中考數(shù)學(xué)尺規(guī)作圖初等平面幾何研究的對(duì)象，僅限于直線(xiàn)、圓以及由它們（或一部分）所組成的圖形，因此作圖的工具，習(xí)慣上使用沒(méi)有刻度的直尺和圓規(guī)兩種.限用直尺和圓規(guī)來(lái)完成的作圖方法，叫做尺規(guī)作圖法.最簡(jiǎn)單的尺規(guī)作圖有如下三條：⑴經(jīng)過(guò)兩已知點(diǎn)可以畫(huà)一條直線(xiàn)；⑵已知圓心和半徑可以作一圓；⑶兩已知直線(xiàn)；一已知直線(xiàn)和一已知圓；或兩已知圓，如果相交，可以求出交點(diǎn)；以上三條，叫做作圖公法.用直尺可以畫(huà)出第一條公法所說(shuō)的直線(xiàn)；用圓規(guī)可以作出第二條公法所說(shuō)的圓；用直尺和圓規(guī)可以求得第三條公法所說(shuō)的交點(diǎn).一個(gè)作圖題，不管多么復(fù)雜，如果能反復(fù)應(yīng)用上述三條作圖公法，經(jīng)過(guò)有限的次數(shù)，作出適合條件的圖形，這樣的作圖題就叫做尺規(guī)作圖可能問(wèn)題；否則，就稱(chēng)為尺規(guī)作圖不能問(wèn)題.歷史上，最著名的尺規(guī)作圖不能問(wèn)題是：⑴三等分角問(wèn)題：三等分一個(gè)任意角；⑵倍立方問(wèn)題：作一個(gè)立方體，使它的體積是已知立方體的體積的兩倍；⑶化圓為方問(wèn)題：作一個(gè)正方形，使它的面積等于已知圓的面積還有另外兩個(gè)著名問(wèn)題：⑴正多邊形作法只使用直尺和圓規(guī)，作正五邊形.只使用直尺和圓規(guī)，作正六邊形.只使用直尺和圓規(guī)，作正七邊形一一這個(gè)看上去非常簡(jiǎn)單的題目，曾經(jīng)使許多著名數(shù)學(xué)家都束手無(wú)策，因?yàn)檎哌呅问遣荒苡沙咭?guī)作出的.只使用直尺和圓規(guī)，作正九邊形，此圖也不能作出來(lái)，因?yàn)閱斡弥背吆蛨A規(guī)，是不足以把一個(gè)角分成三等份的.問(wèn)題的解決：高斯，大學(xué)二年級(jí)時(shí)得出正十七邊形的尺規(guī)作圖法，并給出了可用尺規(guī)作圖的正多邊形的條件：尺規(guī)作圖正多邊形的邊數(shù)目必須是2的非負(fù)整數(shù)次方和不同的費(fèi)馬素?cái)?shù)的積，解決了兩千年來(lái)懸而未決的難題.⑵四等分圓周只準(zhǔn)許使用圓規(guī)，將一個(gè)已知圓心的圓周4等分.這個(gè)問(wèn)題傳言是拿破侖波拿巴出的，向全法國(guó)數(shù)學(xué)家的挑戰(zhàn).五種基本作圖：初中數(shù)學(xué)的五種基本尺規(guī)作圖為：1.做一線(xiàn)段等于已知線(xiàn)段2.做一角等于已知角3.做一角的角平分線(xiàn)4.過(guò)一點(diǎn)做一已知線(xiàn)段的垂線(xiàn)5.做一線(xiàn)段的中垂線(xiàn)幾種常見(jiàn)的尺規(guī)作圖方法：⑴軌跡交點(diǎn)法：解作圖題的一種常見(jiàn)方法.解作圖題常歸結(jié)到確定某一個(gè)點(diǎn)的位置.如果這兩個(gè)點(diǎn)的位置是由兩個(gè)條件確定的，先放棄其中一個(gè)條件，那么這個(gè)點(diǎn)的位置就不確定而形成一個(gè)軌跡；若改變放棄另一個(gè)條件，這個(gè)點(diǎn)就在另一條軌跡上，故此點(diǎn)便是兩個(gè)軌跡的交點(diǎn)這個(gè)利用軌跡的交點(diǎn)來(lái)解作圖題的方法稱(chēng)為軌跡交點(diǎn)法，或稱(chēng)交軌法、軌跡交截法、軌跡法【例1】電信部門(mén)要修建一座電視信號(hào)發(fā)射塔，如下圖，按照設(shè)計(jì)要求，發(fā)射塔到兩個(gè)城鎮(zhèn)A、B的距離必須相等，到兩條高速公路m、n的距離也必須相等，發(fā)射塔P應(yīng)修建在什么位置？