6.2.3向量的數(shù)乘運(yùn)算高一必修二本節(jié)目標(biāo)1.了解向量數(shù)乘的概念并理解數(shù)乘運(yùn)算的幾何意義．2.理解并掌握向量數(shù)乘的運(yùn)算律，會(huì)進(jìn)行向量的數(shù)乘運(yùn)算．3.理解并掌握兩向量共線(xiàn)的性質(zhì)和判斷方法，并能熟練地運(yùn)用這些知識(shí)處理有關(guān)向量共線(xiàn)問(wèn)題．課前預(yù)習(xí)(1)向量數(shù)乘的定義及其幾何意義是什么？(2)向量數(shù)乘運(yùn)算滿(mǎn)足哪三條運(yùn)算律？(3)向量共線(xiàn)定理是怎樣表述的？(4)向量的線(xiàn)性運(yùn)算是指的哪三種運(yùn)算？預(yù)習(xí)課本P13～16，思考并完成以下問(wèn)題課前小測(cè)1．若|a|＝1，|b|＝2，且a與b方向相同，則下列關(guān)系式正確的是(

)A．b＝2aB．b＝－2aC．a(chǎn)＝2bD．a(chǎn)＝－2bA

ABC

D3．化簡(jiǎn)：2(3a＋4b)－8a＝___________.2(3a＋4b)－8a＝6a＋8b－8a＝－2a＋8b－2a＋8b

2新知探究1．向量的數(shù)乘運(yùn)算它的長(zhǎng)度與方向規(guī)定如下：①|(zhì)λa|＝________；②當(dāng)λ＞0時(shí)，λa的方向與a的方向_________；

當(dāng)λ＜0時(shí)，λa的方向與a的方向_________．(1)定義規(guī)定實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個(gè)______，這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘，向量記作：_______，λa|λ||a|相同相反λ(a－b)＝__________.設(shè)λ，μ為任意實(shí)數(shù)，則有：①λ(μa)＝_________；②(λ＋μ)a＝_________；③λ(a＋b)＝_________；(2)運(yùn)算律(λμ)aλa＋μaλa＋λb特別地，有(－λ)a＝_________＝_______；λ(－a)－(λa)λa－λb向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱(chēng)為向量的線(xiàn)性運(yùn)算，向量線(xiàn)性運(yùn)算的結(jié)果_________．對(duì)于任意向量a，b，以及任意實(shí)數(shù)λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a＋μ2b)＝______________.(3)線(xiàn)性運(yùn)算仍是向量λμ1a±λμ2b2．共線(xiàn)向量定理向量a(a≠0)與b共線(xiàn)的充要條件是：存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使_________.b＝λa位于同一直線(xiàn)上的向量可以由位于這條直線(xiàn)上的一個(gè)非零向量表示.思考：定理中把“a≠0”去掉可以嗎？提示：定理中a≠0不能漏掉．若a＝b＝0，則實(shí)數(shù)λ可以是任意實(shí)數(shù)；若a＝0，b≠0，則不存在實(shí)數(shù)λ，使得b＝λa.?題型突破典例深度剖析重點(diǎn)多維探究題型一向量的線(xiàn)性運(yùn)算[例1]

(1)若3(x＋a)＋2(x－2a)－4(x－a＋b)＝0，則x＝________.x＝4b－3a3x＋3a＋2x－4a－4x＋4a－4b＝0x＋3a－4b＝04b－3a

(2)化簡(jiǎn)下列各式：③2(5a－4b＋c)－3(a－3b＋c)－7a.

原式＝18a＋3b－9a－3b＝9a.

