PAGE高一秋季講義說明1．暑秋講義區(qū)別：⑴定位區(qū)別：暑期講義側(cè)重于知識的引入與概念的講解，會有很多與實際生活相結(jié)合或是非常簡單的小例子（有些在教師備案中，并有配套練習(xí)）；秋季講義側(cè)重于知識點中的重點、難點與易錯點，對常用方法與題型作系統(tǒng)說明與講解．教師備案更多的是揭示概念與方法的本質(zhì)，及需要重點說明的地方．⑵難度區(qū)別：暑假講義的例題以一星與二星為主，難度不大；秋季講義例題以三星為主，有少量二星與四星的題，對于暑假已經(jīng)講過的知識點有“暑假知識回顧”版塊，老師可以結(jié)合這個版塊進(jìn)行復(fù)習(xí)與知識點梳理．講義中所有四星級題都是思考與選講類的題，可以在一開始對學(xué)生進(jìn)行說明．2．升級后與原來講義的區(qū)別：⑴暑假與秋季沒有重復(fù)內(nèi)容，暑假講過的內(nèi)容，除了極重要的內(nèi)容（會單獨說明）外，秋季都不會在例題中重復(fù)出現(xiàn)；⑵尖子班（提高班與尖子班講義相同）與目標(biāo)班區(qū)別度很大，每道例題都有區(qū)別，僅在目標(biāo)班出現(xiàn)的例題與考點會標(biāo)有“目標(biāo)班專用”，知識點講解的深度與難度更大，計算量也更大；⑶題量與以前相比也有所增加，老師可以根據(jù)班上學(xué)生的進(jìn)度情況與學(xué)生的程度好壞可以調(diào)整與選擇性講解，這一點也可以在最開始作個說明；⑷對于暑假沒有講過的新知識點，有些會配上【練習(xí)】，有些難題前面配有【鋪墊】，學(xué)生版都出現(xiàn)．個別例題后面?zhèn)溆休^難的【備選】與【拓展】，學(xué)生版不出現(xiàn)，供老師選講．

3．我們是以知識模塊劃分的講次，每講內(nèi)容的量有一些區(qū)別，以下附有建議課時表：講次講義名稱建議課時第1講集合中的常用數(shù)學(xué)思想3小時第2講函數(shù)概念的深入理解3.5小時第3講函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性（一）提高班、尖子班3.5小時目標(biāo)班3小時第4講函數(shù)的奇偶性（二）與對稱性提高班、尖子班2小時；目標(biāo)班3小時（有周期性）第5講指數(shù)函數(shù)與相關(guān)復(fù)合函數(shù)3小時第6講對數(shù)函數(shù)與相關(guān)復(fù)合函數(shù)3小時第7講期中復(fù)習(xí)提高班、尖子班3小時目標(biāo)班2.5小時4．課后演練教師版有，學(xué)生版沒有，會給學(xué)生發(fā)一本練習(xí)冊，并且網(wǎng)上有視頻講解．

集合中的常用數(shù)學(xué)思想第1講

函數(shù)11級函數(shù)概念的深入理解滿分晉級

集合中的常用數(shù)學(xué)思想第1講函數(shù)11級函數(shù)概念的深入理解滿分晉級

函數(shù)10級集合中的常用數(shù)學(xué)思想函數(shù)9級函數(shù)與方程

新課標(biāo)剖析

當(dāng)前形勢集合在近五年北京卷（理）考查5～18分高考要求內(nèi)容要求層次具體要求ABC集合的含義與表示√了解集合的含義、元素與集合的“屬于”關(guān)系．能用自然語言、圖形語言、集合語言（列舉法或描述法）描述不同的具體問題．集合間基本關(guān)系√理解集合之間包含與相等的含義，能識別給定集合的子集．在具體情境中，了解全集與空集的含義．集合基本運算√理解兩個集合的并集與交集的含義，會求兩個簡單集合的并集與交集．理解在給定集合中一個子集的補(bǔ)集的含義，會求給定子集的補(bǔ)集．能使用Venn圖表達(dá)集合的關(guān)系及運算北京高考解讀2009年XX年（新課標(biāo)）XX年（新課標(biāo)）XX年（新課標(biāo)）XX年（新課標(biāo)）第20題13分第1題5分第20題13分第1題5分第1題5分第1題5分

