..全等三角形問題中常見的輔助線的作法常見輔助線的作法有以下幾種：遇到三角形的中線,倍長中線,使延長線段與原中線長相等,構造全等三角形,利用的思維模式是全等變換中的"旋轉"．截長法與補短法,具體做法是在某條線段上截取一條線段與特定線段相等,或是將某條線段延長,是之與特定線段相等,再利用三角形全等的有關性質加以說明．這種作法適合于證明線段的和、差、倍、分等類的題目．遇到等腰三角形,可作底邊上的高,利用"三線合一"的性質解題,思維模式是全等變換中的"對折"．遇到角平分線,可以自角平分線上的某一點向角的兩邊作垂線,利用的思維模式是三角形全等變換中的"對折",所考知識點常常是角平分線的性質定理或逆定理．過圖形上某一點作特定的平分線,構造全等三角形,利用的思維模式是全等變換中的"平移"或"翻轉折疊"特殊方法：在求有關三角形的定值一類的問題時,常把某點到原三角形各頂點的線段連接起來,利用三角形面積的知識解答．倍長中線〔線段造全等例1.已知：如圖3所示,AD為△ABC的中線,求證：AB+AC>2AD。分析：要證AB+AC>2AD,由圖形想到：AB+BD>AD,AC+CD>AD,所以有：AB+AC+BD+CD>AD+AD=2AD,但它的左邊比要證結論多BD+CD,故不能直接證出此題,而由2AD想到要構造2AD,即加倍中線,把所要證的線段轉移到同一個三角形中去。證明：延長AD至E,使DE=AD,連接BE,CE。3圖例3、如圖,△ABC中,BD=DC=AC,E是DC的中點,求證：AD平分∠BAE.因為BD=DC=AC,所以AC=1/2BC因為E是DC中點,所以EC=1/2DC=1/2AC∠ACE=∠BCA,所以△BCA∽△ACE所以∠ABC=∠CAE因為DC=AC,所以∠ADC=∠DAC∠ADC=∠ABC+∠BAD所以∠ABC+∠BAD=∠DAE+∠CAE所以∠BAD=∠DAE即AD平分∠BAE應用：二、截長補短例1.已知：如圖1所示,AD為△ABC的中線,且∠1=∠2,∠3=∠4。求證：BE+CF>EF。分析：要證BE+CF>EF,可利用三角形三邊關系定理證明,須把BE,CF,EF移到同一個三角形中,而由已知∠1=∠2,∠3=∠4,可在角的兩邊截取相等的線段,利用全等三角形的對應邊相等,把EN,FN,EF移到同個三角形中。證明：在DN上截取DN=DB,連接NE,NF。延長FD到G,使DG=FD,再連結EG,BG1、如圖,中,AB=2AC,AD平分,且AD=BD,求證：CD⊥AC證明：取AB中點E,連接DE∵AD=BD∴DE⊥AB,即∠AED=90o[等腰三角形三線合一]∵AB=2AC∴AE=AC又∵∠EAD=∠CAD[AD平分∠BAC]AD=AD∴⊿AED≌⊿ACD〔SAS∴∠C=∠AED=90o∴CD⊥AC2、如圖,AC∥BD,EA,EB分別平分∠CAB,∠DBA,CD過點E,求證;AB＝AC+BD在AB上取點N,使得AN=AC∠CAE=∠EAN,AE為公共邊,所以三角形CAE全等三角形EAN所以∠ANE=∠ACE又AC平行BD所以∠ACE+∠BDE=180而∠ANE+∠ENB=180所以∠ENB=∠BDE∠NBE=∠EBNBE為公共邊,所以三角形EBN全等三角形EBD所以BD=BN所以AB=AN+BN=AC+BD3、如圖,已知在內,,,P,Q分別在BC,CA上,并且AP,BQ分別是,的角平分線。求證：BQ+AQ=AB+BP證明：做輔助線PM‖BQ,與QC相交與M?！