第三章機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)第1頁(yè)，共60頁(yè)，2023年，2月20日，星期三3.2運(yùn)動(dòng)學(xué)模型和約束為整個(gè)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)推導(dǎo)一個(gè)模型，是一個(gè)由底向上的過(guò)程。我們必須用相對(duì)清晰和一致的參考框架來(lái)表達(dá)各輪的力和約束，由于移動(dòng)機(jī)器人的獨(dú)立和移動(dòng)本質(zhì)，需要在全局和局部參考框架之間有一個(gè)清楚的映射。第2頁(yè)，共60頁(yè)，2023年，2月20日，星期三3.2.1表示機(jī)器人的位置在整個(gè)分析過(guò)程中，我們將機(jī)器人建模成輪子上的一個(gè)剛體，運(yùn)行在水平面上。為了確定機(jī)器人在平面中的位置，我們建立了平面全局參考框架和機(jī)器人局部參考框架之間的關(guān)系如圖所示第3頁(yè)，共60頁(yè)，2023年，2月20日，星期三圖3.1全局參考框架和局部參考框架第4頁(yè)，共60頁(yè)，2023年，2月20日，星期三（XI，YI）為全局參考框架(XR，YR)為機(jī)器人的局部參考框架，相對(duì)于機(jī)器人底盤上的點(diǎn)P在全局參考框架下，P的位置由坐標(biāo)x和y確定，全局框架和局部框架的角度差由θ表示。機(jī)器人的姿態(tài)可由這三個(gè)元素組成的向量來(lái)描述，即在全局參考框架下該姿態(tài)的基為：第5頁(yè)，共60頁(yè)，2023年，2月20日，星期三為了根據(jù)分量的移動(dòng)描述機(jī)器人的移動(dòng)，需要將全局參考架下的移動(dòng)映射到局部參考框架下的運(yùn)動(dòng)。該運(yùn)動(dòng)可由正交旋轉(zhuǎn)矩陣來(lái)完成：第6頁(yè)，共60頁(yè)，2023年，2月20日，星期三舉例（example）圖3.2與全局參考框架并排的機(jī)器人第7頁(yè)，共60頁(yè)，2023年，2月20日，星期三給定在全局參考框架下某個(gè)速度，我們可以計(jì)算沿機(jī)器人局部參考框架軸XR和YR的運(yùn)動(dòng)分量。第8頁(yè)，共60頁(yè)，2023年，2月20日，星期三3.2.2前向運(yùn)動(dòng)學(xué)模型給定機(jī)器人的幾何特征和它的輪子速度，機(jī)器人如何運(yùn)動(dòng)？即前向運(yùn)動(dòng)學(xué)模型。該差動(dòng)機(jī)器人有2個(gè)輪子，半徑為r，給定中心處為兩輪之間的點(diǎn)P，各輪距P的距離為l。

給定r,l,θ和各輪的轉(zhuǎn)速，前向運(yùn)動(dòng)學(xué)模型會(huì)預(yù)測(cè)全局參考框架中機(jī)器人的總速度：圖3.3在全局參考框架中差動(dòng)驅(qū)動(dòng)的機(jī)器人第9頁(yè)，共60頁(yè)，2023年，2月20日，星期三建模策略：首先計(jì)算在局部參考框架下各輪對(duì)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)的貢獻(xiàn)，然后再將其影射到全局參考框架下。首先，考慮在+XR方向上各輪的轉(zhuǎn)動(dòng)速度對(duì)點(diǎn)P的平移速度的貢獻(xiàn)。

計(jì)算如果一輪旋轉(zhuǎn)，而另一輪無(wú)貢獻(xiàn)且不動(dòng)，則點(diǎn)P的平移速度為

（1）第10頁(yè)，共60頁(yè)，2023年，2月20日，星期三其次，計(jì)算在YR方向的貢獻(xiàn)

由于沒有一個(gè)輪子可以提供側(cè)向運(yùn)動(dòng)，所以沿YR方向的速度總是零。最后，計(jì)算旋轉(zhuǎn)角速度分量?？瑟?dú)立的計(jì)算各輪的貢獻(xiàn)，且只要簡(jiǎn)單相加即可。

