PAGE板塊二.隨機事件的概率計算

知識內(nèi)容版塊一：事件及樣本空間板塊二.隨機事件的概率計算知識內(nèi)容1．必然現(xiàn)象與隨機現(xiàn)象必然現(xiàn)象是在一定條件下必然發(fā)生某種結(jié)果的現(xiàn)象；隨機現(xiàn)象是在相同條件下，很難預(yù)料哪一種結(jié)果會出現(xiàn)的現(xiàn)象．2．試驗：我們把觀察隨機現(xiàn)象或為了某種目的而進行的實驗統(tǒng)稱為試驗，把觀察結(jié)果或?qū)嶒灥慕Y(jié)果稱為試驗的結(jié)果．一次試驗是指事件的條件實現(xiàn)一次．在同樣的條件下重復(fù)進行試驗時，始終不會發(fā)生的結(jié)果，稱為不可能事件；在每次試驗中一定會發(fā)生的結(jié)果，稱為必然事件；在試驗中可能發(fā)生，也可能不發(fā)生的結(jié)果稱為隨機事件．通常用大寫英文字母來表示隨機事件，簡稱為事件．3．基本事件：在一次試驗中，可以用來描繪其它事件的，不能再分的最簡單的隨機事件，稱為基本事件．它包含所有可能發(fā)生的基本結(jié)果．所有基本事件構(gòu)成的集合稱為基本事件空間，常用表示．

版塊二：隨機事件的概率計算1．如果事件同時發(fā)生，我們記作，簡記為；2．一般地，對于兩個事件，如果有，就稱事件與相互獨立，簡稱與獨立．當事件與獨立時，事件與，與，與都是相互獨立的．3．概率的統(tǒng)計定義一般地，在次重復(fù)進行的試驗中，事件發(fā)生的頻率，當很大時，總是在某個常數(shù)附近擺動，隨著的增加，擺動幅度越來越小，這時就把這個常數(shù)叫做事件的概率，記為．從概率的定義中，我們可以看出隨機事件的概率滿足：．當是必然事件時，，當是不可能事件時，．4．互斥事件與事件的并互斥事件：不可能同時發(fā)生的兩個事件叫做互斥事件，或稱互不相容事件．由事件和事件至少有一個發(fā)生（即發(fā)生，或發(fā)生，或都發(fā)生）所構(gòu)成的事件，稱為事件與的并（或和），記作．若，則若發(fā)生，則、中至少有一個發(fā)生，事件是由事件或所包含的基本事件組成的集合．5．互斥事件的概率加法公式：若、是互斥事件，有若事件兩兩互斥（彼此互斥），有．事件“”發(fā)生是指事件中至少有一個發(fā)生．6．互為對立事件不能同時發(fā)生且必有一個發(fā)生的兩個事件叫做互為對立事件．事件的對立事件記作．有．<教師備案>1．概率中的“事件”是指“隨機試驗的結(jié)果”，與通常所說的事件不同．基本事件空間是指一次試驗中所有可能發(fā)生的基本結(jié)果．有時我們提到事件或隨機事件，也包含不可能事件和必然事件，將其作為隨機事件的特例，需要根據(jù)情況作出判斷．2．概率可以通過頻率來“測量”，或者說是頻率的一個近似，此處概率的定義叫做概率的統(tǒng)計定義．在實踐中，很多時候采用這種方法求事件的概率．隨機事件的頻率是指事件發(fā)生的次數(shù)與試驗總次數(shù)的比值，它具有一定的穩(wěn)定性，總是在某個常數(shù)附近擺，且隨著試驗次數(shù)的增加，擺動的幅度越來越小，這個常數(shù)叫做這個隨機事件的概率．概率可以看成頻率在理論上的期望值，它從數(shù)量上反映了隨機事件發(fā)生的可能性的大小，頻率在大量重復(fù)試驗的前提下可近似地看作這個事件的概率．3．基本事件一定是兩兩互斥的，它是互斥事件的特殊情形．

主要方法：解決概率問題要注意“四個步驟，一個結(jié)合”：求概率的步驟是：第一步，確定事件性質(zhì)，即所給的問題歸結(jié)為四類事件中的某一種．第二步，判斷事件的運算，即是至少有一個發(fā)生，還是同時發(fā)生，分別運用相加或相乘事件．第三步，運用公式求解第四步，答，即給提出的問題有一個明確的答復(fù)．