mm【例2】在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)是(4,0),0是坐標(biāo)原點(diǎn)，在直線(xiàn)y=%+3上求一點(diǎn)P，使AAOP是等腰三角形，這樣的P點(diǎn)有幾個(gè)？【例3】設(shè)。O與。O相離，半徑分別為R與R,求作半徑為r的圓，使其與。0及。O外切.⑵代數(shù)作圖法：解作圖題時(shí)，往往首先歸納為求出某一線(xiàn)段長(zhǎng)，而這線(xiàn)段長(zhǎng)的表達(dá)式能用代數(shù)方法求出，然后根據(jù)線(xiàn)段長(zhǎng)的表達(dá)式設(shè)計(jì)作圖步驟用這種方法作圖稱(chēng)為代數(shù)作圖法.【例4】只用圓規(guī)，不許用直尺，四等分圓周(已知圓心).【例5】求作一正方形，使其面積等于已知AABC的面積.

【例6】在已知直線(xiàn)/上求作一點(diǎn)M，使得過(guò)M作已知半徑為r的。0的切線(xiàn)，其切線(xiàn)長(zhǎng)為a.a⑶旋轉(zhuǎn)法作圖：有些作圖題，需要將某些幾何元素或圖形繞某一定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)適當(dāng)角度，以使已知圖形與所求圖形發(fā)生聯(lián)系，從而發(fā)現(xiàn)作圖途徑.【例7】已知：直線(xiàn)a、b、c,且a〃b〃c.求作：正AABC,使得A、B、C三點(diǎn)分別在直線(xiàn)a、b、c上.變式：如圖，在^ABC中，ZBAC=60°,ZABC=90°,直線(xiàn)11〃12〃13,11與12之間距離是1,12與13之間距離是2.且11,12,13分別經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,B,C,則邊AC的長(zhǎng)為 .【例8】已知：如圖，P為ZA0B角平分線(xiàn)0M上一點(diǎn).求作：APCD，使得/P=90。，PC=PD，且C在0A上，D在0B上.

B⑷位似法作圖：利用位似變換作圖，要作出滿(mǎn)足某些條件的圖形，可以先放棄一兩個(gè)條件，作出與其位似的圖形，然后利用位似變換，將這個(gè)與其位似得圖形放大或縮小，以滿(mǎn)足全部條件，從而作出滿(mǎn)足全部的條件.【例9】已知：一銳角AABC.求作:一正方形DEFG，使得D、E在BC邊上，F(xiàn)在AC邊上，G在AB邊上.⑸面積割補(bǔ)法作圖：對(duì)于等積變形的作圖題，通常在給定圖形或某一確定圖形上割下一個(gè)三角形，再借助平行線(xiàn)補(bǔ)上一個(gè)等底等高的另一個(gè)三角形，使面積不變，從而完成所作圖形【例10］如圖，過(guò)AABC的底邊BC上一定點(diǎn)，P，求作一直線(xiàn)l，使其平分AABC的面積.【例11］如圖：五邊形ABCDE可以看成是由一個(gè)直角梯形和一個(gè)矩形構(gòu)成⑴請(qǐng)你作一條直線(xiàn)1,使直線(xiàn)l平分五邊形ABCDE的面積；⑵這樣的直線(xiàn)有多少條？請(qǐng)你用語(yǔ)言描述出這樣的直線(xiàn).【例12］如圖1,點(diǎn)C將線(xiàn)段AB分成兩部分，如果AC=BC，那么稱(chēng)點(diǎn)C為線(xiàn)段AB的黃金分割點(diǎn).ABAC某研究小組在進(jìn)行課題學(xué)習(xí)時(shí)，由黃金分割點(diǎn)聯(lián)想到〃黃金分割線(xiàn)〃，類(lèi)似地給出〃黃金分割線(xiàn)〃的定義：直線(xiàn)l將一個(gè)面積為S的圖形分成兩部分，這兩部分的面積分別為S,S，如果工二土，那么稱(chēng)直線(xiàn)12 SS1l為該圖形的黃金分割線(xiàn).⑴研究小組猜想：在△ABC中，若點(diǎn)D為AB邊上的黃金分割點(diǎn)（如圖2），則直線(xiàn)CD是^ABC的黃金分割線(xiàn).你認(rèn)為對(duì)嗎？為什么？