第二節(jié)命題及其關(guān)系、充分條件與必要條件必備知識—基礎(chǔ)落實關(guān)鍵能力—考點突破微專題·最新考綱·1．理解命題的概念．2．了解“若p，則q”形式的命題的逆命題、否命題與逆否命題，會分析四種命題的相互關(guān)系．3．理解充分條件、必要條件與充要條件的含義．

·考向預(yù)測·考情分析：命題的真假判斷和充分必要條件仍是高考熱點，題型仍為選擇、填空題．學(xué)科素養(yǎng)：通過四種命題的關(guān)系及充分、必要條件的判斷考查邏輯推理的核心素養(yǎng)．必備知識—基礎(chǔ)落實一、必記3個知識點1．命題用語言、符號或式子表達(dá)的，可以________的陳述句叫做命題，其中________的語句叫做真命題，________的語句叫做假命題．2．四種命題及其相互關(guān)系(1)四種命題間的相互關(guān)系判斷真假判斷為真判斷為假若q，則p若?p，則?q若?q，則?p(2)四種命題的真假關(guān)系①兩個命題互為逆否命題，它們具有________的真假性；②兩個命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性________．相同沒有關(guān)系3．充分條件、必要條件與充要條件若p?q，則p是q的________條件，q是p的________條件p成立的對象的集合為A，q成立的對象的集合為Bp是q的__________條件p?q且qpA是B的________p是q的__________條件pq且q?pB是A的________p是q的__________條件p?q________p是q的______________條件pq且qpA，B互不________充分必要充分不必要真子集必要不充分真子集充要A＝B既不充分也不必要包含二、必明2個常用結(jié)論1．四種命題間的真假關(guān)系(1)兩個命題互為逆否命題，它們的真假性相同．(2)兩個命題互為逆命題或者互為否命題，它們的真假性沒有關(guān)系．2．充分條件與必要條件的兩個特征(1)對稱性：若p是q的充分條件，則q是p的必要條件．(2)傳遞性：若p是q的充分(必要)條件，q是r的充分(必要)條件，則p是r的充分(必要)條件，即“p?q，且q?r”?“p?r”(“p?q，且q?r”?“p?r”)．三、必練4類基礎(chǔ)題(一)判斷正誤1．判斷下列說法是否正確(請在括號中打“√”或“×”)．(1)“x－3>0”是命題．(

)(2)一個命題非真即假．(

)(3)命題“若p，則q”的否命題是“若p，則?q”．(

)(4)若原命題為真，則這個命題的否命題、逆命題、逆否命題中至少有一個為真．(

)(5)當(dāng)q是p的必要條件時，p是q的充分條件．(

)(6)命題“若p不成立，則q不成立”等價于“若q成立，則p成立”．(

)×√×√√√(二)教材改編2．[選修2－1·P8習(xí)題A組T2改編]命題“若a>b，則a＋c>b＋c”的否命題是(

)A．若a≤b，則a＋c≤b＋cB．若a＋c≤b＋c，則a≤bC．若a＋c>b＋c，則a>bD．若a>b，則a＋c≤b＋c答案：A解析：命題的否命題是將原命題的條件、結(jié)論都否定，故題中命題的否命題是“若a≤b，則a＋c≤b＋c”．3．[選修2－1·P10練習(xí)T3改編]“(x－1)(x＋2)＝0”是“x＝1”的(

)A．充分不必要條件

B．必要不充分條件C．充要條件

D．既不充分也不必要條件答案：B解析：若x＝1，則(x－1)(x＋2)＝0顯然成立，但反之不成立，即若(x－1)(x＋2)＝0，則x的值也可能為－2.