<教師備案>可以調(diào)查一下班上學(xué)生上過暑期課的比例，以及學(xué)校當(dāng)前的進(jìn)度．對于集合，學(xué)生應(yīng)從內(nèi)心深處把集合當(dāng)作一個鍛煉的工具，集合從高中開始一直滲透到高中結(jié)束，甚至在有些過程中，我們都沒有意識到．集合是數(shù)學(xué)的語言，是一個對話的平臺，語言的作用是為了溝通，集合的問題不在于基本的運算什么的你不會，而是給你一道集合相關(guān)的問題你根本讀不明白題意，或者當(dāng)你試圖表達(dá)一個條件時，你沒有辦法用一套很嚴(yán)格的數(shù)學(xué)語言把它表達(dá)出來．集合的中還滲透著很多數(shù)學(xué)思想，比如要想確定一個由描述法表示的集合，可能需要對參數(shù)進(jìn)行分類討論；理解一些集合的關(guān)系與運算需要借助韋恩圖與數(shù)軸，這便是集合中的數(shù)形結(jié)合；還有些集合問題直接解決比較困難，我們選擇看它的反面，正難則反．這些數(shù)學(xué)思想在以后的高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，還會常常遇到，也會貫穿我們這一講．

“給你一道集合相關(guān)的問題，你根本讀不明白題意”這句話可以結(jié)合下面的例子說明，可以用這個例子作為課堂的引入，調(diào)動學(xué)生的思維興趣：已知集合，，若對于任意，，中至少有1個在中，則稱集合具有性質(zhì)．判斷（不具有）、（具有）、（不具有）是否具有性質(zhì)．(更進(jìn)一步的問題見華山論劍)

1.1元素與集合

知識點睛

1．集合：一些能夠確定的不同的對象所構(gòu)成的整體叫做集合．構(gòu)成集合的每個對象叫做這個集合的元素．集合一般用英文大寫字母表示．元素一般用英文小寫字母表示；1.1元素與集合

知識點睛

不含任何元素的集合叫做空集，記作．2．元素與集合的關(guān)系：、；3．常見的數(shù)集的寫法：自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實數(shù)集或4．元素的性質(zhì)：確定性、互異性、無序性．5．集合的表示法⑴列舉法．⑵描述法（又稱特征性質(zhì)描述法）：形如，稱為集合的特征性質(zhì)，稱為集合的代表元素．為的范圍，有時也寫為．⑶圖示法，又叫韋恩（Venn）圖．⑷區(qū)間表示法：用來表示連續(xù)的數(shù)集．<教師備案>⑴元素的性質(zhì)：元素的性質(zhì)中最本質(zhì)的屬性是確定性，集合是有邊界的，邊界確定了，才能判斷一個元素在還是不在集合中．正是因為有確定性，所以可以定義空集，因為所有元素都不在這個集合中，所以這也能構(gòu)成一個集合，就是空集．⑵集合的表示法：①列舉法一定要會用，當(dāng)遇到陌生集合時，要會寫出其中的元素．比如要想了解集合，的關(guān)系，可以用列舉法把一個個元素寫出來：，，就知道是的真子集；②描述法是集合的一個重點與難點：，表達(dá)的外延，即的最大討論范圍，以及集合中元素的形式，到底是數(shù)還是點，并不一定能取到中的所有，只是一定是中的元素，表示的內(nèi)涵，是對的精確描述．如：集合，則，．③Venn圖是表達(dá)集合中的各種關(guān)系與運算的；④區(qū)間表示法課本上是在函數(shù)的三要素那一節(jié)出現(xiàn)的，我們?yōu)榱朔奖闩c統(tǒng)一把它放到集合中，當(dāng)一個連續(xù)數(shù)集寫成區(qū)間時，默認(rèn)左端點是小于等于右端點的，如區(qū)間，就表示，即．這與是有區(qū)別的，這個集合可以出現(xiàn)的情況，此時這個集合是空集．

暑假知識回顧

暑假知識回顧

1．由實數(shù)，，所組成的集合里，所含元素個數(shù)最多有（）A．個 B．個 C．個 D．個C

2．下列集合中恰有2個元素的集合是（）A.B.C.D.B．

3．若，，則集合中的元素共有（）A．個 B．個 C．個 D．個A

經(jīng)典精講

考點1：經(jīng)典精講

⑴已知，且，求實數(shù)及集合．⑵已知，集合，且，，求滿足條件的的值．⑶已知是數(shù)集，且滿足：若，則，則當(dāng)時，中僅有1個元素．若集合中有且僅有兩個元素，集合_______．⑴當(dāng)時，；當(dāng)時，．⑵；⑶或；．