（2）第11頁(yè)，共60頁(yè)，2023年，2月20日，星期三聯(lián)合式（1）和式（2）得到差動(dòng)驅(qū)動(dòng)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型如式（3）所示：（3）第12頁(yè)，共60頁(yè)，2023年，2月20日，星期三其中：第13頁(yè)，共60頁(yè)，2023年，2月20日，星期三舉例（example）假定機(jī)器人位于θ＝π/2，r＝1，l＝1，各輪轉(zhuǎn)速分別為4和2，則，機(jī)器人在全局參考框架中的速度為：第14頁(yè)，共60頁(yè)，2023年，2月20日，星期三在全局參考框架下，機(jī)器人沿著y軸，以速度1旋轉(zhuǎn)的同時(shí)以速度3瞬時(shí)的移動(dòng)。另外，機(jī)器人沿x軸的速度為零。給定各輪的速度，用運(yùn)動(dòng)學(xué)建模的方法，可提供有關(guān)機(jī)器人移動(dòng)的信息。然而，我們希望，對(duì)于機(jī)器人的地盤結(jié)構(gòu)，要確定機(jī)器人可能運(yùn)動(dòng)的空間。所以在建立運(yùn)動(dòng)學(xué)模型的基礎(chǔ)上必須進(jìn)一步描述各輪加到機(jī)器人運(yùn)動(dòng)上的約束。第15頁(yè)，共60頁(yè)，2023年，2月20日，星期三3.2.3輪子運(yùn)動(dòng)學(xué)約束首先討論單個(gè)輪子的約束，再將單獨(dú)輪子的約束聯(lián)合起來(lái)計(jì)算整個(gè)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)。兩點(diǎn)假設(shè)：1輪子的平面總是和地面保持垂直，并且在任何時(shí)候，輪子和地面之間只有一個(gè)單獨(dú)的接觸點(diǎn)。2該接觸點(diǎn)無(wú)滑動(dòng)，即只存在純滾動(dòng)。標(biāo)準(zhǔn)輪分為固定標(biāo)準(zhǔn)輪和可操縱標(biāo)準(zhǔn)輪。下面首先介紹固定標(biāo)準(zhǔn)輪的運(yùn)動(dòng)學(xué)約束。第16頁(yè)，共60頁(yè)，2023年，2月20日，星期三圖3.4固定標(biāo)準(zhǔn)輪和它的參數(shù)第17頁(yè)，共60頁(yè)，2023年，2月20日，星期三固定標(biāo)準(zhǔn)輪A的位置用機(jī)器人局部參考框架下的極坐標(biāo)（l，α）來(lái)表示。輪子平面相對(duì)于地盤的角度用β表示，該角度為固定值。具有半徑r的輪子在輪子平面內(nèi)可自由轉(zhuǎn)動(dòng)。第18頁(yè)，共60頁(yè)，2023年，2月20日，星期三圖3.5約束示意圖第19頁(yè)，共60頁(yè)，2023年，2月20日，星期三固定標(biāo)準(zhǔn)輪的滾動(dòng)和滑動(dòng)約束方程：（1）（2）由于所有在方程中的其他參數(shù)α、β等均是依據(jù)機(jī)器人的局部參考框架，所以必須將全局參考框架下的運(yùn)動(dòng)變換到機(jī)器人局部參考框架內(nèi)的運(yùn)動(dòng)。第20頁(yè)，共60頁(yè)，2023年，2月20日，星期三舉例（example）假定輪A處在一個(gè)位置使得α＝90，β＝0，如果θ＝0，那么滑動(dòng)約束方程（2）可簡(jiǎn)化為：這里限定沿YI的運(yùn)動(dòng)分量為零，由于YR和YI在本例中平形，所以輪子不會(huì)側(cè)向滑動(dòng)。如果不是特殊情況，則會(huì)形成全局參考框架下的軌跡（速度）約束方程。第21頁(yè)，共60頁(yè)，2023年，2月20日，星期三可操縱標(biāo)準(zhǔn)輪的運(yùn)動(dòng)學(xué)約束：第22頁(yè)，共60頁(yè)，2023年，2月20日，星期三可操縱的標(biāo)準(zhǔn)輪的滾動(dòng)和滑動(dòng)約束方程：式中β＝β(t)。第23頁(yè)，共60頁(yè)，2023年，2月20日，星期三小腳輪運(yùn)動(dòng)學(xué)約束：第24頁(yè)，共60頁(yè)，2023年，2月20日，星期三小腳輪的滾動(dòng)和滑動(dòng)約束方程：上式表明：任何正交于輪子平面的運(yùn)動(dòng)必須被一個(gè)等效的且相反的小腳輪操縱運(yùn)動(dòng)量所平衡，這對(duì)小腳輪的成功是至關(guān)重要的，因?yàn)橥ㄟ^(guò)設(shè)置操縱量，任意的橫向運(yùn)動(dòng)是可以被接受的（即使得約束被滿足）。所以只帶有小腳輪的機(jī)器人可按任意的速度在可能的機(jī)器人運(yùn)動(dòng)空間中運(yùn)動(dòng)，我們稱此系統(tǒng)為全向的。第25頁(yè)，共60頁(yè)，2023年，2月20日，星期三瑞典輪運(yùn)動(dòng)學(xué)約束：第26頁(yè)，共60頁(yè)，2023年，2月20日，星期三瑞典輪的滾動(dòng)和滑動(dòng)約束方程為：90度瑞典輪時(shí)，滾動(dòng)方程簡(jiǎn)化為固定標(biāo)準(zhǔn)輪的滾動(dòng)約束。但由于滾柱，正交于輪子平面沒有滑動(dòng)約束。改變主動(dòng)輪的轉(zhuǎn)速可以產(chǎn)生任何期望的運(yùn)動(dòng)向量以滿足滾動(dòng)約束方程，所以輪子是全向的。0度瑞典輪時(shí)，滾柱有一個(gè)平行于主輪旋轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)軸。若將該值代入滾動(dòng)約束方程，則得到的卻是固定標(biāo)準(zhǔn)輪的滑動(dòng)約束方程，即瑞典輪的滾動(dòng)約束消失（主輪不需要旋轉(zhuǎn)）。第27頁(yè)，共60頁(yè)，2023年，2月20日，星期三小結(jié)：對(duì)于小腳輪、瑞典輪和球形輪，由于其內(nèi)部的自由度，并未對(duì)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)施加實(shí)質(zhì)上的約束，即機(jī)器人可在全局參考框架下自由運(yùn)動(dòng)。也就是說(shuō)，只有固定標(biāo)準(zhǔn)輪和可操縱標(biāo)準(zhǔn)輪會(huì)對(duì)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)施加約束。第28頁(yè)，共60頁(yè)，2023年，2月20日，星期三3.2.4機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)約束給定一個(gè)具有M個(gè)輪子的機(jī)器人，將全部由所有輪子引起的運(yùn)動(dòng)學(xué)約束適當(dāng)?shù)穆?lián)合起來(lái)，以此來(lái)描述機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)約束。假定機(jī)器人總共有N個(gè)標(biāo)準(zhǔn)輪，由Nf個(gè)固定標(biāo)準(zhǔn)輪和Ns個(gè)可操縱標(biāo)準(zhǔn)輪組成。βs(t)表示可操縱標(biāo)準(zhǔn)輪的可變操縱角。βf表示固定標(biāo)準(zhǔn)輪的方向。第29頁(yè)，共60頁(yè)，2023年，2月20日，星期三滾動(dòng)約束：滑動(dòng)約束：第30頁(yè)，共60頁(yè)，2023年，2月20日，星期三上述表達(dá)式對(duì)單個(gè)輪子的滾動(dòng)和滑動(dòng)約束具有強(qiáng)的相似性，但矩陣代替了單個(gè)值，因此把全部輪子的約束都考慮進(jìn)去了，表示一個(gè)投影矩陣，它將機(jī)器人局部參考框架下的運(yùn)動(dòng)投影到沿著各個(gè)輪子平面上的運(yùn)動(dòng)。也表示一個(gè)投影矩陣，它將機(jī)器人局部參考框架下的運(yùn)動(dòng)投影到各個(gè)輪子的法平面內(nèi)。第31頁(yè)，共60頁(yè)，2023年，2月20日，星期三舉例（example）一個(gè)差動(dòng)驅(qū)動(dòng)機(jī)器人（針對(duì)圖3.3所示機(jī)器人）將滾動(dòng)約束和滑動(dòng)約束方程聯(lián)合起來(lái)可得到式：

