第六周卡若圖化簡(jiǎn)和組合邏輯電路設(shè)計(jì)第1頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期三（3）基本定理利用真值表很容易證明這些公式的正確性。如證明A·B=B·A：第2頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期三(A+B)(A+C)=AA+AB+AC+BC分配率A(B+C)=AB+AC=A+AB+AC+BC等冪率AA=A=A(1+B+C)+BC分配率A(B+C)=AB+AC=A+BC0-1率A+1=1證明分配率：A+BA=(A+B)(A+C)證明：第3頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期三（4）常用公式分配率A+BC=(A+B)(A+C)互補(bǔ)率A+A=10-1率A·1=1第4頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期三互補(bǔ)率A+A=1分配率A(B+C)=AB+AC0-1率A+1=1第5頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期三

（2）反演規(guī)則：對(duì)于任何一個(gè)邏輯表達(dá)式Y(jié)，如果將表達(dá)式中的所有“·”換成“＋”，“＋”換成“·”，“0”換成“1”，“1”換成“0”，原變量換成反變量，反變量換成原變量，那么所得到的表達(dá)式就是函數(shù)Y的反函數(shù)Y（或稱(chēng)補(bǔ)函數(shù)）。這個(gè)規(guī)則稱(chēng)為反演規(guī)則。例如：

例如，已知等式，用函數(shù)Y=AC代替等式中的A，根據(jù)代入規(guī)則，等式仍然成立，即有：2.基本規(guī)則

（1）代入規(guī)則：任何一個(gè)含有變量A的等式，如果將所有出現(xiàn)A的位置都用同一個(gè)邏輯函數(shù)代替，則等式仍然成立。這個(gè)規(guī)則稱(chēng)為代入規(guī)則。第6頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期三

（3）對(duì)偶規(guī)則：對(duì)于任何一個(gè)邏輯表達(dá)式Y(jié)，如果將表達(dá)式中的所有“·”換成“＋”，“＋”換成“·”，“0”換成“1”，“1”換成“0”，而變量保持不變，則可得到的一個(gè)新的函數(shù)表達(dá)式Y(jié)＇，Y＇稱(chēng)為函數(shù)Y的對(duì)偶函數(shù)。這個(gè)規(guī)則稱(chēng)為對(duì)偶規(guī)則。例如：

對(duì)偶規(guī)則的意義在于：如果兩個(gè)函數(shù)相等，則它們的對(duì)偶函數(shù)也相等。利用對(duì)偶規(guī)則,可以使要證明及要記憶的公式數(shù)目減少一半。例如：注意：在運(yùn)用反演規(guī)則和對(duì)偶規(guī)則時(shí)，必須按照邏輯運(yùn)算的優(yōu)先順序進(jìn)行：先算括號(hào)，接著與運(yùn)算，然后或運(yùn)算，最后非運(yùn)算，否則容易出錯(cuò)。第7頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期三

邏輯函數(shù)化簡(jiǎn)的意義：邏輯表達(dá)式越簡(jiǎn)單，實(shí)現(xiàn)它的電路越簡(jiǎn)單，電路工作越穩(wěn)定可靠。

一個(gè)邏輯函數(shù)的表達(dá)式可以有與或表達(dá)式、或與表達(dá)式、與非-與非表達(dá)式、或非-或非表達(dá)式、與或非表達(dá)式5種表示形式。

一種形式的函數(shù)表達(dá)式相應(yīng)于一種邏輯電路。盡管一個(gè)邏輯函數(shù)表達(dá)式的各種表示形式不同，但邏輯功能是相同的。任務(wù)基礎(chǔ)知識(shí)四——邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)與變換第8頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期三（1）最簡(jiǎn)與或表達(dá)式

乘積項(xiàng)最少、并且每個(gè)乘積項(xiàng)中的變量也最少的與或表達(dá)式。最簡(jiǎn)與或表達(dá)式一、公式法化簡(jiǎn)1.邏輯函數(shù)表述式的標(biāo)準(zhǔn)形式和最簡(jiǎn)式第9頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期三(2)最簡(jiǎn)與非-與非表達(dá)式