備注：所有的【備選】在學(xué)生版都不出現(xiàn)，只在教師版與課件上出現(xiàn)，供老師選講．【備選】設(shè)是非空數(shù)集，，，且滿足條件：若，則．證明：⑴若，則中必還有另外兩個元素；⑵集合不可能是單元素集；⑶集合中至少有三個不同的元素．⑴若，則，于是，故集合中還含有，兩個元素．⑵若為單元素集，則，即，此方程無實數(shù)解，∴，∴與都為集合的元素，則不可能是單元素集．①若，方程無解，∴；②若，方程無解；∴；③若，方程無解，∴，故集合中至少有三個不同的元素．

【備注】集合離不開元素，元素是集合的核心，所以解決有關(guān)集合中的探索性問題，可以先從元素入手，作為解題的切入點．解此題關(guān)鍵在于由已知，，得到，，然后逐步探索，再根據(jù)集合中元素的互異性，從而將問題加以解決．⑵中用到反證法的解題思想．下面的例3中會進(jìn)一步提到正難則反的思想．

考點2：兩個集合相等<教師備案>兩個集合相等是集合的關(guān)系中出現(xiàn)的概念，但對于由列舉法表示的集合來說，兩個集合相等就是指兩個集合中的元素完全相同，所以放在元素與集合這一板塊中講解更順一些．下一板塊的集合相等的定義主要針對更復(fù)雜更抽象的集合，通過互相包含得到相等關(guān)系．

⑴設(shè)，集合，則_____．⑵若，，集合，則_____．⑶由三個實數(shù)構(gòu)成的集合，既可以表示為，也可表示為，則____．⑴；⑵；⑶；點評：根據(jù)兩集合的元素是相同的，可以列方程組分類討論，但顯然復(fù)雜又繁瑣，這時從特殊元素出發(fā)，如發(fā)現(xiàn)0這個特殊元素和中的不為0的隱含信息，就能得到簡便解法．

考點3：集合中涉及到的數(shù)學(xué)思想<教師備案>本講的例題很多都涉及到數(shù)學(xué)思想，如例1與例2都涉及到了分類討論的思想，例5與例6會涉及到數(shù)形結(jié)合的思想．例3是對集合的思想的集中體現(xiàn)，可以在這里對集合中常用的數(shù)學(xué)思想作一個介紹與說明．例3不同的方法對應(yīng)不同的思考方式，直接解決需要分類討論，間接解決就是考慮問題的反面．遇到至少有、至多有的問題，需要注意問題的反面的形式．

已知集合中至多有一個元素，則實數(shù)的取值范圍是．或．解法一（按照的元素個數(shù)分類討論）：

解法二（按照方程的次數(shù)分類討論）：

解法三（先考慮問題的反面）：

備注：所有的【拓展】在學(xué)生版都不出現(xiàn)，只在教師版與課件上出現(xiàn)，供老師選講．【拓展】已知，，，且，，中至少有一個不是空集，求實數(shù)的取值范圍．．分析：至少有1個不是空集，考慮方法有兩種：第1種：或或也就是，和取并集．第2種，至少有1個不是空集的反面是什么？如我們班至少有1個男生反面是不到1個男生，也就是沒有男生，∴“至少有1個不是空集”的反面是“全都是空集”．“全都是空集”取，，的公共部分也就是交集，再取個補(bǔ)集就行．當(dāng)遇到正面分類討論比較多時，不妨考慮問題反面．若改成“至少有兩個是空集”，那么反面是什么？最多有1個空集．比如某富二代說“我家至少有10棟房”，那么反面是他家至多有9棟房．

1.2集合之間的關(guān)系與運算

知識點睛

1．子集：如果集合中的任意一個元素都是集合的元素，則是的子集，記作或；1.2集合之間的關(guān)系與運算

知識點睛

規(guī)定：是任意集合的子集．如果集合中存在著不是集合中的元素，那么集合不包含于，記作或．2．真子集：如果集合，且存在，但，我們稱集合是集合的真子集，記作（或），讀作真包含于（真包含）．規(guī)定：是任意非空集合的真子集．3．集合相等：如果，且，我們說集合與集合相等，記作=．4．交集：；5．并集：；6．補(bǔ)集：①全集：如果所研究的集合都是某一給定集合的子集，那么稱這個給定的集合為全集，常用表示．②補(bǔ)集：在中的補(bǔ)集的數(shù)學(xué)表達(dá)式是．7．．

<教師備案>集合的關(guān)系與運算在同步時放在同一個板塊中講解，如果班上學(xué)生進(jìn)度太慢，且沒有預(yù)習(xí)，老師可以對后面的順序進(jìn)行調(diào)整，知識回顧1與例4是集合的關(guān)系，知識回顧2是集合的運算．