由于小腳輪無(wú)動(dòng)力，并可在任何方向自由運(yùn)動(dòng)，因此可忽略第三個(gè)接觸點(diǎn)。其余兩個(gè)輪不可操縱，因此和分別簡(jiǎn)化為和首先辨識(shí)各輪α和β的值。對(duì)圖3.1，右輪α＝－π/2，β＝π；左輪α＝π/2，β＝0。由于，兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)輪是平行的，所以，只有一個(gè)獨(dú)立的滑動(dòng)約束方程總的運(yùn)動(dòng)約束方程如式：第32頁(yè)，共60頁(yè)，2023年，2月20日，星期三將上式求逆，得到特定的差動(dòng)驅(qū)動(dòng)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程：對(duì)于簡(jiǎn)單的差動(dòng)驅(qū)動(dòng)情況，上式展示了輪子滾動(dòng)和滑動(dòng)約束的聯(lián)合描述了運(yùn)動(dòng)學(xué)的行為。另外，上式與圖3.1所對(duì)應(yīng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型表示完全一致。第33頁(yè)，共60頁(yè)，2023年，2月20日，星期三一個(gè)有3個(gè)90度瑞典輪的全向機(jī)器人對(duì)所有輪子和。機(jī)器人的局部參考框架和全局參考框架是一致的，即夾角為0。如果輪1，2，3分別以速度4，1，2旋轉(zhuǎn)，那么整個(gè)機(jī)器人的最終運(yùn)動(dòng)會(huì)是什么樣呢？第34頁(yè)，共60頁(yè)，2023年，2月20日，星期三3.3移動(dòng)機(jī)器人的機(jī)動(dòng)性機(jī)器人可操縱的總自由度，包括通過(guò)改變輪子的速度，機(jī)器人直接操縱的自由度（活動(dòng)性）和通過(guò)改變操縱的配置和運(yùn)動(dòng)，間接操縱的自由度（可操縱度）兩個(gè)方面。第35頁(yè)，共60頁(yè)，2023年，2月20日，星期三3.3.2活動(dòng)性的程度活動(dòng)性表示機(jī)器人在環(huán)境中直接運(yùn)動(dòng)的能力。限制活動(dòng)性的基本約束就是加在輪子上的滑動(dòng)約束?；瑒?dòng)約束如前所示為：