非號(hào)最少、并且每個(gè)非號(hào)下面乘積項(xiàng)中的變量也最少的與非-與非表達(dá)式。①在最簡(jiǎn)與或表達(dá)式的基礎(chǔ)上兩次取反②用摩根定律去掉下面的非號(hào)(3)最簡(jiǎn)或與表達(dá)式

括號(hào)最少、并且每個(gè)括號(hào)內(nèi)相加的變量也最少的或與表達(dá)式。①求出反函數(shù)的最簡(jiǎn)與或表達(dá)式②利用反演規(guī)則寫(xiě)出函數(shù)的最簡(jiǎn)或與表達(dá)式第10頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期三(4)最簡(jiǎn)或非-或非表達(dá)式

非號(hào)最少、并且每個(gè)非號(hào)下面相加的變量也最少的或非-或非表達(dá)式。①求最簡(jiǎn)或非-或非表達(dá)式②兩次取反(5)最簡(jiǎn)與或非表達(dá)式

非號(hào)下面相加的乘積項(xiàng)最少、并且每個(gè)乘積項(xiàng)中相乘的變量也最少的與或非表達(dá)式。①求最簡(jiǎn)或非-或非表達(dá)式③用摩根定律去掉下面的非號(hào)②用摩根定律去掉大非號(hào)下面的非號(hào)第11頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期三2.常見(jiàn)的公式法簡(jiǎn)化方法（1）并項(xiàng)法

邏輯函數(shù)的公式化簡(jiǎn)法就是運(yùn)用邏輯代數(shù)的基本公式、定理和規(guī)則來(lái)化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)。利用公式Ａ＋Ａ＝1，將兩項(xiàng)合并為一項(xiàng)，并消去一個(gè)變量。若兩個(gè)乘積項(xiàng)中分別包含同一個(gè)因子的原變量和反變量，而其他因子都相同時(shí)，則這兩項(xiàng)可以合并成一項(xiàng)，并消去互為反變量的因子。第12頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期三2.吸收法

如果乘積項(xiàng)是另外一個(gè)乘積項(xiàng)的因子，則這另外一個(gè)乘積項(xiàng)是多余的。（１）利用公式Ａ＋ＡＢ＝Ａ，消去多余的項(xiàng)。（２）利用公式Ａ＋ＡＢ＝ＡＢ，消去多余的變量。如果一個(gè)乘積項(xiàng)的反是另一個(gè)乘積項(xiàng)的因子，則這個(gè)因子是多余的。第13頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期三３.配項(xiàng)法（１）利用公式Ａ＝Ａ（Ｂ＋Ｂ），為某一項(xiàng)配上其所缺的變量，以便用其它方法進(jìn)行化簡(jiǎn)。（２）利用公式Ａ＋Ａ＝Ａ，為某項(xiàng)配上其所能合并的項(xiàng)。第14頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期三４.消去冗余項(xiàng)法利用冗余律ＡＢ＋ＡＣ＋ＢＣ＝ＡＢ＋ＡＣ，將冗余項(xiàng)ＢＣ消去。第15頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期三例：化簡(jiǎn)函數(shù)解：①先求出Y的對(duì)偶函數(shù)Y＇，并對(duì)其進(jìn)行化簡(jiǎn)。

②求Y＇的對(duì)偶函數(shù)，便得Ｙ的最簡(jiǎn)或與表達(dá)式。第16頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期三1.邏輯函數(shù)的最小項(xiàng)及其性質(zhì)

（1）最小項(xiàng)：如果一個(gè)函數(shù)的某個(gè)乘積項(xiàng)包含了函數(shù)的全部變量，其中每個(gè)變量都以原變量或反變量的形式出現(xiàn)，且僅出現(xiàn)一次，則這個(gè)乘積項(xiàng)稱(chēng)為該函數(shù)的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)積項(xiàng)，通常稱(chēng)為最小項(xiàng)。3個(gè)變量A、B、C可組成8個(gè)最小項(xiàng)：