解決此類問題的關(guān)鍵是會正確求解以下六種事件的概率（尤其是其中的（4）、（5）兩種概率）：⑴隨機事件的概率，等可能性事件的概率；⑵互斥事件有一個發(fā)生的概率；⑶相互獨立事件同時發(fā)生的概率；⑷次獨立重復(fù)試驗中恰好發(fā)生次的概率；⑸次獨立重復(fù)試驗中在第次才首次發(fā)生的概率；⑹對立事件的概率．另外：要注意區(qū)分這樣的語句：“至少有一個發(fā)生”，“至多有一個發(fā)生”，“恰好有一個發(fā)生”，“都發(fā)生”，“不都發(fā)生”，“都不發(fā)生”，“第次才發(fā)生”等．

典例分析典例分析題型一概率與頻率

下列說法：①頻率是反映事件發(fā)生的頻繁程度，概率反映事件發(fā)生的可能性的大??；②做次隨機試驗，事件發(fā)生的頻率就是事件的概率；③百分率是頻率，但不是概率；④頻率是不能脫離具體的次試驗的實驗值，而概率是具有確定性的不依賴于試驗次數(shù)的理論值；⑤頻率是概率的近似值，概率是頻率的穩(wěn)定值．其中正確的是（）A．①④⑤B．②④⑤C．①③④D．①③⑤

對某工廠所生產(chǎn)的產(chǎn)品質(zhì)量進行調(diào)查，數(shù)據(jù)如下：抽查件數(shù)合格件數(shù)根據(jù)上表所提供的數(shù)據(jù)，估計合格品的概率約為多少？若要從該廠生產(chǎn)的此種產(chǎn)品中抽到件合格品，大約需要抽查多少件產(chǎn)品？

某籃球運動員在最近幾場大賽中罰球投籃的結(jié)果如下：投籃次數(shù)進球次數(shù)進球頻率（1）在表中直接填寫進球的頻率；（2）這位運動員投籃一次，進球的概率為多少？

下列說法：①頻率是反映事件發(fā)生的頻繁程度，概率反映事件發(fā)生的可能性的大小；②做次隨機試驗，事件發(fā)生次，則事件發(fā)生的概率為；③頻率是不能脫離次試驗的實驗值，而概率是具有確定性的不依賴于試驗次數(shù)的理論值；④頻率是概率的近似值，概率是頻率的穩(wěn)定值．其中正確命題的序號為．

盒中裝有只相同的白球與只相同的黃球．從中任取一只球．試指出下列事件分別屬于什么事件？它們的概率是多少？⑴“取出的球是白球”；⑵“取出的球是藍球”；⑶“取出的球是黃球”；⑷“取出的球是白球或黃球”．

題型二獨立與互斥（XX遼寧高考）兩個實習生每人加工一個零件．加工為一等品的概率分別為和，兩個零件是否加工為一等品相互獨立，則這兩個零件中恰有一個一等品的概率為A． B． C． D．

擲兩枚均勻的骰子，記“點數(shù)不同”，“至少有一個是點”，判斷與是否為獨立事件．

設(shè)M和N是兩個隨機事件，表示事件M和事件N都不發(fā)生的是（）A．B．C．D．

判斷下列各對事件是否是相互獨立事件⑴甲組名男生、名女生；乙組名男生、名女生，今從甲、乙兩組中各選名同學參加演講比賽，“從甲組中選出名男生”與“從乙組中選出1名女生”．⑵容器內(nèi)盛有5個白乒乓球和3個黃乒乓球，“從8個球中任意取出個，取出的是白球”與“從剩下的個球中任意取出個，取出的還是白球”．

⑴某縣城有兩種報紙甲、乙供居民訂閱，記事件為“只訂甲報”，事件為“至少訂一種報”，事件為“至多訂一種報”，事件為“不訂甲報”，事件為“一種報也不訂”．判斷下列每對事件是不是互斥事件，再判斷它們是不是對立事件．①與；②與；③與；④與；⑤與．

拋擲一枚骰子，記事件為“落地時向上的數(shù)是奇數(shù)”，事件為“落地時向上的數(shù)是偶數(shù)”，事件為“落地時向上的數(shù)是的倍數(shù)”，事件為“落地時向上的數(shù)是或”，則下列每對事件是互斥事件但不是對立事件的是（）A．與B．與C．與D．與

每道選擇題都有個選擇支，其中只有個選擇支是正確的．某次考試共有道選擇題，某人說：“每個選擇支正確的概率是，我每題都選擇第一個選擇支，則一定有題選擇結(jié)果正確”．對該人的話進行判斷，其結(jié)論是（）A．正確的 B．錯誤的 C．模棱兩可的 D．有歧義的