第36頁(yè)，共60頁(yè)，2023年，2月20日，星期三在數(shù)學(xué)上，的零空間是空間N，使得對(duì)任何N中的向量n，。為了滿足約束，運(yùn)動(dòng)向量必須屬于投影矩陣的零空間。若遵守運(yùn)動(dòng)學(xué)約束，則機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)必定總是在該空間N內(nèi)。在幾何上，利用機(jī)器人的瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)中心可以同時(shí)說(shuō)明運(yùn)動(dòng)學(xué)的約束。第37頁(yè)，共60頁(yè)，2023年，2月20日，星期三瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)中心ICR（instantaneouscenterofrotation）在任何給定時(shí)刻，輪子必定沿著半徑為R的某個(gè)圓瞬時(shí)的運(yùn)動(dòng)，使得那個(gè)圓的中心處在零運(yùn)動(dòng)直線上，該中心稱為瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)中心。它可以位于沿零運(yùn)動(dòng)直線的任何地方。第38頁(yè)，共60頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第39頁(yè)，共60頁(yè)，2023年，2月20日，星期三要使機(jī)器人運(yùn)動(dòng)存在一個(gè)單獨(dú)的解，必須有一個(gè)單獨(dú)的ICR，即所有的零運(yùn)動(dòng)直線在一個(gè)單獨(dú)點(diǎn)相交。ICR的幾何特性顯示了機(jī)器人的活動(dòng)性是機(jī)器人運(yùn)動(dòng)上的獨(dú)立約束數(shù)目的函數(shù)而不是輪子數(shù)目的函數(shù)。獨(dú)立的滑動(dòng)約束的數(shù)目可用的秩來(lái)描述第40頁(yè)，共60頁(yè)，2023年，2月20日，星期三一般地，對(duì)于一個(gè)安裝有零個(gè)或多個(gè)標(biāo)準(zhǔn)輪的機(jī)器人：秩等于零：在這種情況下，機(jī)器人未安裝標(biāo)準(zhǔn)輪秩等于3：機(jī)器人在任何方向是完全受約束的，它將不可能在平面中運(yùn)動(dòng)。第41頁(yè)，共60頁(yè)，2023年，2月20日，星期三活動(dòng)性程度：矩陣零空間的維數(shù)（dimN）是通過(guò)改變輪子的速度，可以立即操縱機(jī)器人底盤的自由度數(shù)目的一個(gè)度量。第42頁(yè)，共60頁(yè)，2023年，2月20日，星期三對(duì)于一個(gè)差動(dòng)驅(qū)動(dòng)的機(jī)器人底盤：簡(jiǎn)單的通過(guò)操縱輪子的速度，即可控制方向的變化率又可控制向前/向后的速度。ICR被限制在位于從它的輪子水平軸擴(kuò)展的無(wú)限直線上。自行車的底盤、由全向輪組成的機(jī)器人底盤？第43頁(yè)，共60頁(yè)，2023年，2月20日，星期三3.3.2可操縱度

