第=page11頁，共=sectionpages11頁2022-2023學(xué)年福建省泉州市高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）1.已知直線l：y=?3x，則直線A.30° B.60° C.120°2.已知點P為橢圓x24+y22=1上的一點，F(xiàn)1A.12 B.22 C.13.已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列，若a2a6A.14 B.12 C.2 4.三棱錐O?ABC中，D為BC的中點，E為AD的中點，若A.?12a?12b+c5.已知O(0,0,0)，B(2,A.263 B.2336.已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a>0,bA.233 B.2 C.7.數(shù)列{an}滿足a1=4，an+1=A.(?∞,?9) B.(8.已知平面內(nèi)兩個定點A，B及動點P，若|PB||PA|=λ(λ>0且λ≠1)，則點P的軌跡是圓.后世把這種圓稱為阿波羅尼斯圓.已知O(0,0)，A.33 B.6?32二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項符合題目要求）9.記Sn是數(shù)列{an}的前n項和，且aA.數(shù)列{an}是等差數(shù)列 B.數(shù)列{Sn}是遞減數(shù)列

C.S4=10.已知點P為圓O：x2+y2=9上的動點，直線l過點A(?6,0)，B(0,?6)A.當(dāng)∠PAB最大時，|PA|=32

B.點P到l的距離的最大值為32+311.已知橢圓E：x22+y2=1的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過下頂點A和右焦點F2的直線與EA.AF1⊥AF2 B.|BF12.正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為2A.三棱錐P?A1BC1的體積為定值

B.若DP=322，則P三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）13.已知空間向量a=(1,?2,x)14.若圓M的圓心在直線y=x上，且與兩坐標(biāo)軸都相切，則圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程可以為______.(寫出滿足條件的一個答案即可15.已知P是圓C：(x?1)2+y2=16上任一點，A(?1,0)，線段16.對于數(shù)列{an}，記：△n(1)=an+1an，△n(2)=△n+1(1)△n(1)，△n(3)=Δn+四、解答題（本大題共6小題，共72.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.(本小題12.0分)

已知拋物線C：y2=2px(p>0)經(jīng)過點A(2,t)(t>0)，焦點為F，且|A18.(本小題12.0分)

設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知a4=4，S5=3a2+9．

(1)19.(本小題12.0分)

四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為菱形，∠BAD=60°，∠BDP=∠CDP．20.(本小題12.0分)

設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項和，anan+1=2Sn?3，a1=1，an≠0，令bn=21.(本小題12.0分)

如圖，圓臺O1O2的軸截面為等腰梯形A1ACC1，AC=2AA1=2A1C1=4，B為底面圓周上異于A，C的點．

(1)在平面BCC122.(本小題12.0分)

圓錐曲線的弦與過弦的端點的兩條切線所圍成的三角形叫做阿基米德三角形.在一次以“圓錐曲線的阿基米德三角形”為主題的數(shù)學(xué)探究活動中，甲同學(xué)以如圖示的拋物線C：y2=2px(p>0)的阿基米德三角形PAB為例，經(jīng)探究發(fā)現(xiàn)：若AB為過焦點的弦，則：①點P在定直線上；②PF⊥AB；③PA⊥PB.已知△PAB為等軸雙曲線Γ：x2?y2=λ(λ>0

答案和解析1.【答案】C

【解析】解：設(shè)直線l的傾斜角為θ，θ∈[0°,180°)．

則tanθ=?3，

∴θ=1202.【答案】C

【解析】解：因為點P為橢圓x24+y22=1上的一點，所以|PF1|+|PF3.【答案】B

【解析】解：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，由a2a6=2a1a8，得a1q?a1q5=4.【答案】D

【解析】解：三棱錐O?ABC中，D為BC的中點，E為AD的中點，且OA=a,OB=b,OC5.【答案】A

【解析】解：由O(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,2)，

可得OB=(2,0,0),BC=(?2,6.【答案】C

【解析】解：設(shè)雙曲線C的半焦距為c，直線OM的方程為y=bax，有tan∠MOA=ba，如圖

即有sin∠MOA=bacos∠MOA，而sin2∠MOA+cos2∠MOA=1，解得cos∠MOA=a7.【答案】B

【解析】解：∵數(shù)列{an}滿足an+1=3an?2，則an+1?1=3(an?1)，且a1?1=3，

∴數(shù)列{an?1}是以3為首項，3為公比的等比數(shù)列，則an?1=3×38.【答案】A

【解析】解：由已知l1：kx?y+2k+3=0過定點C(?2,3)，l2：x+ky+3k+2=0過定點D(?2,?3)，

因為kl1=k，kl2=?1k，所以kl1?kl2=?1，即l1⊥l2，

所以點P的軌跡是以CD為直徑的圓，除去D點，故圓心為(?2,0)，半徑為3，

則P的軌跡方程為(x+9.【答案】AC【解析】解：∵an+1?an=11?2(n+1)?(11?2n)=?2，

∴數(shù)列{an}是等差數(shù)列，故A正確；

Sn=n(a1+an)2=10.【答案】BC【解析】解：對于A，如圖1，

當(dāng)PA與圓O：x2+y2=9相切時，∠PAB最大，

設(shè)圓O半徑為r，OP⊥PA，|OA|=6，|OP|=r=3，|PA|=|OA|2?|OP|2=33，故A錯誤；

對于B，由已知直線l的方程為x+y+6=0，當(dāng)點P到l的距離最大時，最大距離為圓心O到直線l的距離加上半徑，即為d+r=62+3=32+3，故B正確；

