第六節(jié)多元函數(shù)的極值與最值1第1頁(yè)，共34頁(yè)，2023年，2月20日，星期三(1)(2)(3)例1例２例３第2頁(yè)，共34頁(yè)，2023年，2月20日，星期三播放第3頁(yè)，共34頁(yè)，2023年，2月20日，星期三極值的求法（稱駐點(diǎn)）

駐點(diǎn)極值點(diǎn)注意：定理1（必要條件）

問(wèn)題：如何判定一個(gè)駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn)？第4頁(yè)，共34頁(yè)，2023年，2月20日，星期三定理2（充分條件）負(fù)定正定第5頁(yè)，共34頁(yè)，2023年，2月20日，星期三例4解無(wú)極值極小值-5極大值31無(wú)極值第6頁(yè)，共34頁(yè)，2023年，2月20日，星期三二元函數(shù)的最值若根據(jù)實(shí)際問(wèn)題,目標(biāo)函數(shù)有最大值(或最小值),而在定義區(qū)域內(nèi)部有惟一的極大(小)值點(diǎn),則可以斷定該極大(小)值點(diǎn)即為最大(小)值點(diǎn).

設(shè)生產(chǎn)某種商品需原料A和B，設(shè)A的單價(jià)為2，數(shù)量為x；而B的單價(jià)為1，數(shù)量為y，而產(chǎn)量為

例5解且商品售價(jià)為5,求最大利潤(rùn).

利潤(rùn)函數(shù)為

第7頁(yè)，共34頁(yè)，2023年，2月20日，星期三令解得惟一駐點(diǎn)

惟一駐點(diǎn)為極大值點(diǎn)，即為最大值點(diǎn)，最大利潤(rùn)為

第8頁(yè)，共34頁(yè)，2023年，2月20日，星期三例6解第9頁(yè)，共34頁(yè)，2023年，2月20日，星期三令第10頁(yè)，共34頁(yè)，2023年，2月20日，星期三用鐵皮做一個(gè)有蓋的長(zhǎng)方形水箱,要求容積為V,問(wèn)怎么做用料最??？

二、條件極值與拉格朗日乘數(shù)法實(shí)際問(wèn)題中,目標(biāo)函數(shù)的自變量除了受到定義域的限制外,往往還受到一些附加條件的約束,這類極值問(wèn)題稱條件極值問(wèn)題.

例7解即表面積最小.

代入目標(biāo)函數(shù),化為無(wú)條件極值問(wèn)題：

xyz第11頁(yè)，共34頁(yè)，2023年，2月20日，星期三內(nèi)部唯一駐點(diǎn),且由實(shí)際問(wèn)題S有最大值,故做成立方體表面積最小.

這種做法的缺點(diǎn)：

1.變量之間的平等關(guān)系和對(duì)稱性被破壞；

2.有時(shí)解出隱函數(shù)困難甚至不可能.

第12頁(yè)，共34頁(yè)，2023年，2月20日，星期三拉格朗日乘數(shù)法引入拉格朗日函數(shù)令若這樣的點(diǎn)惟一,由實(shí)際問(wèn)題,可直接確定此即所求的點(diǎn)。第13頁(yè)，共34頁(yè)，2023年，2月20日，星期三則構(gòu)造拉格朗日函數(shù)為

令第14頁(yè)，共34頁(yè)，2023年，2月20日，星期三用鐵皮做一個(gè)有蓋的長(zhǎng)方形水箱,要求容積為V,問(wèn)怎么做用料最??？

例7解由實(shí)際問(wèn)題,即為最小值點(diǎn).

xyz第15頁(yè)，共34頁(yè)，2023年，2月20日，星期三三、多元函數(shù)最大值、最小值及其應(yīng)用在實(shí)際問(wèn)題中，經(jīng)常要求某多元函數(shù)在已知區(qū)域D內(nèi)的最大值和最小值.根據(jù)實(shí)際情況，我們往往可以判斷最大值或最小值在區(qū)域D的內(nèi)部達(dá)到，若函數(shù)在D內(nèi)僅有一個(gè)駐點(diǎn)，則可以斷定，該駐點(diǎn)就是最大值點(diǎn)或最小值點(diǎn).第16頁(yè)，共34頁(yè)，2023年，2月20日，星期三例8解解得唯一駐點(diǎn)

即做成正三角形時(shí)面積最大.

第17頁(yè)，共34頁(yè)，2023年，2月20日，星期三三角形中,以正三角形面積為最大:

四邊形中,以正方形面積為最大：

第18頁(yè)，共34頁(yè)，2023年，2月20日，星期三解例9先求函數(shù)在D內(nèi)的駐點(diǎn)，解方程組第19頁(yè)，共34頁(yè)，2023年，2月20日，星期三為最小值.第20頁(yè)，共34頁(yè)，2023年，2月20日，星期三例10解第21頁(yè)，共34頁(yè)，2023年，2月20日，星期三由由實(shí)際問(wèn)題，此即最佳分配方案.

第22頁(yè)，共34頁(yè)，2023年，2月20日，星期三解法1例11因駐點(diǎn)惟一，且由問(wèn)題的實(shí)際含義可知必有最大利潤(rùn)，第23頁(yè)，共34頁(yè)，2023年，2月20日，星期三例11因駐點(diǎn)惟一，且由問(wèn)題的實(shí)際含義可知必有最大利潤(rùn)，解法2第24頁(yè)，共34頁(yè)，2023年，2月20日，星期三練習(xí)：P324習(xí)題七第25頁(yè)，共34頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第26頁(yè)，共34頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第27頁(yè)，共34頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第28頁(yè)，共34頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第29頁(yè)，共34頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第30頁(yè)，共34頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第31頁(yè)，