暑假知識回顧

暑假知識回顧

1．⑴下列各個關(guān)系式中，正確的是（）A． B． C． D．⑵若集合，則下列關(guān)系成立的是（）A．B．C．D．⑶已知兩個集合，，這兩個集合的關(guān)系是（）A． B． C． D．⑷設(shè)，，則下列關(guān)系正確的是（）A． B． C． D．⑴D⑵B⑶A⑷C

2．⑴設(shè)集合，，則___________．⑵設(shè)集合，，則=_________．⑶已知全集，集合，，則集合中元素的個數(shù)為（）A．1 B．2C．3D．4⑴⑵⑶B

經(jīng)典精講

考點4：經(jīng)典精講

⑴設(shè)集合，，，則下列說法正確的有________．① ② ③ ④⑵設(shè)集合，，則（）A． B． C． D．⑶已知集合，，，則、、滿足的關(guān)系是（）A． B． C． D．⑴③④；⑵B；⑶B；

考點5：集合的關(guān)系與運算<教師備案>例5是具體的集合的關(guān)系與運算，其中⑴涉及一元二次方程的解集，是有限集問題；從⑵－⑷是連續(xù)數(shù)集問題，借助韋恩圖會更容易解決．對于一般的集合問題，這里有個易錯點，即空集是任何集合的子集，考慮子集問題先想空集！為了避免有部分學(xué)生沒有上過暑期班，所以這一節(jié)我們盡量避開了集合的區(qū)間表示法．

⑴已知，其中，如果，則實數(shù)的取值范圍是_______．⑵已知集合，，若，則實數(shù)的取值范圍是．⑶已知集合，，若，則實數(shù)的取值范圍是．⑷設(shè)集合，，若，則實數(shù)的取值范圍是___________．⑴或；⑵；⑶；⑷或；

【拓展】設(shè)集合，，若，則實數(shù)的取值范圍是__________；若，則實數(shù)的取值范圍是___________．①或；②；

<教師備案>對于具體集合的子集問題例5已經(jīng)講得很明白，對于抽象的集合，要理解，需要從元素角度出發(fā)：即對任意的，有；這在證明抽象的集合的關(guān)系時很有用，見下面的德摩根律的證明．

集合的運算滿足德摩根律：①；②．對于德摩根律，可以使用兩個集合相等的定義進(jìn)行抽象的證明，如下：證明：①對任意的，則，從而且；因為，所以；因為，所以，從而；從而有；對任意的，則且，從而，且．故，即，故．綜上有；②對任意的，則，從而或；若，則，從而；若，則，從而；從而有；對任意的，則或，即或，從而，故，故．綜上有，．德摩根律的嚴(yán)格證明并不容易，學(xué)生需要時間慢慢適應(yīng)高中的嚴(yán)格的推理有．德摩根律的正確性借助于韋恩圖是很容易得到的，韋恩圖在表示集合的關(guān)系與運算時非常直觀．見例6．

考點6：韋恩圖⑴設(shè)、、均為非空集合，且，則下列各式中錯誤的是()A． B．C． D．⑵若全集，、為的子集，且，，，求、和．⑴B；⑵，，．

考點7：子集個數(shù)問題(尖子班選講)若集合中有個元素，則集合的子集有個，真子集有個，非空真子集有個．

<教師備案>這個結(jié)論可以歸納得到：當(dāng)中有兩個元素時，記為，的子集有個；當(dāng)中有三個元素時，記為，，的四個子集仍然為的子集，且這些子集中加入元素后會得到四個新的互不相同的子集，且的每個子集都可以歸在這兩類中，從而的子集個數(shù)是的兩倍，從而有個子集，可以歸納得到(含有個元素的集合)有個子集．如果利用乘法原理（奧數(shù)學(xué)介紹過，在高二會進(jìn)行系統(tǒng)學(xué)習(xí)），會很容易得到這個結(jié)論，要得到的子集，只需考慮的每個元素在或不在這個子集中，對個元素，可以通過步得到，每步有兩種不同的方法，故共對應(yīng)個子集．

⑴已知，，，，則滿足上述條件的集合的個數(shù)是（）A．8 B．32 C．16 D．4⑵已知，，若是的子集，且，則子集共有_____個．⑶若集合滿足：對任意，都有，就稱是“和諧”集合．則在集合的所有非空子集中，“和諧”集合有_______個．⑴A⑵；⑶15

（2009年北京）已知數(shù)集具有性質(zhì)對任意的，與兩數(shù)中至少有一個屬于．⑴分別判斷