彩紫人闱甯鹘堑亩葦?shù)∵∠APB=180°—∠BAP—∠ABP=180°—30°—80°=70°且∠APM=180°—∠APB—∠MPC=180°—70°—∠QBC〔同位角相等=180°—70°—40°=70°∴∠APB=∠APM又∵AP是BAC的角平分線,∴∠BAP=∠MAPAP是公共邊∴△ABP≌△AMP<角邊角∴AB=AM,BP=MP在△MPC中,∠MCP=∠MPC=40°∴MP=MC∴AB+BP=AM+MP=AM+MC=AC在△QBC中∵∠QBC=QCB=40°∴BQ=QC∴BQ+AQ=AQ+QC=AC∴BQ+AQ=AB+BP4、角平分線如圖,在四邊形ABCD中,BC＞BA,AD＝CD,BD平分,求證：延長BA,作DF⊥BA的延長線,作DE⊥BC∵∠1=∠2∴DE=DF〔角分線上的點到角的兩邊距離相等∴在Rt△DFA與Rt△DEC中｛AD=DC,DF=DE}∴Rt△DFA≌Rt△DEC〔HL>∴∠3=∠C因為∠4+∠3=180°∴∠4+∠C=180°即∠A+∠C=180°?5、如圖在△ABC中,AB＞AC,∠1＝∠2,P為AD上任意一點,求證;AB-AC＞PB-PC延長AC至E,使AE=AB,連結PE。然后證明一下△ABP≌AEP得到PB=PE備用〔角邊角證很容易吧~△PCE中,EC>PE-PC∵EC=AE-AC,AE=AB∴EC=AB-AC又PB=PE∴PE-PC=PB-PC∴AB-AC>PB-PC應用：三、平移變換例1AD為△ABC的角平分線,直線MN⊥AD于A.E為MN上一點,△ABC周長記為,△EBC周長記為.求證＞.例2如圖,在△ABC的邊上取兩點D、E,且BD=CE,求證：AB+AC>AD+AE.四、借助角平分線造全等1、如圖,已知在△ABC中,∠B=60°,△ABC的角平分線AD,CE相交于點O,求證：OE=OD在AC上取點F,使AF=AE∵AD是角A的平分線∴角EAO＝角FAE/∵AO=AO∴三角形AEO與AFO全等〔兩邊夾角相等∴EO=FO,角AOE＝角AOF∵CE是角C的平分線∴角DCO＝角FCO∵角B＝60°∴角A+角C＝180－60＝120°∴角COD=角CAO＋角OCA＝角A/2＋角C/2＝60度∴角OCF＝180－角AOF-角COD＝180－60－60＝60°∴角OCF＝角COD∵OC=OC∴三角形OCD與CFO全等〔兩邊夾角相等∴CF=CD∴AC=AF+CF＝AE+CD即：AE+CD=AC2、如圖,△ABC中,AD平分∠BAC,DG⊥BC且平分BC,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F.〔1說明BE=CF的理由；〔2如果AB=,AC=,求AE、BE的長.證明：連接BD,CDDG⊥BC于G且平分BC所以GD為BC垂直平分線垂直平分線上的點到線段兩端點距離相等BD=CD角平分線上的點到角兩邊距離相等,AD平分∠BAC,DE⊥AB于E,DF⊥AC的延長線于F所以DE=DF在RT△BED,RT△CFD中DE=DFBD=CDRT△BED≌RT△CFD<HL>BE=CF應用：五、旋轉例1正方形ABCD中,E為BC上的一點,F為CD上的一點,BE+DF=EF,求∠EAF的度數(shù).將三角形ADF繞點A順時針旋轉90度,至三角形ABG則GE=GB+BE=DF+BE=EF又AE=AE,AF=AG,所以三角形AEF全等于AEG所以∠EAF=∠GAE=∠BAE+∠GAB=∠BAE+∠DAF又∠EAF+∠BAE+∠DAF=90所以∠EAF=45度例2D為等腰斜邊AB的中點,DM⊥DN,DM,DN分別交BC,CA于點E,F。當繞點D轉動時,求證DE=DF。若AB=2,求四邊形DECF的面積。做DP⊥BC,垂足為P,做DQ⊥AC,垂足為Q∵D為中點,且△ABC為等腰RT△ABC∴DP=DQ=?BC=?AC又∵∠FDQ=∠PDE<旋轉∠DQF=∠DPE=90°∴△DQF≌△DPE∴S△DQF=S△DPE又∵S四邊形DECF=S四邊形DFCP+S△DPE∴S四邊形DECF=S