（2）最小項(xiàng)的表示方法：通常用符號(hào)mi來(lái)表示最小項(xiàng)。下標(biāo)i的確定：把最小項(xiàng)中的原變量記為1，反變量記為0，當(dāng)變量順序確定后，可以按順序排列成一個(gè)二進(jìn)制數(shù)，則與這個(gè)二進(jìn)制數(shù)相對(duì)應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)，就是這個(gè)最小項(xiàng)的下標(biāo)i。

3個(gè)變量A、B、C的8個(gè)最小項(xiàng)可以分別表示為：二、卡諾圖化簡(jiǎn)法第17頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期三（3）最小項(xiàng)的性質(zhì)：①任意一個(gè)最小項(xiàng)，只有一組變量取值使其值為1。③全部最小項(xiàng)的和必為1。ABCABC②任意兩個(gè)不同的最小項(xiàng)的乘積必為0。第18頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期三2.邏輯函數(shù)的最小項(xiàng)表達(dá)式

任何一個(gè)邏輯函數(shù)都可以表示成唯一的一組最小項(xiàng)之和，稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)與或表達(dá)式，也稱(chēng)為最小項(xiàng)表達(dá)式

對(duì)于不是最小項(xiàng)表達(dá)式的與或表達(dá)式，可利用公式A＋A＝1和A(B+C)＝AB＋AC來(lái)配項(xiàng)展開(kāi)成最小項(xiàng)表達(dá)式。第19頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期三

如果列出了函數(shù)的真值表，則只要將函數(shù)值為1的那些最小項(xiàng)相加，便是函數(shù)的最小項(xiàng)表達(dá)式。m1＝ABCm5＝ABCm4＝ABCm2＝ABC

將真值表中函數(shù)值為0的那些最小項(xiàng)相加，便可得到反函數(shù)的最小項(xiàng)表達(dá)式。第20頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期三3.卡諾圖的構(gòu)成

將邏輯函數(shù)真值表中的最小項(xiàng)重新排列成矩陣形式，并且使矩陣的橫方向和縱方向的邏輯變量的取值按照格雷碼的順序排列，這樣構(gòu)成的圖形就是卡諾圖。

卡諾圖的特點(diǎn)是任意兩個(gè)相鄰的最小項(xiàng)在圖中也是相鄰的。（相鄰項(xiàng)是指兩個(gè)最小項(xiàng)只有一個(gè)因子互為反變量，其余因子均相同，又稱(chēng)為邏輯相鄰項(xiàng)）。每個(gè)兩變量的最小項(xiàng)有兩個(gè)最小項(xiàng)與它相鄰每個(gè)三變量的最小項(xiàng)有三個(gè)最小項(xiàng)與它相鄰第21頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期三每個(gè)4變量的最小項(xiàng)有4個(gè)最小項(xiàng)與它相鄰最左列的最小項(xiàng)與最右列的相應(yīng)最小項(xiàng)也是相鄰的最上面一行的最小項(xiàng)與最下面一行的相應(yīng)最小項(xiàng)也是相鄰的兩個(gè)相鄰最小項(xiàng)可以合并消去一個(gè)變量邏輯函數(shù)化簡(jiǎn)的實(shí)質(zhì)就是相鄰最小項(xiàng)的合并第22頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期三4.邏輯函數(shù)在卡諾圖中的表示

（1）邏輯函數(shù)是以真值表或者以最小項(xiàng)表達(dá)式給出：在卡諾圖上那些與給定邏輯函數(shù)的最小項(xiàng)相對(duì)應(yīng)的方格內(nèi)填入1，其余的方格內(nèi)填入0。m1m4m3m6m7m11m14m15第23頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期三