對(duì)于可操縱的標(biāo)準(zhǔn)輪，通過(guò)改變操縱角，可間接改變機(jī)器人的姿態(tài)。

可操縱度即表示獨(dú)立的可操縱的參數(shù)的數(shù)目?？紤]活動(dòng)性，增加的秩，意味著更多的約束，因而是移動(dòng)較少的系統(tǒng)；考慮可操縱度，增加的秩，意味著更多的操縱自由度，從而有更大的最終機(jī)動(dòng)性。

第44頁(yè)，共60頁(yè)，2023年，2月20日，星期三可操縱度的取值范圍：為零，說(shuō)明機(jī)器人沒有可操縱的標(biāo)準(zhǔn)輪；為2，說(shuō)明機(jī)器人（偽自行車）沒有固定標(biāo)準(zhǔn)輪，說(shuō)明機(jī)器人可以把ICR放到地平面上任何地方?？紤]一輛普通汽車，如圖所示，Nf＝2和Ns＝2。由于兩個(gè)固定標(biāo)準(zhǔn)輪共享一個(gè)公共軸，所以。固定標(biāo)準(zhǔn)輪和任何一個(gè)可操縱輪限制ICR成為沿著從后軸延伸的直線的一個(gè)點(diǎn)，所以第二個(gè)可操縱輪不再施加獨(dú)立的運(yùn)動(dòng)學(xué)約束，故，在此情況下，活動(dòng)性程度為1，可操縱度為1。第45頁(yè)，共60頁(yè)，2023年，2月20日，星期三3.3.3機(jī)器人的機(jī)動(dòng)性機(jī)器人可以操縱的總的自由度，稱為機(jī)動(dòng)程度定義為：。包括直接操縱的自由度和間接操縱的自由度。第46頁(yè)，共60頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第47頁(yè)，共60頁(yè)，2023年，2月20日，星期三3.4運(yùn)動(dòng)控制運(yùn)動(dòng)控制的目標(biāo)是跟蹤一條軌跡，該軌跡由機(jī)器人的位置或速度輪廓描述成為時(shí)間的函數(shù)。通過(guò)將軌跡（路徑）分割成形狀清晰的被定義的運(yùn)動(dòng)區(qū)段（如直線或圓弧段）來(lái)完成運(yùn)動(dòng)控制的任務(wù)?？刂茊栴}則是根據(jù)直線和圓弧段，預(yù)先計(jì)算平滑的軌跡，驅(qū)動(dòng)機(jī)器人從初始位置走到最終位置。第48頁(yè)，共60頁(yè)，2023年，2月20日，星期三3.4.1開環(huán)控制（openloopcontrol）通過(guò)將軌跡（路徑）分割成形狀清晰的被定義的運(yùn)動(dòng)區(qū)段（如直線或圓弧段）來(lái)完成運(yùn)動(dòng)控制的任務(wù)?？刂茊栴}則是根據(jù)直線和圓弧段，預(yù)先計(jì)算平滑的軌跡，驅(qū)動(dòng)機(jī)器人從初始位置走到最終位置。特點(diǎn)是所測(cè)量的機(jī)器人位置不被反饋當(dāng)作速度或位置控制。

第49頁(yè)，共60頁(yè)，2023年，2月20日，星期三根據(jù)直線和圓軌跡段的運(yùn)動(dòng)機(jī)器人的開環(huán)控制第50頁(yè)，共60頁(yè)，2023年，2月20日，星期三3.4.2反饋控制（feedbackcontrol）在移動(dòng)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)控制中，使用狀態(tài)反饋控制器，路徑規(guī)劃問題可簡(jiǎn)化為在所要求的路徑中間點(diǎn)設(shè)置子目標(biāo)。第51頁(yè)