答案：B

5．(忽視大前提)已知命題“對任意a，b∈R，若ab>0，則a>0”，則它的否命題是__________________________．對任意a，b∈R，若ab≤0，則a≤0.6．(忽視等號的選取)已知p：x>a，q：x≥2.(1)若p是q的充分不必要條件，則實數(shù)a的取值范圍是________；(2)若p是q的必要不充分條件，則實數(shù)a的取值范圍是________．a(chǎn)≥2a<2解析：(1)因為p是q的充分不必要條件，所以{x|x>a}

{x|x≥2}，則實數(shù)a的取值范圍是a≥2.(2)因為p是q的必要不充分條件，所以{x|x≥2}

{x|x>a}，則實數(shù)a的取值范圍是a<2.(四)走進(jìn)高考7．[2021·浙江卷]已知非零向量a，b，c，則“a·c＝b·c”是“a＝b”的(

)A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件答案：B解析：若a·c＝b·c，則(a－b)·c＝0，推不出a＝b；若a＝b，則a·c＝b·c必成立，故“a·c＝b·c”是“a＝b”的必要不充分條件．關(guān)鍵能力—考點突破考點一命題及其關(guān)系[基礎(chǔ)性]1．已知命題p：正數(shù)a的平方不等于0，命題q：若a不是正數(shù)，則它的平方等于0，則q是p的(

)A．逆命題

B．否命題C．逆否命題 D．否定答案：B解析：“正數(shù)a的平方不等于0”即“若a是一個正數(shù)，則它的平方不等于0”，其否命題為“若a不是正數(shù)，則它的平方等于0”．故選B.2．對于命題“單調(diào)函數(shù)不是周期函數(shù)”，下列說法正確的是(

)A．逆命題為“周期函數(shù)不是單調(diào)函數(shù)”B．否命題為“單調(diào)函數(shù)是周期函數(shù)”C．逆否命題為“周期函數(shù)是單調(diào)函數(shù)”D．以上都不正確答案：D解析：根據(jù)四種命題的構(gòu)成可知，選項A，B，C均不正確．故選D.3．下列命題中為真命題的是(

)A．mx2＋2x－1＝0是一元二次方程B．拋物線y＝ax2＋2x－1與x軸至少有一個交點C.互相包含的兩個集合相等D．空集是任何集合的真子集答案：C解析：A是假命題，當(dāng)m＝0時，mx2＋2x－1＝0不是一元二次方程；B是假命題，當(dāng)a＝－2時，拋物線y＝ax2＋2x－1與x軸無交點；C是真命題，即若A?B，B?A則A＝B；D是假命題，空集是任何非空集合的真子集．反思感悟判斷命題真假的方法(1)直接判斷：判斷一個命題為真命題，要給出嚴(yán)格的推理證明；說明一個命題是假命題，只需舉出一個反例即可．(2)間接判斷：根據(jù)“原命題與逆否命題同真同假，逆命題與否命題同真同假”這一性質(zhì)，當(dāng)一個命題直接判斷不易進(jìn)行時，可轉(zhuǎn)化為判斷其逆否命題的真假．[提醒]

寫一個命題的其他三種命題時，需注意：(1)對于不是“若p，則q”形式的命題，需先改寫；(2)當(dāng)命題有大前提時，寫其他三種命題時需保留大前提．考點二充分條件與必要條件的判定[綜合性][例1]

(1)已知空間中不過同一點的三條直線l，m，n.“l(fā)，m，n共面”是“l(fā)，m，n兩兩相交”的(

)A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件答案：B

(2)[2020·北京卷]已知α，β∈R，則“存在k∈Z使得α＝kπ＋(－1)kβ”是“sinα＝sinβ”的(

)A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件答案：C解析：若存在k∈Z使得α＝kπ＋(－1)kβ，則當(dāng)k＝2n(n∈Z)，α＝2nπ＋β，有sinα＝sin(2nπ＋β)＝sinβ；當(dāng)k＝2n＋1(n∈Z)，α＝(2n＋1)π－β，有sinα＝sin[(2n＋1)π－β]＝sinβ.若sinα＝sinβ，則α＝2kπ＋β或α＝2kπ＋π－β(k∈Z)，即α＝kπ＋(－1)kβ(k∈Z)．反思感悟充要條件的三種判斷方法(1)定義法：根據(jù)p?q，q?p進(jìn)行判斷．(2)集合法：根據(jù)使p，q成立的對象的集合之間的包含關(guān)系進(jìn)行判斷．(3)等價轉(zhuǎn)化法：根據(jù)一個命題與其逆否命題的等價性，把要判斷的命題轉(zhuǎn)化為其逆否命題進(jìn)行判斷．這個方法特別適合以否定形式給出的問題．