（2）邏輯函數(shù)以一般的邏輯表達(dá)式給出：先將函數(shù)變換為與或表達(dá)式（不必變換為最小項(xiàng)之和的形式），然后在卡諾圖上與每一個(gè)乘積項(xiàng)所包含的那些最小項(xiàng)（該乘積項(xiàng)就是這些最小項(xiàng)的公因子）相對(duì)應(yīng)的方格內(nèi)填入1，其余的方格內(nèi)填入0。變換為與或表達(dá)式ＡＤ的公因子ＢＣ的公因子第24頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期三

BCA0001111001111

BCA0001111001例如：Z的卡諾圖：2.卡諾圖與邏輯函數(shù)的其他幾種表示方法之間的互換：1）由真值表畫(huà)卡諾圖：例如：1111第25頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期三

CDAB00011110000111102）由邏輯函數(shù)與或式畫(huà)卡諾圖：例如：1111111111113）由卡諾圖寫(xiě)與或式：例如：

BCA000111100111111110CBABCA∴Z++==第26頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期三5.用卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)

（1）任何兩個(gè)（21個(gè)）標(biāo)1的相鄰最小項(xiàng)，可以合并為一項(xiàng)，并消去一個(gè)變量（消去互為反變量的因子，保留公因子）。第27頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期三

（2）任何4個(gè)（22個(gè)）標(biāo)1的相鄰最小項(xiàng)，可以合并為一項(xiàng)，并消去2個(gè)變量。第28頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期三ＢＤＢＤBD第29頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期三

（3）任何8個(gè)（23個(gè)）標(biāo)1的相鄰最小項(xiàng)，可以合并為一項(xiàng)，并消去3個(gè)變量。B第30頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期三6.化簡(jiǎn)的基本步驟(舉例)邏輯表達(dá)式或真值表卡諾圖11第31頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期三合并最小項(xiàng)①圈越大越好，但每個(gè)圈中標(biāo)１的方格數(shù)目必須為個(gè)。②同一個(gè)方格可同時(shí)畫(huà)在幾個(gè)圈內(nèi)，但每個(gè)圈都要有新的方格，否則它就是多余的。③不能漏掉任何一個(gè)標(biāo)１的方格。最簡(jiǎn)與或表達(dá)式ＢＤＣＤＡＣＤ2233將代表每個(gè)圈的乘積項(xiàng)相加第32頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期三用卡諾圖法化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)一、步驟1.將函數(shù)變換為與或式；2.畫(huà)出卡諾圖；3.將2n個(gè)有1的相鄰小方格圈出（所圈小方格數(shù)是2的整次冪，即：1個(gè)、2個(gè)、4個(gè)、8個(gè)……小方格為一個(gè)圈），提出公因子；4.將公因子相加。因卡諾圖中的最小項(xiàng)幾何相鄰必定邏輯相鄰，故幾何相鄰的最小項(xiàng)可以提取公因子，而消去不同項(xiàng)，這樣就可以用卡諾圖來(lái)化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)。第33頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期三二、畫(huà)圈原則1.圈越大越好（圈大，消去的因子多）。2.圈的個(gè)數(shù)越少越好（化簡(jiǎn)后的乘積項(xiàng)少）。3.同一個(gè)“1”小方格可以被圈多次。4.每個(gè)圈中要有新的“1”。5.畫(huà)圈時(shí)，可先圈大，后圈小。6.不要遺漏任何“1”的小方格；最后還要?jiǎng)h除多余圈。第34頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期三例如：用卡諾圖化簡(jiǎn)下列函數(shù)：1.

BCA00011110011111112.

CDAB0001111000011110111111111第35頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期三3.

BCA0001111001111114.

