第八節(jié)多元函數(shù)極值第1頁(yè)，共41頁(yè)，2023年，2月20日，星期三（1）極值是一個(gè)局部概念，它只是對(duì)極值點(diǎn)鄰近范圍的所有點(diǎn)的函數(shù)值進(jìn)行比較。（2）（極值存在的必要條件）若f(x)在極值點(diǎn)處可導(dǎo)，則導(dǎo)數(shù)一定為0，反之不成立。（3）（駐點(diǎn)為極值點(diǎn)的充分條件）設(shè)存在，則有（1）如果（3）如果，則為f(x)

的極小值；（2）如果，則為f(x)

的極大值；，定理失效。第2頁(yè)，共41頁(yè)，2023年，2月20日，星期三（一）二元函數(shù)的極值定義：設(shè)z=f(x,y)

的定義域?yàn)镈，總有總有是D

的一個(gè)內(nèi)點(diǎn)，則稱是f(x,y)的極大值；則稱是f(x,y)的極小值。若存在點(diǎn)的一個(gè)去心鄰域

極大值和極小值統(tǒng)稱為極值；第3頁(yè)，共41頁(yè)，2023年，2月20日，星期三

使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn)；

同一元函數(shù)一樣，二元函數(shù)極值也是一個(gè)局部概念

極值點(diǎn)必是

D

的內(nèi)點(diǎn)；

利用點(diǎn)函數(shù)的概念，上述二元函數(shù)極值的概念可以推廣到n

元函數(shù)的情形第4頁(yè)，共41頁(yè)，2023年，2月20日，星期三因?yàn)樵邳c(diǎn)(0,0)處，函數(shù)值為0，而在點(diǎn)(0,0)的任何鄰域內(nèi)，即有使函數(shù)值大于0的點(diǎn)，也有使函數(shù)值小于0的點(diǎn)。第5頁(yè)，共41頁(yè)，2023年，2月20日，星期三定理1:

（極值存在的必要條件）如果在點(diǎn)處有極值，且兩個(gè)一階偏導(dǎo)數(shù)存在，則有問(wèn)題：什么點(diǎn)可能成為極值點(diǎn)？什么點(diǎn)必定是極值點(diǎn)？證明：就極大值的情形給予證明，極小值情形類似因?yàn)閒(x,y)在點(diǎn)有極大值第6頁(yè)，共41頁(yè)，2023年，2月20日，星期三定理1:

（極值存在的必要條件）如果在點(diǎn)處有極值，且兩個(gè)一階偏導(dǎo)數(shù)存在，則有問(wèn)題：什么點(diǎn)可能成為極值點(diǎn)？什么點(diǎn)必定是極值點(diǎn)？證明：就極大值的情形給予證明，極小值情形類似這表明一元函數(shù)在點(diǎn)處取得極大值，因此同理可證第7頁(yè)，共41頁(yè)，2023年，2月20日，星期三

凡是能使

具有偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)的極值點(diǎn)必定是駐點(diǎn)，但駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)。同時(shí)成立的點(diǎn)稱為函數(shù)的駐點(diǎn)。

極值點(diǎn)也可能是使偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)。

極值點(diǎn)只可能在駐點(diǎn)或使偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)中產(chǎn)生。第8頁(yè)，共41頁(yè)，2023年，2月20日，星期三例4：解：得駐點(diǎn)該函數(shù)無(wú)極值?！ぁぁと绾闻袛嘁粋€(gè)駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn)？第9頁(yè)，共41頁(yè)，2023年，2月20日，星期三定理2:

（極值存在的充分條件）如果（1）（2）在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，且時(shí)具有極值，且當(dāng)A<0時(shí)，有則f(x,y)在處是否取得極值的條件如下極大值，當(dāng)A>0時(shí)，有極小值；時(shí)沒(méi)有極值；（3）時(shí)可能有極值，也可能沒(méi)有極值，還需另作討論。第10頁(yè)，共41頁(yè)，2023年，2月20日，星期三具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)f(x,y)