答案：A

2．已知條件p：x＋y≠－2，條件q：x，y不都是－1，則p是q的(

)A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件答案：A解析：因為p：x＋y≠－2，q：x≠－1或y≠－1，所以?p：x＋y＝－2，?q：x＝－1且y＝－1，因為?q??p，但?p?q，所以?q是?p的充分不必要條件，即p是q的充分不必要條件．考點三充分、必要條件的應(yīng)用[應(yīng)用性][例2]

已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要條件，求實數(shù)m的取值范圍．

一題多變1．(變條件)例2條件不變，問是否存在實數(shù)m，使x∈P是x∈S的充要條件？并說明理由．

2．(變條件)若例2變成設(shè)p：P＝{x|x2－8x－20≤0}，q：非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}，且?p是?q的必要不充分條件，求實數(shù)m的取值范圍．

反思感悟1．根據(jù)充分、必要條件求解參數(shù)取值范圍需抓住“兩”關(guān)鍵(1)把充分、必要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系．(2)根據(jù)集合之間的關(guān)系列出關(guān)于參數(shù)的不等式(組)求解．2．解題時要注意區(qū)間端點值的檢驗．尤其是利用兩個集合之間的關(guān)系求解參數(shù)的取值范圍時，不等式是否能夠取等號決定端點值的取舍，處理不當(dāng)容易出現(xiàn)漏解或增解的現(xiàn)象.【對點訓(xùn)練】設(shè)p：ln(2x－1)≤0，q：(x－a)[x－(a＋1)]≤0，若q是p的必要不充分條件，則實數(shù)a的取值范圍是________．

微專題

答案：A

名師點評本例將“?p是?q的必要而不充分條件”轉(zhuǎn)化為“p是q的充分而不必要條件”；將p、q之間的條件關(guān)系轉(zhuǎn)化為相應(yīng)集合之間的包含關(guān)系，使抽象問題直觀化、復(fù)雜問題簡單化，體現(xiàn)了等價轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．[變式訓(xùn)練1]

王昌齡《從軍行》中兩句詩為“黃沙百戰(zhàn)穿金甲，不破樓蘭終不還”，其中后一句中“攻破樓蘭”是“返回家鄉(xiāng)”的(

)A．充分條件B．必要條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件答案：B解析：“攻破樓蘭”不一定“返回家鄉(xiāng)”，但“返回家鄉(xiāng)”一定是“攻破樓蘭”，故“攻破樓蘭”是“返回家鄉(xiāng)”的必要而不充分條件．[變式訓(xùn)練2]

命題“對任意x∈[1，2)，x2－a≤0”為真命題的一個充分不必要條件可以是(

)A．a(chǎn)≥4B．a(chǎn)>4C．a(chǎn)≥1D．a(chǎn)>1答案：B解析：要使“對任意x∈[1，2)，x2－a≤0”為真命題，只需要a≥4，所以a>4是命題為真的充分不必要條件．第三節(jié)簡單的邏輯聯(lián)結(jié)詞、全稱量詞與存在量詞必備知識—基礎(chǔ)落實關(guān)鍵能力—考點突破微專題·最新考綱·1．了解邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”“且”“非”的含義．2．理解全稱量詞和存在量詞的意義．3．能正確地對含有一個量詞的命題進(jìn)行否定．

·考向預(yù)測·考情分析：邏輯聯(lián)結(jié)詞和含有一個量詞的命題的否定是高考考查點，題型仍將是選擇題或填空題．學(xué)科素養(yǎng)：通過判斷命題的真假考查邏輯推理及數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)．必備知識—基礎(chǔ)落實一、必記3個知識點1．簡單的邏輯聯(lián)結(jié)詞(1)常用的簡單的邏輯聯(lián)結(jié)詞有“________”“________”“________”．(2)命題p∧q、p∨q、?p的真假判斷[提醒]