CDAB000111100001111011111111或:多余圈(刪除)第36頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期三練習(xí)、用卡諾圖化簡(jiǎn)函數(shù)

解：根據(jù)最小項(xiàng)的編號(hào)規(guī)則，得將這四個(gè)最小項(xiàng)填入四變量卡諾圖內(nèi)化簡(jiǎn)得第37頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期三例2.11

用卡諾圖化簡(jiǎn)函數(shù)

解：

從表達(dá)式中可以看出此為四變量的邏輯函數(shù)，但是有的乘積項(xiàng)中缺少一個(gè)變量，不符合最小項(xiàng)的規(guī)定。因此，每個(gè)乘積項(xiàng)中都要將缺少的變量補(bǔ)上：則有將這七個(gè)最小項(xiàng)填入四變量卡諾圖內(nèi)化簡(jiǎn)得第38頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期三練習(xí)：判斷正確與錯(cuò)誤正確錯(cuò)誤（多畫(huà)一個(gè)圈）例1例2錯(cuò)誤（圈的面積不夠大）正確

第39頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期三例3錯(cuò)誤（圈的面積不夠大）正確

例4錯(cuò)誤（有一個(gè)圈無(wú)新的1格）正確

第40頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期三三、卡諾圖的性質(zhì)和運(yùn)算1、全“0”格對(duì)應(yīng)Y=02、全“1”格對(duì)應(yīng)Y=13、卡諾圖相加、相乘、異或——對(duì)應(yīng)格相加、相乘、異或。+=4、卡諾圖反演 “1”格→“0”格 “0”格→“1”格四、用卡諾圖合并最小項(xiàng)的規(guī)律

2個(gè)相鄰1格可合并成一個(gè)乘積項(xiàng)，消去1個(gè)有01變化的變量，保留無(wú)變化的變量；

4個(gè)相鄰1格可合并成一個(gè)乘積項(xiàng)，消去2個(gè)有01變化的變量，保留無(wú)變化的變量；

8個(gè)相鄰1格可合并成一個(gè)乘積項(xiàng)，消去3個(gè)有01變化的變量，保留無(wú)變化的變量；

2i個(gè)相鄰1格可合并成一個(gè)乘積項(xiàng)，消去i個(gè)有01變化的變量，保留無(wú)變化的變量。第41頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期三五、用卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)1、簡(jiǎn)化原則（1）圈盡量大； ——變量數(shù)少（2）圈數(shù)盡量少； ——乘積項(xiàng)少（3）每一個(gè)“1”格都被圈到，沒(méi)有“0”格被圈；（4）全部是必要項(xiàng)，沒(méi)有多余項(xiàng)。必要項(xiàng)：對(duì)應(yīng)圈中至少有一個(gè)“1”格只被圈一次。 ——有新“1”格多余項(xiàng)：對(duì)應(yīng)圈中的每一個(gè)“1”格都被圈2次或2次以上。2、化簡(jiǎn)步驟（1）畫(huà)卡諾圖。（2）按簡(jiǎn)化原則化簡(jiǎn)函數(shù)。——先圈只有一種圈法的圈（3）檢查是否全部“1”格被圈，沒(méi)有“0”格被圈。（4）寫(xiě)出相應(yīng)的簡(jiǎn)化式。第42頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期三e.g.1Y(A,B,C,D)=∑(0,2,5,6,7,9,10,14,15)解

第一步：填寫(xiě)卡諾圖（為了敘述方便，這里填寫(xiě)最小項(xiàng)的編號(hào)，平常應(yīng)該在對(duì)應(yīng)最小項(xiàng)方格中填1）。

第二步：畫(huà)包圍圈。

第三步：化簡(jiǎn)包圍圈。000111100001ABCD

1110111111111第43頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期三Eg2.化簡(jiǎn)函數(shù)：1011010010110100ABCD卡諾圖為：11111111用三個(gè)圈覆蓋：最簡(jiǎn)與或式為：1可重復(fù)使用要圈兩個(gè)1(1)第44頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期三1011010010110100ABCD1010110100ABCY=AB+AB+BC+BC111111卡諾圖如右;圈黑圈，得：Y=AB+BC+CA圈籃圈，得：Y=AB+BC+CAY(A,B,C,D)=m1+m5+m6+m7+m11+m12+m13+m1511111111顯然，紫圈是多余的