēifēnfānɡchénɡ)為狀態(tài)方程(1)當系統(tǒng)輸入量中不含有(hányǒu)導數項，即轉化(zhuǎnhuà)為其中第七十頁，共101頁。70狀態(tài)空間(kōngjiān)表達式可寫作狀態(tài)空間(kōngjiān)表達式可寫作第七十一頁，共101頁。712.6.4化狀態(tài)方程為傳遞函數設系統(tǒng)(xìtǒng)的狀態(tài)空間表達式為相應(xiāngyīng)的傳遞函數矩陣為第七十二頁，共101頁。722.6.5化傳遞函數為狀態(tài)方程閉環(huán)系統(tǒng)(xìtǒng)閉環(huán)系統(tǒng)(xìtǒng)傳遞函數方框圖對應(duìyìng)的狀態(tài)方程第七十三頁，共101頁。732.6.6化結構圖為狀態(tài)方程(1)積分環(huán)節(jié)(2)慣性(guànxìng)環(huán)節(jié)(3)二階振蕩環(huán)節(jié)其對應的狀態(tài)(zhuàngtài)空間方程為它對應的狀態(tài)(zhuàngtài)空間方程為它對應的狀態(tài)空間方程為第七十四頁，共101頁。742.6.7化結構圖為傳遞函數系統(tǒng)(xìtǒng)結構圖其傳遞函數可按梅遜定理(dìnglǐ)表示為第七十五頁，共101頁。752.6.8化傳遞函數(hánshù)為z函數(hánshù)傳遞函數(hánshù)和函數(hánshù)的對應關系例：得第七十六頁，共101頁。762.6.9化z函數(hánshù)為傳遞函數(hánshù)Z函數(hánshù)Z函數(hánshù)與傳遞函數(hánshù)的關系得傳遞函數第七十七頁，共101頁。772.7復雜(fùzá)系統(tǒng)建模的幾種方法客觀事物中有許多復雜系統(tǒng)，它包含非線性、時變性、不確定性、不穩(wěn)定性、模糊性、難于預測的涌現(xiàn)(yǒngxiàn)性等。這種復雜系統(tǒng)在根底科學、應用科學和技術、工程建設、社會、經濟和軍事領域大量存在，一般不易直接求解，這也是當前建模與仿真技術中的一個前沿方向。第七十八頁，共101頁。782.7.1圖解(tújiě)建模法圖解建模法是一種采用點和線組成的、用以描述系統(tǒng)的圖形或稱圖的建模方法。圖解建模法是一種非常有用的建模方法。人們可從中獲得變量之間關系的總體(zǒngtǐ)圖像，并憑借直覺推導出結果。它主要用于變量不多〔2~3個〕，而信息也不充分的條件下分析變量之間的定性關系。具體作用有兩方面：①平衡點分析；②穩(wěn)定性分析。第七十九頁，共101頁。79〔一〕平衡點分析(fēnxī)例1蛛網模型在自由競爭的市場經濟中，商品的價格是由供求雙方(shuāngfāng)決定的。假定商品的供給量S是價格p的函數，由p唯一決定，即有S=f(p)。商品的需求量D也是價格p的函數，由p唯一決定，即有D=g〔p〕。一般(yībān)第八十頁，共101頁。80商品數量和價格(jiàgé)將按A-B-C-E方向趨向點M。點M是穩(wěn)定平衡點。需求曲線(qūxiàn)D與供給曲線(qūxiàn)F 商品(shāngpǐn)的數量和價格將按A-B-C-E方向遠離點M，點M是不穩(wěn)定平衡點。穩(wěn)定與否取決于點M附近曲線斜率第八十一頁，共101頁。81城市公交線路網絡圖的最短路徑與乘車(chénɡchē)路線問題第八十二頁，共101頁。82第八十三頁，共101頁。83城市(chéngshì)公交線路網絡圖的最短路徑與乘車路線問題八條公交路線第八十四頁，共101頁。84將一個城市的所有公交站點和公交線路轉化為以下元素(yuánsù)為0、1的數表：第八十五頁，共101頁。851)對應(duìyìng)于單目的地的最短乘車路線假設(jiǎshè)我們要找乘車路線：第八十六頁，共101頁。86第八十七頁，共101頁。872)對應(duìyìng)于多目的地的最短乘車路線乘車任務：目的地是一個(yīɡè)站點集合，沒有先后次序，五個站點的距離(jùlí)矩陣第八十八頁，共101頁。88對應(duìyìng)的無向網絡圖容易看出，乘車(chénɡchē)路線最短

第八十九頁，共101頁。89城市(chéngshì)公交線路網絡示意圖第九十頁，共101頁。902.7.2