“命題的否定”與“否命題”的區(qū)別(1)命題的否定只是否定命題的結(jié)論，而否命題既否定其條件，也否定其結(jié)論；(2)命題的否定與原命題的真假總是相對立的，即一真一假，而否命題與原命題的真假無必然聯(lián)系．pqp∧qp∨q?p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真且或非2．全稱量詞和存在量詞3.含有一個量詞的命題的否定二、必明1個常用結(jié)論命題真假的判斷口訣p∨q→見真即真，p∧q→見假即假，p與?p→真假相反．量詞名稱常見量詞符號表示全稱量詞所有、一切、任意、全部、每一個等____存在量詞存在一個、至少有一個、有些、某些等____命題命題的否定?x∈M，p(x)____________?x0∈M，p(x0)____________???x0∈M，?p(x0)?x∈M，?p(x)三、必練4類基礎(chǔ)題(一)判斷正誤1．判斷下列說法是否正確(請在括號中打“√”或“×”)．(1)若命題p∧q為假命題，則命題p，q都是假命題．(

)(2)命題p和?p不可能都是真命題．(

)(3)若命題p，q至少有一個是真命題，則p∨q是真命題．(

)(4)若命題?(p∧q)是假命題，則命題p，q中至多有一個是真命題．(

)(5)“長方形的對角線相等”是特稱命題．(

)×√√××

答案：B解析：由全稱命題的否定是特稱命題知選項B正確．

?x∈R，x2－ax＋1≥0

(三)易錯易混4．(不會利用真值表判斷命題的真假)已知命題p：所有有理數(shù)都是實數(shù)，命題q：正數(shù)的對數(shù)都是負(fù)數(shù)，則下列命題中為真命題的是(

)A.(?p)∨q

B．p∧qC.(?p)∧(?q) D．(?p)∨(?q)答案：D解析：由于命題p為真命題，命題q為假命題，所以?p為假命題，?q為真命題，故只有(?p)∨(?q)為真命題．5．(混淆否命題與命題的否定)命題“所有奇數(shù)的立方都是奇數(shù)”的否定是____________________________．存在一個奇數(shù)，它的立方不是奇數(shù)(四)走進(jìn)高考6．[2021·全國乙卷理]已知命題p：?x∈R，sinx＜1；命題q：?x∈R，e|x|≥1，則下列命題中為真命題的是(

)A.p∧q

B．?p∧q

C．p∧?q

D．?(p∨q)答案：A解析：由正弦函數(shù)的圖象及性質(zhì)可知，存在x∈R使得sinx<1，所以命題p為真命題．對任意的x∈R，均有e|x|≥e0＝1成立，故命題q為真命題，所以命題p∧q為真命題．關(guān)鍵能力—考點突破考點一全稱命題與特稱命題[綜合性]角度1含有一個量詞的命題的否定[例1]

(1)[2022·山東菏澤一模]命題：“?x∈R，x2≥0”的否定是(

)A．?x∈R，x2≥0B．?x∈R，x2<0C．?x∈R，x2<0D．?x∈R，x2≤0答案：C

解析：因為全稱命題的否定是特稱命題，所以命題：“?x∈R，x2≥0”的否定是“?x∈R，x2<0”．

答案：B

答案：D

反思感悟1．全稱命題與特稱命題的否定(1)改寫量詞：確定命題所含量詞的類型，省去量詞的要結(jié)合命題的含義加上量詞，再對量詞進(jìn)行改寫．(2)否定結(jié)論：對原命題的結(jié)論進(jìn)行否定．2．全(特)稱命題真假的判斷方法全稱命題(1)要判斷一個全稱命題是真命題，必須對限定的集合M中的每一個元素x，證明p(x)成立；(2)要判斷一個全稱命題是假命題，只要能舉出集合M中的一個特殊值x＝x0，使p(x0)不成立即可．特稱命題要判斷一個特稱命題是真命題，只要在限定的集合M中，找到一個x＝x0，使p(x0)成立即可，否則這一特稱命題就是假命題．

答案：D解析：命題p：?x>0，－x2＋x>0的否定是?x>0，－x2＋x≤0.2．[2022·山東德州市高三模擬]已知命題p：?x>0，ln(x＋1)>0，則?p為(

)A.?x>0，ln(x＋1)≤0B.?x0>0，ln(x0＋1)≤0C.?x<0，ln(x＋1)≤0D.?x0≤0，ln(x0＋1)≤0答案：B解析：對命題否定時，全稱量詞改成存在量詞，即?x0>0，ln(x0＋1)≤0.