題型三隨機事件的概率計算（XX豐臺二模）一個正三角形的外接圓的半徑為，向該圓內(nèi)隨機投一點，點恰好落在正三角形外的概率是_________．

（XX崇文一模）從張撲克牌（沒有大小王）中隨機的抽一張牌，這張牌是或或的概率為_______．

（XX朝陽一模）一只小蜜蜂在一個棱長為30的正方體玻璃容器內(nèi)隨機飛行．若蜜蜂在飛行過程中與正方體玻璃容器6個表面中至少有一個的距離不大于10，則就有可能撞到玻璃上而不安全；若始終保持與正方體玻璃容器6個表面的距離均大于10，則飛行是安全的，假設(shè)蜜蜂在正方體玻璃容器內(nèi)飛行到每一位置可能性相同，那么蜜蜂飛行是安全的概率是（）A．B．C．D．

（XX東城二模）在直角坐標系中，設(shè)集合，在區(qū)域內(nèi)任取一點，則滿足的概率等于．

（XX朝陽一模）在區(qū)間內(nèi)隨機取兩個數(shù)分別記為，則使得函數(shù)有零點的概率為（）A．B．C．D．

（XX東城一模）某人向一個半徑為的圓形標靶射擊，假設(shè)他每次射擊必定會中靶，且射中靶內(nèi)各點是隨機的，則此人射擊中靶點與靶心的距離小于的概率為（）A．B．C．D．

（XX西城一模）在邊長為的正方形內(nèi)任取一點，則點到點的距離小于的概率為．

（XX豐臺二模）已知，．若向區(qū)域上隨機投一點，則點落入?yún)^(qū)域的概率是_________．

（XX朝陽一模）袋子中裝有編號為的2個黑球和編號為的3個紅球，從中任意摸出2個球．⑴寫出所有不同的結(jié)果；⑵求恰好摸出1個黑球和1個紅球的概率；⑶求至少摸出1個黑球的概率．

（XX崇文二模）在平面直角坐標系中，平面區(qū)域中的點的坐標滿足，從區(qū)域中隨機取點．⑴若，，求點位于第四象限的概率；⑵已知直線與圓相交所截得的弦長為，求的概率．

（XX西城一模）一個盒子中裝有張卡片，每張卡片上寫有個數(shù)字，數(shù)字分別是、、、．現(xiàn)從盒子中隨機抽取卡片．⑴若一次抽取張卡片，求張卡片上數(shù)字之和大于的概率；⑵若第一次抽張卡片，放回后再抽取張卡片，求兩次抽取中至少一次抽到數(shù)字的概率．

（XX海淀一模）某商場為吸引顧客消費推出一項優(yōu)惠活動．活動規(guī)則如下：消費每滿元可以轉(zhuǎn)動如圖所示的圓盤一次，其中為圓心，且標有元、元、元的三部分區(qū)域面積相等．假定指針停在任一位置都是等可能的．當指針停在某區(qū)域時，返相應(yīng)金額的優(yōu)惠券．（例如：某顧客消費了元，第一次轉(zhuǎn)動獲得了元，第二次獲得了元，則其共獲得了元優(yōu)惠券．）顧客甲和乙都到商場進行了消費，并按照規(guī)則參與了活動．

⑴若顧客甲消費了元，求他獲得優(yōu)惠券面額大于元的概率？⑵若顧客乙消費了元，求他總共獲得優(yōu)惠券金額不低于元的概率？

（XX石景山一模）為援助汶川災(zāi)后重建，對某項工程進行競標，共有家企業(yè)參與競標．其中企業(yè)來自遼寧省，、兩家企業(yè)來自福建省，、、三家企業(yè)來自河南?。隧椆こ绦枰獌杉移髽I(yè)聯(lián)合施工，假設(shè)每家企業(yè)中標的概率相同．⑴企業(yè)中標的概率是多少？⑵在中標的企業(yè)中，至少有一家來自河南省的概率是多少？

（XX湖北高考）投擲一枚均勻硬幣和一枚均勻骰子各一次，記“硬幣正面向上”為事件，“骰于向上的點數(shù)是3”為事件，則事件，中至少有一件發(fā)生的概率是A．B．C．D．

盒子中有大小相同的只小球，只黑球，若從中隨機地摸出兩只球，兩只球顏色不同的概率是．

（XX江西高考）一位國王的鑄幣大臣在每箱100枚的硬幣中各摻入了一枚劣幣，國王懷疑大臣作弊，他用兩種方法來檢測．方法一：在100箱中各任意檢查一枚；方法二：在5箱中各任意抽查兩枚．國王用方法一、二能發(fā)現(xiàn)至少一枚劣幣的概率分別為，則（）A．B．C．D．以上三種情況都有可能