的極值的求法：第一步：解方程組求出所有實(shí)數(shù)解，即求得函數(shù)的所有駐點(diǎn)。第二步：對(duì)于每一個(gè)駐點(diǎn)第三步：定出計(jì)算二階偏導(dǎo)數(shù)值A(chǔ)、B

、C。的符號(hào)，按定理2判定是否是極值，是極大值還是極小值第11頁(yè)，共41頁(yè)，2023年，2月20日，星期三例5：求的極值解：（1）得到四個(gè)駐點(diǎn)：（2）計(jì)算二階偏導(dǎo)數(shù)A、B、C

。（3）對(duì)每一個(gè)駐點(diǎn)，判斷的符號(hào)所以(1,0)為極小值點(diǎn)，為極小值。第12頁(yè)，共41頁(yè)，2023年，2月20日，星期三所以點(diǎn)(1,2)和(3,0)不是函數(shù)的極值點(diǎn)。例5：求的極值解：（1）得到四個(gè)駐點(diǎn)：（3）對(duì)每一個(gè)駐點(diǎn)，判斷的符號(hào)（2）計(jì)算二階偏導(dǎo)數(shù)A、B、C

。第13頁(yè)，共41頁(yè)，2023年，2月20日，星期三所以(3,2)是極大值點(diǎn)。為極大值。例5：求的極值解：（1）得到四個(gè)駐點(diǎn)：（3）對(duì)每一個(gè)駐點(diǎn)，判斷的符號(hào)（2）計(jì)算二階偏導(dǎo)數(shù)A、B、C

。第14頁(yè)，共41頁(yè)，2023年，2月20日，星期三（二）最大值和最小值

如果f(x,y)在有界閉區(qū)域D

上連續(xù)，則它在D

上必定取得最大值和最小值。

這種使函數(shù)取得最大值或最小值的點(diǎn)即可能在D

的內(nèi)部，也可能在D

的邊界上。

假定函數(shù)在D

上連續(xù)、在D

的內(nèi)部可微且僅有有限個(gè)駐點(diǎn)，這時(shí)如果函數(shù)在D

的內(nèi)部取最大或最小值，則它也是函數(shù)的極大或極小值，并且一定在某個(gè)駐點(diǎn)上取得。第15頁(yè)，共41頁(yè)，2023年，2月20日，星期三

