------------------------------------------------------------------------四年級奧數(shù)第二講圖形的計數(shù)問題含答案第二講圖形的計數(shù)問題一、知識點：幾何圖形計數(shù)問題往往沒有顯而易見的順序，而且要數(shù)的對象通常是重疊交錯的，要準確計數(shù)就需要一些智慧了．實際上，圖形計數(shù)問題，通常采用一種簡單原始的計數(shù)方法－一枚舉法．具體而言，它是指把所要計數(shù)的對象一一列舉出來，以保證枚舉時無一重復、．無一遺漏，然后計算其總和．正確地解答較復雜的圖形個數(shù)問題，有助于培養(yǎng)同學們思維的有序性和良好的學習習慣．二、典例剖析：例（1）數(shù)出右圖中總共有多少個角分析：在∠AOB內(nèi)有三條角分線OC1、OC2、OC3，∠AOB被這三條角分線分成4個基本角，那么∠AOB內(nèi)總共有多少個角呢？首先有這4個基本角，其次是包含有2個基本角組成的角有3個（即∠AOC2、∠C1OC3、∠C2OB），然后是包含有3個基本角組成的角有2個（即∠AOC3、∠C1OB），最后是包含有4個基本角組成的角有1個（即∠AOB），所以∠AOB內(nèi)總共有角：4＋3＋2＋1＝10（個）解：4＋3＋2＋1＝10（個）答：圖中總共有10個角。練一練：數(shù)一數(shù)右圖中總共有多少個角？答案:總共有角：10+9+8+…+4+3+2+1=55（個）例（2）數(shù)一數(shù)共有多少條線段？共有多少個三角形？分析：①要數(shù)多少條線段：先看線段AB、AD、AE、AF、AC、上各有2個分點，各分成3條基本線段，再看BC、MN、GH這3條線段上各有3個分點，各分成4條基本線段.所以圖中總共有線段是：（3+2+1）×5+（4+3+2+1）×3=30+30=60（條）.②要數(shù)有多少個三角形，先看在△AGH中，在GH上有3個分點，分成基本小三角形有4個.所以在△AGH中共有三角形4+3+2+1=10（個）.在△AMN與△ABC中，三角形有同樣的個數(shù)，所以在△ABC中三角形個數(shù)總共：（4+3+2+1）×3=10×3=30（個）解：：①在△ABC中共有線段是：（3+2+1）×5+（4+3+2+1）×3=30+30=60（條）②在△ABC中共有三角形是：（4+3+2+1）×3=10×3=30（個）答：在△ABC中共有線段60條，共有三角形30個。練一練：共有多少個三角形？答案:18例（3）數(shù)一數(shù)圖中長方形的個數(shù)分析：AB邊上分成的線段有：5+4+3+2+1=15.BC邊上分成的線段有：3+2+1=6.解：共有長方形：（5+4+3+2+1）×（3+2+1）=15×6=90（個）答：共有長方形90個。練一練：數(shù)一數(shù)圖中長方形的個數(shù)答案:90例（4）數(shù)一數(shù)圖中有多少個正方形（其中每個小方格都是邊長為1個長度單位的正方形）.分析：為敘述方便，我們規(guī)定最小正方形的邊長為1個長度單位，又稱為基本線段，圖中共有五類正方形.①以一條基本線段為邊的正方形個數(shù)共有：6×5=30（個）.②以二條基本線段為邊的正方形個數(shù)共有：5×4=20（個）.③以三條基本線段為邊的正方形個數(shù)共有：4×3=12（個）.④以四條基本線段為邊的正方形個數(shù)共有：3×2=6（個）.⑤以五條基本線段為邊的正方形個數(shù)共有：2×1=2（個）.解：正方形總數(shù)為：6×5+5×4+4×3+3×2+2×1=30+20+12+6+2=70（個）答：練一練：下圖共有幾個正方形?答案:10例（5）數(shù)一數(shù)圖中三角形的個數(shù)分析：這樣的圖形只能分類數(shù)，可以采用類似數(shù)正方形的方法，從邊長為一條基本線段的最小三角形開始.Ⅰ.以一條基本線段為邊的三角形：①尖朝上的三角形共有四層，它們的總數(shù)為：W①上=1+2+3+4=10（個）.②尖朝下的三角形共有三層，它們的總數(shù)為：W①下=1+2+3=6（個）.Ⅱ.以兩條基本線段為邊的三角形：①尖朝上的三角形共有三層，它們的總數(shù)為：W②上=1+2+3=6（個）.②尖朝下的三角形只有一個，記為W②下=1（個）.Ⅲ.以三條基本線段為邊的三角形：①尖朝上的三角形共有二層，它們的總數(shù)為：W③上=1+2=3（個）.②尖朝下的三角形零個，記為W③下=0（個）.Ⅳ.以四條基本線段為邊的三角形，只有一個，記為：W④上=1（個）.解：所以三角形的總數(shù)是10+6+6+1+3+1=27（個）.