（XX陜西卷高考）鐵礦石和的含鐵率，冶煉每萬噸鐵礦石的的排放量及每萬噸鐵礦石的價格如下表：（萬噸）（百萬元）136某冶煉廠至少要生產(chǎn)（萬噸）鐵，若要求的排放量不超過2（萬噸），則購買鐵礦石的最少費用為______（百萬元）．

甲、乙兩人進行擊劍比賽，甲獲勝的概率是，兩人戰(zhàn)平的概率是，那甲不輸?shù)母怕蕿開_______甲不獲勝的概率為_______．

已知是相互獨立事件，且，，則______．

某人射擊5槍，命中3槍，3槍中恰有2槍連中的概率為（）A． B． C． D．

袋中有大小相同的個白球和個黑球，從中任意摸出個，求下列事件發(fā)生的概率．⑴摸出個或個白球；⑵至少摸出一個黑球．

一批產(chǎn)品共件，其中件是廢品，任抽件進行檢查，求下列事件的概率．⑴件產(chǎn)品中至多有一件廢品；⑵件產(chǎn)品中至少有一件廢品．

（2009湖南卷文）為拉動經(jīng)濟增長，某市決定新建一批重點工程，分為基礎(chǔ)設(shè)施工程、民生工程和產(chǎn)業(yè)建設(shè)工程三類．這三類工程所含項目的個數(shù)分別占總數(shù)的，，．現(xiàn)有名工人獨立地從中任選一個項目參與建設(shè)．求：⑴他們選擇的項目所屬類別互不相同的概率⑵至少有人選擇的項目屬于民生工程的概率．

甲、乙二射擊運動員分別對一目標射擊次，甲射中的概率為，乙射中的概率為，求：⑴人都射中的概率？⑵人中有人射中的概率？

（2009全國卷Ⅰ文）甲、乙二人進行一次圍棋比賽，約定先勝局者獲得這次比賽的勝利，比賽結(jié)束．假設(shè)在一局中，甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，各局比賽結(jié)果相互獨立．已知前局中，甲、乙各勝局．⑴求再賽局結(jié)束這次比賽的概率；⑵求甲獲得這次比賽勝利的概率．

紡織廠某車間內(nèi)有三臺機器，這三臺機器在一天內(nèi)不需工人維護的概率：第一臺為，第二臺為，第三臺為，問一天內(nèi)：⑴臺機器都要維護的概率是多少？⑵其中恰有一臺要維護的概率是多少？⑶至少一臺需要維護的概率是多少？

從甲口袋摸出一個紅球的概率是，從乙口袋中摸出一個紅球的概率是，則是（）A．個球不都是紅球的概率B．個球都是紅球的概率C．至少有一個紅球的概率D．個球中恰好有個紅球的概率

甲、乙兩個人獨立地破譯一個密碼，他們能譯出密碼的概率分別為和，求：⑴兩個人都譯出密碼的概率；⑵兩個人都譯不出密碼的概率；⑶恰有個人譯出密碼的概率；⑷至多個人譯出密碼的概率；⑸至少個人譯出密碼的概率．

現(xiàn)時盛行的足球彩票，其規(guī)則如下：全部場足球比賽，每場比賽有種結(jié)果：勝、平、負，場比賽全部猜中的為特等獎，僅猜中場為一等獎，其它不設(shè)獎，則某人獲得特等獎的概率為．

從位同學（其中女，男）中，隨機選出位參加測驗，每位女同學能通過測驗的概率均為，每位男同學能通過測驗的概率均為，試求：⑴選出的3位同學中至少有一位男同學的概率；⑵10位同學中的女同學甲和乙及男同學丙同時被抽到，且三人中恰有二人通過測驗的概率．

（08天津）甲、乙兩個籃球運動員互不影響地在同一位置投球，命中率分別為與，且乙投球2次均未命中的概率為．⑴求乙投球的命中率；⑵求甲投球2次，至少命中1次的概率；⑶若甲、乙兩人各投球2次，求兩人共命中2次的概率．

甲盒中有紅、黑、白三種顏色的球各個，乙盒子中有黃、黑、白三種顏色的球各個，從兩個盒子中各取個球，求取出的兩個球是不同顏色的概率．

某商場有獎銷售中，購滿元商品得張獎券，多購多得．第張獎券為一個開獎單位，設(shè)特等獎個，一等獎個，二等獎個．設(shè)張獎券中特等獎、一等獎、二等獎的事件分別為，求：⑴；⑵張獎券的中獎概率；⑶張獎券不中特等獎且不中一等獎的概率．