求可微函數(shù)最大值和最小值的一般方法：（1）求函數(shù)在D

內(nèi)的所有駐點(diǎn)；（2）求函數(shù)在D

的邊界上的最大值和最小值；（3）將函數(shù)在所有駐點(diǎn)處的函數(shù)值及在D

的邊界上的最大值和最小值相比較，最大者就是函數(shù)在

D

上的最大值，最小者就是最小值。

在實(shí)際問(wèn)題中，如果根據(jù)問(wèn)題的性質(zhì)，知道函數(shù)的最大或最小值存在且一定在D

的內(nèi)部取得，而函數(shù)在D

內(nèi)只有一個(gè)駐點(diǎn)，則該駐點(diǎn)就是函數(shù)在D

上的最大或最小值點(diǎn)。第16頁(yè)，共41頁(yè)，2023年，2月20日，星期三

求可微函數(shù)最大值和最小值的一般方法：（1）求函數(shù)在D

內(nèi)的所有駐點(diǎn)；（2）求函數(shù)在D

的邊界上的最大值和最小值；（3）將函數(shù)在所有駐點(diǎn)處的函數(shù)值及在D

的邊界上的最大值和最小值相比較，最大者就是函數(shù)在

D

上的最大值，最小者就是最小值。

在實(shí)際問(wèn)題中，如果根據(jù)問(wèn)題的性質(zhì)，知道函數(shù)的最大或最小值存在且一定在D

的內(nèi)部取得，而函數(shù)在D

內(nèi)只有一個(gè)駐點(diǎn)，則該駐點(diǎn)就是函數(shù)在D

上的最大或最小值點(diǎn)。第17頁(yè)，共41頁(yè)，2023年，2月20日，星期三例6：有一寬為24cm的長(zhǎng)方形鐵板，把它兩邊折起來(lái)，做成一斷面為等腰梯形的水槽，問(wèn)怎樣折法才能使斷面的面積最大？解：24cm梯形的上底長(zhǎng)為高為其中第18頁(yè)，共41頁(yè)，2023年，2月20日，星期三例6：有一寬為24cm的長(zhǎng)方形鐵板，把它兩邊折起來(lái)，做成一斷面為等腰梯形的水槽，問(wèn)怎樣折法才能使斷面的面積最大？解：?jiǎn)栴}轉(zhuǎn)化為求面積函數(shù)A=A(x,)在區(qū)域D上的最大值（1）求A=A(x,)在D內(nèi)的駐點(diǎn)第19頁(yè)，共41頁(yè)，2023年，2月20日，星期三例6：有一寬為24cm的長(zhǎng)方形鐵板，把它兩邊折起來(lái)，做成一斷面為等腰梯形的水槽，問(wèn)怎樣折法才能使斷面的面積最大？解：D注意到得唯一駐點(diǎn)第20頁(yè)，共41頁(yè)，2023年，2月20日，星期三例6：有一寬為24cm的長(zhǎng)方形鐵板，把它兩邊折起來(lái)，做成一斷面為等腰梯形的水槽，問(wèn)怎樣折法才能使斷面的面積最大？解：得唯一駐點(diǎn)（2）在D的邊界上D第21頁(yè)，共41頁(yè)，2023年，2月20日，星期三例6：有一寬為24cm的長(zhǎng)方形鐵板，把它兩邊折起來(lái)，做成一斷面為等腰梯形的水槽，問(wèn)怎樣折法才能使斷面的面積最大？解：得唯一駐點(diǎn)（2）在D的邊界上D所以當(dāng)斷面的面積最大。第22頁(yè)，共41頁(yè)，2023年，2月20日，星期三（三）條件極值與拉格朗日乘數(shù)法例：求表面積為解：設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為x,y,z,體積為V,

則問(wèn)題可描述為：求體積在約束條件下的最大值轉(zhuǎn)化為無(wú)條件極值問(wèn)題。而體積為最大的長(zhǎng)方體體積第23頁(yè)，共41頁(yè)，2023年，2月20日，星期三問(wèn)題1：求函數(shù)z=f(x,y)在約束條件

(x,y)=0下的極值（稱為條件極值問(wèn)題）。假設(shè)為一極值點(diǎn)，則又進(jìn)一步假設(shè)

(x,y)在的某一鄰域內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且則

(x,y)=0確定了一個(gè)隱函數(shù)

代入目標(biāo)函數(shù)z=f(x,y)中得它在處取得極值，故必有第24頁(yè)，共41頁(yè)，2023年，2月20日，星期三假設(shè)為一極值點(diǎn)，則則

(x,y)=0確定了一個(gè)隱函數(shù)又由隱函數(shù)求導(dǎo)公式有所以問(wèn)題1：求函數(shù)z=f(x,y)在約束條件

(x,y)=0下的極值（稱為條件極值問(wèn)題）。第25頁(yè)，共41頁(yè)，2023年，2月20日，星期三假設(shè)為一極值點(diǎn)，則所以則有此即為問(wèn)題1在取極值的必要條件問(wèn)題1：求函數(shù)z=f(x,y)在約束條件

(x,y)=0下的極值（稱為條件極值問(wèn)題）。第26頁(yè)，共41頁(yè)，2023年，2月20日，星期三引入輔助函數(shù)則問(wèn)題1：求函數(shù)z=f(x,y)在約束條件

(x,y)=0下的極值（稱為條件極值問(wèn)題）。拉格朗日函數(shù)拉格朗日乘子第27頁(yè)，共41頁(yè)，2023年，2月20日，星期三拉格朗日乘數(shù)法：（1）構(gòu)造拉格朗日函數(shù)：其中，為參數(shù)，稱之為拉格朗日乘子。（2）聯(lián)解方程組，求出問(wèn)題1