答案：C

考點二含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題真假的判斷[綜合性][例3]

(1)[2022·寧夏吳忠一模]已知命題p：“x>2”是“x2－3x＋2≥0”的充分不必要條件；命題q：?x∈R，x2＋2x＋1>0，則下列命題是真命題的是(

)A.p∨q

B．p∧qC.(?p)∨q D．(?p)∧(?q)

答案：A(2)[2022·內(nèi)蒙古包頭一模]設(shè)有下列四個命題：p1：空間共點的三條直線不一定在同一平面內(nèi)．p2：若兩平面有三個不共線的公共點，則這兩個平面重合．p3：若三個平面兩兩相交，則交線互相平行．p4：若直線a∥平面α，直線a⊥直線b，則直線b⊥平面α.則下述命題中所有真命題的序號是______．①p1∧p4

②p1∧p2③(?p2)∨p3

④(?p3)∨p4②④解析：如圖，ABCD-A1B1C1D1是正方體．對于p1，直線AD、DC、DD1共點D，此時三條直線不在同一平面內(nèi)，∴p1為真命題；對于p3，平面ABCD、A1ADD1和CDD1C1兩兩相交，但交線AD，DD1，DC不互相平行，∴p3為假命題；對于p4，設(shè)直線A1B1為直線a，平面ABCD為平面α，則a∥α，設(shè)直線B1C1為直線b，此時a⊥b，且b∥α，∴命題p4為假命題；對于p2，結(jié)合不共線的三點確定唯一的一個平面，若兩平面有三個不共線的公共點，則這兩個平面重合，∴p2為真命題．所以p1∧p4為假命題，①錯誤；p1∧p2為真命題，②正確；(?p2)∨p3為假命題，③錯誤；(?p3)∨p4為真命題，④正確．反思感悟

判斷含有邏輯聯(lián)結(jié)詞命題真假的步驟【對點訓(xùn)練】1．[2022·廣州市階段訓(xùn)練題]已知命題p：?x∈R，x2－x＋1<0；命題q：?x∈R，x2>2x.則下列命題中為真命題的是(

)A.p∧q

B．(?p)∧qC.p∧(?q) D．(?p)∧(?q)答案：B解析：當(dāng)x＝1時，x2－x＋1＝1>0，所以p為假命題，?p為真命題．當(dāng)x＝3時，x2>2x，所以q為真命題，?q為假命題．所以p∧q為假命題，(?p)∧q為真命題，p∧(?q)為假命題，(?p)∧(?q)為假命題．

答案：D

(－∞，－1)[2，＋∞)

一題多變1．(變條件)若本例(2)將條件“p或q為假命題”改為“p且q為真命題”，其他條件不變，則實數(shù)m的取值范圍為________．

(－2，0)

2．(變條件)若本例(2)將條件“p或q為假命題”改為“p且q為假，p或q為真”，其他條件不變，則實數(shù)m的取值范圍為______________．

反思感悟1．根據(jù)全(特)稱命題的真假求參數(shù)取值范圍的思路與全稱命題或特稱命題真假有關(guān)的參數(shù)取值范圍問題的本質(zhì)是恒成立問題或有解問題．解決此類問題時，一般先利用等價轉(zhuǎn)化思想將條件合理轉(zhuǎn)化，得到關(guān)于參數(shù)的方程或不等式(組)，再通過解方程或不等式(組)求出參數(shù)的值或范圍．2．根據(jù)含邏輯聯(lián)結(jié)詞命題的真假求參數(shù)的方法步驟(1)求出每個命題是真命題時參數(shù)的取值范圍；(2)根據(jù)題意確定每個命題的真假；(3)由各個命題的真假列關(guān)于參數(shù)的不等式(組)求解．【對點訓(xùn)練】1．[2022·河北張家口市模擬]已知命題p：?x∈(－1，3)，x2－a－2≤0.若p為假命題，則a的取值范圍為(

)A.(－∞，－2) B．(－∞，－1)C.(－∞，7) D．(－∞，0)答案：A解析：∵p為假命題，∴?p：?x∈(－1，3)，x2－a－2>0為真命題，故a<x2－2恒成立，∵y＝x2－2在x∈(－1，3)的最小值為－2,∴a<－2.