原式＝10a－8b＋2c－3a＋9b－3c－7a＝b－c.②向量也可以通過(guò)列方程來(lái)解—把所求向量當(dāng)作未知數(shù)，利用解代數(shù)方程的方法求解．在運(yùn)算過(guò)程中要多注意觀察，恰當(dāng)運(yùn)用運(yùn)算律，簡(jiǎn)化運(yùn)算．向量數(shù)乘運(yùn)算的方法①向量的數(shù)乘運(yùn)算類(lèi)似于多項(xiàng)式的代數(shù)運(yùn)算，實(shí)數(shù)運(yùn)算中的去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類(lèi)項(xiàng)、提取公因式等變形手段在數(shù)與向量的乘積中同樣適用，但是這里的“同類(lèi)項(xiàng)”“公因式”指向量，實(shí)數(shù)看作是向量的系數(shù)．方法總結(jié)跟蹤訓(xùn)練

(2)已知向量為a，b，未知向量為x，y，向量a，b，x，y滿(mǎn)足關(guān)系式3x－2y＝a，－4x＋3y＝b，求向量x，y.所以x＝3a＋2b，y＝4a＋3b.3x－2y＝a－4x＋3y＝b①②由①×3＋②×2得，x＝3a＋2b，代入①得3×(3a＋2b)－2y＝a，所以y＝4a＋3b.題型二

向量共線(xiàn)定理1．如何證明向量a與b共線(xiàn)？提示：要證明向量a與b共線(xiàn)，只需證明存在實(shí)數(shù)λ，使得b＝λa(a≠0)即可，一般地，把a(bǔ)和b用相同的兩個(gè)向量m，n表示出來(lái)，觀察a與b具有倍數(shù)關(guān)系即可．探究問(wèn)題?題型二

向量共線(xiàn)定理探究問(wèn)題?2．如何證明A，B，C三點(diǎn)在同一直線(xiàn)上？

A，B，D三點(diǎn)共線(xiàn)思路探究！

思路探究！A，B，P三點(diǎn)共線(xiàn)

觀察x+y的值

多維探究

∴λ＝2，k＝－8.

∴2e1＋ke2＝λe1－4λe2.

變式3試?yán)帽纠?2)中的結(jié)論判斷下列三點(diǎn)是否共線(xiàn).

∵－2＋3＝1，∴P，A，B三點(diǎn)共線(xiàn)；

1．證明或判斷三點(diǎn)共線(xiàn)的方法

方法總結(jié)2．利用向量共線(xiàn)求參數(shù)的方法方法總結(jié)判斷、證明向量共線(xiàn)問(wèn)題的思路是根據(jù)向量共線(xiàn)定理尋求唯一的實(shí)數(shù)λ，使得a＝λb(b≠0)．已知向量共線(xiàn)求λ，常根據(jù)向量共線(xiàn)的條件轉(zhuǎn)化為相應(yīng)向量系數(shù)相等求解．若兩向量不共線(xiàn)，必有向量的系數(shù)為零，利用待定系數(shù)法建立方程，解方程從而求得λ的值．題型三

用已知向量表示未知向量

D

多維探究

ab

方法總結(jié)用已知向量表示其他向量的兩種方法(1)直接法．(2)方程法．當(dāng)直接表示比較困難時(shí)，可以首先利用三角形法則和平行四邊形法則建立關(guān)于所求向量和已知向量的等量關(guān)系，然后解關(guān)于所求向量的方程．跟蹤訓(xùn)練

隨堂檢測(cè)

××√×

b＝－a，∴a∥bb＝－2a，∴a∥ba＝4b，∴a∥ba與b不共線(xiàn)A3．設(shè)a，b是兩個(gè)不共線(xiàn)的向量．若向量ka＋2b與8a＋kb的方向相反，則k＝________.

(因?yàn)榉较蛳喾?，所以λ??k＜0)．因?yàn)橄蛄縦a＋2b與8a＋kb的方向相反，－4

本課小結(jié)1．實(shí)數(shù)與向量可以進(jìn)行數(shù)乘運(yùn)算，但不能進(jìn)行加減運(yùn)算，例如λ＋a，λ－a是沒(méi)有意義的．

3．判斷兩個(gè)向量是否共線(xiàn)，關(guān)鍵是能