的所有可能的極值點(diǎn)。問(wèn)題1：求函數(shù)z=f(x,y)在約束條件

(x,y)=0下的極值（稱為條件極值問(wèn)題）。（3）進(jìn)一步確定所求點(diǎn)是否為極值點(diǎn)，在實(shí)際問(wèn)題中往往可根據(jù)問(wèn)題本身的性質(zhì)來(lái)判斷。第28頁(yè)，共41頁(yè)，2023年，2月20日，星期三

問(wèn)題2：求函數(shù)u=f(x,y,z)在約束條件

(x,y,z)=0,(x,y,z)=0下的條件極值。（1）作拉格朗日函數(shù)其中，稱為拉格朗日乘數(shù)。（2）聯(lián)解方程組，求出問(wèn)題2

的所有可能的極值點(diǎn)。（3）進(jìn)一步確定所求點(diǎn)是否為極值點(diǎn)，在實(shí)際問(wèn)題中往往可根據(jù)問(wèn)題本身的性質(zhì)來(lái)判斷。第29頁(yè)，共41頁(yè)，2023年，2月20日，星期三例7：求表面積為而體積為最大的長(zhǎng)方體體積解：設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為x,y,z,體積為V,

則問(wèn)題可描述為在約束條件下，求體積函數(shù)的最大值。（1）構(gòu)造拉格朗日函數(shù)（2）聯(lián)解方程組第30頁(yè)，共41頁(yè)，2023年，2月20日，星期三例7：求表面積為而體積為最大的長(zhǎng)方體體積（1）構(gòu)造拉格朗日函數(shù)（2）聯(lián)解方程組解：由對(duì)稱性知，x=y=z

，代入最后一個(gè)方程解得這是唯一可能的極值點(diǎn)（3）判斷：因?yàn)橛蓡?wèn)題本身可知最大值一定存在，所以最大值就在這個(gè)唯一可能的極值點(diǎn)處取得。第31頁(yè)，共41頁(yè)，2023年，2月20日，星期三例7：求表面積為而體積為最大的長(zhǎng)方體體積解：這是唯一可能的極值點(diǎn)（3）判斷：因?yàn)橛蓡?wèn)題本身可知最大值一定存在，所以最大值就在這個(gè)唯一可能的極值點(diǎn)處取得。結(jié)論：表面積為的長(zhǎng)方體中，以棱長(zhǎng)為的正方體的體積最大，且最大體積為第32頁(yè)，共41頁(yè)，2023年，2月20日，星期三例8：在橢球面上，求距離平面的最近點(diǎn)和最遠(yuǎn)點(diǎn)。解：設(shè)(x,y,z)

為橢球面上任意一點(diǎn)則該點(diǎn)到平面的距離為問(wèn)題1：在約束條件下，求距離d

的最大最小值。

由于d

中含有絕對(duì)值，為便于計(jì)算，考慮將問(wèn)題1轉(zhuǎn)化為下面的等價(jià)問(wèn)題第33頁(yè)，共41頁(yè)，2023年，2月20日，星期三問(wèn)題2：在條件下，求函數(shù)的最大最小值。問(wèn)題1：在約束條件下，求距離d

的最大最小值。（1）作拉格朗日函數(shù)（2）聯(lián)解方程組第34頁(yè)，共41頁(yè)，2023年，2月20日，星期三（1）作拉格朗日函數(shù)（2）聯(lián)解方程組求得兩個(gè)駐點(diǎn)：對(duì)應(yīng)的距離為第35頁(yè)，共41頁(yè)，2023年，2月20日，星期三例8：在橢球面上，求距離平面的最近點(diǎn)和最遠(yuǎn)點(diǎn)。解：?jiǎn)栴}1：在約束條件下，求距離d

的最大最小值。求得兩個(gè)駐點(diǎn)：對(duì)應(yīng)的距離為（3）判斷：由于駐點(diǎn)只有兩個(gè)，且由題意知最近距離和最遠(yuǎn)距離均存在。所以最近距離為最遠(yuǎn)距離為第36頁(yè)，共41頁(yè)，2023年，2月20日，星期三例9：求在條件解：下的極值