微專題正確地使用邏輯用語是現(xiàn)代社會公民應(yīng)具備的基本素質(zhì)，無論是進(jìn)行思考、交流，還是從事各項工作，都需要正確地運用邏輯用語在表述和論證中表達(dá)自己的思維．有趣的是，日常生活中的一句話或是一件事，常蘊含著邏輯學(xué)的知識．【案例】“便宜無好貨，好貨不便宜”是我們所熟知的一句諺語，在期待購得價廉物美的商品的同時，我們常常用這句話來提醒自己保持足夠的警惕，不要輕易上某些不良商家的當(dāng)．我們還可以運用邏輯學(xué)知識分析這句諺語里蘊含的邏輯關(guān)系．記p表示“便宜”，q表示“不是好貨”，那么按“便宜無好貨”的說法，p?q，即“便宜”(p)是“不是好貨”(q)的充分條件；其逆否命題為“?q??p”，即?q(“好貨”)是?p(“不便宜”)的充分條件，即“好貨不便宜”．由此可以看出，“便宜無好貨”與“好貨不便宜”是一對互為逆否關(guān)系的命題．非常有趣的是，上海市高考試題曾對此作過考查：錢大姐常說“便宜無好貨”，這句話的意思是：“不便宜”是“好貨”的(

)A．充分條件B．必要條件C．充分必要條件

D．既不充分又不必要條件正確選項已顯然．生活中，我們還常用“水滴石穿”、“有志者，事竟成”、“堅持就是勝利”等熟語來勉勵自己和他人保持信心、堅持不懈地努力．在這些熟語里，“水滴”是“石穿”的充分條件，“有志”是“事成”的充分條件，“堅持”是“勝利”的充分條件．這正是我們努力的信心之源，激勵著我們直面一切困難與挑戰(zhàn)，不斷取得進(jìn)步．?dāng)?shù)學(xué)是一門邏輯性非常強的學(xué)科，生活中的交流同樣需要講究邏輯．通過學(xué)習(xí)和使用常用邏輯用語，我們可以體會邏輯用語在表述和論證中的作用，從而在實際生活中逐步形成自覺利用邏輯知識對一些命題之間的邏輯關(guān)系進(jìn)行分析和推理的意識，能對一些邏輯推理中的錯誤進(jìn)行甄別和糾正，使我們對問題的表述更嚴(yán)密、貼切，增強我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、運用數(shù)學(xué)的信心和能力．第一節(jié)集合的概念與運算必備知識—基礎(chǔ)落實關(guān)鍵能力—考點突破微專題·最新考綱·1．了解集合的含義、元素與集合的屬于關(guān)系．2．能用自然語言、圖形語言、集合語言(列舉法或描述法)描述不同的具體問題．3．理解集合之間包含與相等的含義，能識別給定集合的子集．4．在具體情境中，了解全集與空集的含義．5．理解兩個集合的并集與交集的含義，會求兩個簡單集合的并集與交集．6．理解在給定集合中一個子集的補集的含義，會求給定子集的補集．7．能使用韋恩(Venn)圖表達(dá)集合的關(guān)系及運算．·考向預(yù)測·考情分析：集合的交、并、補運算及兩集合間的包含關(guān)系是考查的重點，在集合的運算中經(jīng)常與不等式、函數(shù)相結(jié)合，解題時常用到數(shù)軸和韋恩(Venn)圖，題型以選擇題為主．學(xué)科素養(yǎng)：通過集合間的基本關(guān)系和基本運算考查數(shù)學(xué)抽象及數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng)．必備知識—基礎(chǔ)落實一、必記3個知識點1．元素與集合(1)集合中元素的特性：________、________、無序性．(2)元素與集合的關(guān)系：若a屬于A，記作________，若b不屬于A，記作________．(3)集合的表示方法：________、