⑵請(qǐng)你說(shuō)明：三角形的中線(xiàn)是否也是該三角形的黃金分割線(xiàn)？⑶研究小組在進(jìn)一步探究中發(fā)現(xiàn)：過(guò)點(diǎn)C任作一條直線(xiàn)交AB于點(diǎn)E,再過(guò)點(diǎn)D作直線(xiàn)DF//CE,交AC于點(diǎn)F，連接EF（如圖3），則直線(xiàn)EF也是△ABC的黃金分割線(xiàn).請(qǐng)你說(shuō)明理由.⑷如圖4，點(diǎn)E是.BCD的邊AB的黃金分割點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作EF/AD,交DC于點(diǎn)F,顯然直線(xiàn)EF是DABCD的黃金分割線(xiàn).請(qǐng)你畫(huà)一條口ABCD的黃金分割線(xiàn)，使它不經(jīng)過(guò)DABCD各邊黃金分割點(diǎn).歷年考題：1、如圖，已知矩形ABCD,AB=4,BC=5,請(qǐng)用尺規(guī)作圖畫(huà)出符合要求的圖形，并標(biāo)注必要的字母及結(jié)論（保留痕跡）（1）在圖1的矩形中畫(huà)出面積最大的菱形。（2）我們通常將長(zhǎng)與寬之比為丁2：1的矩形稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)矩形，黃金矩形"'5-1：22、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，有A,B兩點(diǎn)，請(qǐng)?jiān)趚軸上找一點(diǎn)C,將AABC沿AC翻折，使點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D恰好落在x軸上。（1）利用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)在圖中找出所有符合條件的點(diǎn)C；（保留痕跡）（2）若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1,4）,點(diǎn)B的坐標(biāo)為（5,2）,求出C的坐標(biāo)。

3、（1）如圖，已知EK垂直平分BC,垂足為D,AB與EK交于點(diǎn)F,連接CF,求證：NAFE=NCFD；（2）如圖，在RtAGMN中，NM=90°,P為線(xiàn)段MN上的點(diǎn)，（a）用直尺圓規(guī)在GN邊上求作點(diǎn)Q,使得/GQM=NPQN（保留痕跡）（b）在（a）的條件下，如果NG=60°,GM=3,P為MN中點(diǎn)，求MQ的長(zhǎng)度。4、如圖，已知等邊AABC,請(qǐng)用直尺（不帶刻度）和圓規(guī)，按下列要求作圖（不要求寫(xiě)作法，但要保留作圖痕跡）：（1）作4ABC的外心O；（2）設(shè)D是AB邊上一點(diǎn)，在圖中作出一個(gè)正六邊形DEFGHI,使點(diǎn)尸，點(diǎn)H分別在邊BC和AC上.5、求作一正方形，使其面積等于已知ABC的面積.6、如圖，在等腰4ABC中，AB=AC,D、E分別為AB、AC上的定點(diǎn).（1）請(qǐng)用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)按要求作圖（不寫(xiě)作法，但保留作圖痕跡）①過(guò)點(diǎn)D作BC的平行線(xiàn)交AC于點(diǎn)F,②在BC邊上找出點(diǎn)P,使得△BDPs^CPE；（2）在（1）的條件下，若BD=2,CE=4,BC=6,貝UBP=.

7、如圖，AABC是等腰三角形，AB=BC,^D為BC的中點(diǎn)。用圓規(guī)和沒(méi)有刻度的直尺作圖，并保留作圖痕跡：a、過(guò)點(diǎn)B作AC的平行線(xiàn)BP；b、過(guò)點(diǎn)D作BP的垂線(xiàn)，分別交AC,BP,BQ于點(diǎn)E、F、G。8、如何作圓內(nèi)接正三角形、正方形、正六邊形?9、如圖，AAB