答：三角形的總數(shù)是個。練一練：數(shù)一數(shù)圖中三角形的個數(shù)答案：24例（6）數(shù)一數(shù)圖中一共有多少個三角形？分析：分析這是個對稱圖形，我們可按如下三步順序來數(shù)：第一步：大矩形ABCD可分為四個相同的小矩形：AEOH、EBFO、OFCG、HOGD，每個小矩形內(nèi)所包含的三角形個數(shù)是相同的.第二步：每兩個小矩形組合成的圖形共有四個，如：ABFH、EBCG、HFCD、AEGD，每一個這樣的圖形中所包含的三角形個數(shù)是相同的.第三步：每三個小矩形占據(jù)的部分圖形共有四個：如△ABD、△ADC、△ABC、△DBC，每一個這樣的圖形中所包含的三角形個數(shù)是相同的.最后把每一步中每個圖形所包含三角形個數(shù)求出相加再乘以4就是整個圖形中所包含的三角形的個數(shù).解：：Ⅰ.在小矩形AEOH中：①由一個三角形構(gòu)成的有8個.②由兩個三角形構(gòu)成的三角形有5個.③由三個或三個以上三角形構(gòu)成的三角形有5個.這樣在一個小矩形內(nèi)有17個三角形.Ⅱ.在由兩個小矩形組合成的圖形中，如矩形AEGD，共有5個三角形.Ⅲ.由三個小矩形占據(jù)的部分圖形中，如△ABC，共有2個三角形.所以整個圖形共有三角形個數(shù)是：（8+5+5+5+2）×=25×4=100（個）答：圖中一共有100個三角形。練一練：數(shù)一數(shù)圖中一共有多答案：35個模擬測試（2）一、填空題（每小題5分）1、.下列圖形各有幾條線段()條()條()條2、一條直線上共有50個點,可以數(shù)出()條線段.3、數(shù)一數(shù)下圖共有()條線段.()條.()條.4、下圖中各有（）個三角形.5、數(shù)一數(shù)下圖有（）個長方形.6、右圖一共有()個長方形?7、右圖一共有()個正方形？8、下圖共有()個平行四邊形.9、一共有()個梯形.10、下圖共有()個三角形.二、簡答題(每小題10分)1、右圖的圖形中一共有多少個三角形?2、下圖共有幾個正方形?3、下圖共有多少個長方形?4、下圖中一共有多少個三角形?5、下圖共有幾個三角形?.模擬測試（2）解答一、填空題1、有10條,有15條,有21條.2、50492=1225(條).3、36;27.4.33;5、30個.圖中邊上共有線段4+3+2+1=10條.邊上共有線段:2+1=3(條),把上的每一條線段作為長,邊上每一條線段作為寬,每一個長配一個寬,就組成一個長方形,所以圖中共有長方形為:(4+3+2+1)(2+1)=103=30(個).6、一共有64個.7、一共有18個.解:分三類計算,邊長是1的正方形有2+4=13(個),邊長為2的正方形有4(個),邊長為3的正方形有1個.因此,圖中共有正方形13+4+1=18(個).8、315個(個)9、45個最好的辦法是先數(shù)出長方形和梯形的總數(shù),再減去長方形的個數(shù).長方形和梯形的總數(shù)為:(1+2+3+4+5+6)×(1+2)=63(個)長方形的個數(shù)為:(1+2+3)×(1+2)=18(個)梯形的總數(shù)為:63-18=45(個)10、126個Ⅰ.尖朝上的三角形有五種:(1)W①上=8+7+6+5+4=30(2)W②上=7+6+5+4=22(3)W③上=6+5+4=15(4)W④上=5+4=9(5)W⑤上=4∴尖朝上的三角形共有:30+22+15+9+4=80(個)Ⅱ.尖朝下的三角形有四種:(1)W①下=3+4+5+6+7=25(2)W②下=2+3+4+5=14(3)W③下=1+2+3=6(4)W④下=1尖朝下的三角形共有25+14+6+1=46(個)∴80+46=126個.二、簡答題1、解：①單個三角形有6個.②兩個圖形組成的有4個.③三個圖形組成的有1個.④四個圖形組成的有2個.⑤八個圖形組成的有1個.答：一共有:6+4+1+2+1=14個.2、解：一共有正方形52+42+32+22+12=25+16+9+4+1=55(個).答：一共有正方形55個。3、解：①在大長方形中共有長方形:(4+3+2+1)×(3+2+1)=60(個);②在小長方形中共有長方形:(4+3+2+1)×(3+2+1)=60(個);③在①與②中重復的長方形有:1+2=3(個);④兩個長方形共同組成的長方形有:(1+2)×(2+2)+1×(2+2)=16(個).⑤圖中共有長方形:60+60-3+16=133(個).答：共有長方形有133個。4、解：①基本的三角形有:4×9=36(個).②由兩個基本的三角形組成的三角形有:4×9=36(個).③由四個基本的三角形組成的三角形:4×3×2=24(個).④由九個基本的三角形組成的三角