________、圖示法．(4)常見數(shù)集及其符號表示[注意]

N為自然數(shù)集(即非負(fù)整數(shù)集)，包含0，而N*和N＋的含義是一樣的，表示正整數(shù)集，不包含0.數(shù)集自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實數(shù)集符號________________________確定性互異性a∈Ab?A列舉法描述法NN*(或N＋)ZQR2．集合間的基本關(guān)系

自然語言符號語言Venn圖集合間的基本關(guān)系子集集合A中的任意一個元素都是集合B中的元素(若x∈A，則x∈B)________真子集集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一個元素不在集合A中________集合相等集合A，B中的元素相同或集合A，B互為子集________空集空集是________集合的子集?____A

空集是________集合的真子集?

B且B≠?A?B或B?AAB或BAA＝B任何?任何非空3．集合的基本運算運算自然語言符號語言Venn圖交集由屬于集合A且屬于集合B的所有元素組成的集合并集由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素組成的集合補集由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合?UA＝{x|x∈U且x?A}

×××√√×

答案：D

3．[必修1·P12A組T10改編]設(shè)全集為R，集合A＝{x|0<x<2}，B＝{x|x≥1}，則A∩(?RB)＝________．{x|0<x<1}解析：因為集合B＝{x|x≥1}，所以?RB＝{x|x<1}，所以A∩(?RB)＝{x|0<x<1}．

答案：C

答案：D

[3，＋∞)

答案：B

關(guān)鍵能力—考點突破考點一集合的基本概念[基礎(chǔ)性]1．[2022·重慶一診]已知集合A＝{x∈Z|x2＋2x－8<0}，B＝{x2|x∈A}，則B中元素個數(shù)為(

)A．4

B．5

C．6

D．7答案：A解析：A＝{x∈Z|x2＋2x－8<0}＝{x∈Z|－4<x<2}＝{－3，－2，－1，0，1}，B＝{x2|x∈A}＝{0，1，4，9}，故B中元素個數(shù)為4.2．已知集合A＝{x|x＝3k－1，k∈Z}，則下列表示正確的是(

)A．－1?A B．－11∈AC．3k2－1∈A D．－34?A答案：C

答案：D

4．[2022·江蘇天一中學(xué)模擬]設(shè)a，b∈R，集合P＝{x|(x－1)2·(x－a)＝0}，Q＝{x|(x＋1)(x－b)2＝0}，若P＝Q，則a－b＝(

)A．0 B．2C．－2 D．1答案：C

5．已知集合A＝{m＋2，2m2＋m}，若3∈A，則m的值為________．

反思感悟解決集合含義問題的關(guān)鍵有三點：一是確定構(gòu)成集合的元素；二是確定元素的限制條件；三是根據(jù)元素的特性(滿足的條件)構(gòu)造關(guān)系式解決相應(yīng)問題．[提醒]

含字母的集合問題，在求出字母的值后，需要驗證集合的元素是否滿足互異性．(如題5)[例1]

(1)[2022·大同市高三測試]已知集合A滿足{0，1}?A

{0，1，2，3}，則集合A的個數(shù)為(

)A．1

B．2

C．3

D．4(2)已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B?A，則實數(shù)m的取值范圍為________．C(－∞，3]

一題多變1．(變條件)在本例(2)中，若“B?A”變?yōu)椤癇

A”，則函數(shù)m的取值范圍為________．

(－∞，3]

2．(變條件)在本例(2)中，若“B?A”變?yōu)椤癆?B”，則實數(shù)m的取值范圍為________．?

反思感悟

(1)判斷兩集合關(guān)系的3種常用方法(2)根據(jù)兩集合的關(guān)系求參數(shù)的方法[提醒]

題目中若有條件B?A，則應(yīng)分B＝?和B≠?兩種情況進(jìn)行討論．

答案：B

答案：D

3．已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1≤x≤m＋1}，且B?A，則實數(shù)m的取值范圍是__________.[－1，＋∞)

答案：C

答案：C

(3)[2022·山西省六校高三測試]已知全集U＝R，集合A＝{x|x2－4<0，x∈Z}，集合B＝{x|x2－2x－3＝0}，則圖中陰影部分表示的集合是(

)A．{0，1，3}