把張卡片分別寫上后，任意疊放在一起，從中任取一張，設(shè)“抽到大于的奇數(shù)”為事件，“抽到小于的奇數(shù)”為事件，求，和．

甲、乙兩人下棋，乙不輸?shù)母怕适?，下成和棋的概率為，分別求出甲、乙獲勝的概率．

黃種人群中各種血型的人所占的比如下表所示：血型該血型的人所占比例（）已知同種血型的人可以輸血，型血可以輸給任一種血型的人，任何人的血都可以輸給型血的人，其他不同血型的人不能互相輸血．小明是型血，若小明因病需要輸血，問：⑴任找一個人，其血可以輸給小明的概率是多少？⑵任找一個人，其血不能輸給小明的概率是多少？

在袋中裝個小球，其中彩球有個紅色、個藍色、個黃色的，其余為白球．求：⑴如果從袋中取出個都是相同顏色彩球（無白色）的概率是，且，那么，袋中的紅球共有幾個？⑵根據(jù)⑴的結(jié)論，計算從袋中任取個小球至少有一個是紅球的概率．

某射手射擊一次射中環(huán)、環(huán)、環(huán)、環(huán)的概率分別為，計算這名射手射擊一次：⑴射中環(huán)或環(huán)的概率；⑵至少射中環(huán)的概率；⑶至多射中環(huán)的概率．

射擊運動員李強射擊一次擊中目標的概率是，他射擊次，恰好次擊中目標的概率是多少？

在條線路汽車經(jīng)過的車站上，有位乘客等候著路車的到來．假如汽車經(jīng)過該站的次數(shù)平均來說路車是相等的，而路車是其他各路車次數(shù)的總和．試求首先到站的汽車是這位乘客所需要線路的汽車的概率．

（2007年全國I卷文）某商場經(jīng)銷某商品，顧客可采用一次性付款或分期付款購買．根據(jù)以往資料統(tǒng)計，顧客采用一次性付款的概率是，經(jīng)銷一件該商品，若顧客采用一次性付款，商場獲得利潤元；若顧客采用分期付款，商場獲得利潤元．⑴求位購買該商品的顧客中至少有位采用一次性付款的概率；⑵求位位顧客每人購買件該商品，商場獲得利潤不超過元的概率．

（2007年全國II卷文）從某批產(chǎn)品中，有放回地抽取產(chǎn)品二次，每次隨機抽取件，假設(shè)事件：“取出的件產(chǎn)品中至多有件是二等品”的概率．⑴求從該批產(chǎn)品中任取件是二等品的概率；⑵若該批產(chǎn)品共件，從中任意抽取件，求事件：“取出的件產(chǎn)品中至少有一件二等品”的概率．

（2009全國卷Ⅰ文）甲、乙二人進行一次圍棋比賽，約定先勝局者獲得這次比賽的勝利，比賽結(jié)束．假設(shè)在一局中，甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，各局比賽結(jié)果相互獨立．已知前局中，甲、乙各勝局．⑴求再賽局結(jié)束這次比賽的概率；⑵求甲獲得這次比賽勝利的概率．

為防止某突發(fā)事件發(fā)生，有甲、乙、丙、丁四種相互獨立的預(yù)防措施可供采用，單獨采用甲、乙、丙、丁預(yù)防措施后此突發(fā)事件不發(fā)生的概率（記為）和所需費用如下表：預(yù)防措施甲乙丙丁費用（萬元）90603010預(yù)防方案可單獨采用一種預(yù)防措施或聯(lián)合采用幾種預(yù)防措施，在總費用不超過120萬元的前提下，請確定一個預(yù)防方案，使得此突發(fā)事件不發(fā)生的概率最大．

某售貨員負責在甲、乙、丙三個柜面上售貨．如果在某一小時內(nèi)各柜面不需要售貨員照顧的概率分別為．假定各個柜面是否需要照顧相互之間沒有影響，求在這個小時內(nèi)：⑴只有丙柜面需要售貨員照顧的概率；⑵三個柜面恰好有一個需要售貨員照顧的概率；⑶三個柜面至少有一個需要售貨員照顧的概率．

（2006年北京卷）某公司招聘員工，指定三門考試課程，有兩種考試方案．方案一：考試三門課程，至少有兩門及格為考試通過；方案