對于C，如圖2，QC，QD是圓O的切線，則OC⊥CQ，OD⊥DQ，

四邊形CQDO的面積S=12|OC||11.【答案】AB【解析】解：依題意，F(xiàn)1(?1,0)，F(xiàn)2(1,0)，下頂點A(0,?1)，如圖，

對于A，|OF1|=|OF2|=|OA|，因此AF1⊥AF2，A正確；

對于B，直線AF2：y=x?1，由y=x?1x2+2y2=2消去y得：3x2?12.【答案】AB【解析】解：點O為正方體ABCD?A1B1C1D1的中心，連接BD，AC，

過AB的中點H作HI//AC交BC于I，則I為BC的中點，如圖，

∵BB1⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，

∴BB1⊥AC，又BD⊥AC，BD∩BB1=B，且BD，BB1?平面BB1D，

∴AC⊥平面BB1D，又DB1?平面BB1D，

∴AC⊥DB1，連接A1B，BC1，A1C1，

同理A1B⊥DB1，BC1⊥DB1，又A1B∩BC1=B，且A1B，BC1?平面A1BC1，

∴DB1⊥平面A1BC1，

設(shè)點P的軌跡所在平面與正方體ABCD?A1B1C1D1的棱所在直線交于點分別為H，I，J，K，L，M，

∴平面HIJKLM∩平面ABCD=HI，平面HIJKLM∩平面A1B1C1D1=KL，

又平面ABCD//平面A1B1C1D1，

∴KL//HI，同理IJ//LM，HM//JK，

∵DB1⊥平面HIJKLM，∴平面A1BC1//平面HIJ13.【答案】1

【解析】解：空間向量a=(1,?2,x),b=(3x,2,1)，

14.【答案】(x?1【解析】解：因為圓M的圓心在直線y=x上，

所以可設(shè)圓心坐標(biāo)為(a,a)，

又因為與兩坐標(biāo)軸都相切，

所以圓的半徑為|a|，即圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x?a)2+(y?a)215.【答案】x2【解析】解：圓C：(x?1)2+y2=16的圓心C(1,0)，半徑r=4，點Q在線段PA的中垂線l上，如圖，

有|QP|=|QA|，則|QA|+|16.【答案】23

【解析】解：根據(jù)題意可得Δn(2)=Δn+1(1)Δn(1)=q，(q≠0)，

又Δ1(1)=a2a1=210，Δ2(1)=a3a2=29，

∴q=Δ2(1)Δ1(117.【答案】解：(1)因為拋物線C：y2=2px(p>0)的焦點為F，準(zhǔn)線為x=?p2，

點A(2,t)是拋物線C上一點，且|AF|=52，

所以由拋物線定義得2?(?p2)=52，解得p=1，

因此拋物線C的方程為y2=【解析】(1)由拋物線定義得2?(?p2)=52，解得p18.【答案】解：(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，

∵a4=4，S5=3a2+9，

∴a1+3d=45a1+10d【解析】(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由題意得a1+3d=45a19.【答案】解：(1)證明：四邊形ABCD為菱形，∠BAD=60°，

∴△BDC為正三角形，即BD=CD，

在△PDB與△PDC中，∠BDP=∠CDP，而PD為公共邊，

∴△PDB≌△PDC，∴PB=PC，

取BC的中點O，如圖，連接PO，DO，則有PO⊥BC，DO⊥BC，

又PO∩DO=O，PO，DO?平面POD，

∴BC⊥平面POD，又DP?平面POD，

∴DP⊥BC；

(2)由(1)知，OD⊥BC，OP⊥BC，

∵平面PBC⊥【解析】(1)根據(jù)給定條件，利用三角形全等證明PB=PC，再取BC20.【答案】解：(1)∵anan+1=2Sn?3①，

∴當(dāng)n≥2時，an?1an=2Sn?1?3，

由①?②得anan+1?an?1an=2Sn?3?(2Sn?1?3)=2an，

又an【解析】(1)利用an和Sn的關(guān)系，可得an+121.【答案】解：(1)取BC中點P，作直線C1P，則直線C1P即為所求，

取AB中點H，連接A1H，PH，則有PH//AC，PH=12AC，如圖，

在等腰梯形A1ACC1中，A1C1=12AC，

∴HP//A1C1，HP=A1C1，

∴四邊形A1C1PH為平行四邊形，

∴C1P//A1H，又A1H?平面A1AB，C1P?平面A1AB，

∴C1P//平面A1AB；

(2)延長AA1，CC1交于點O，作直線BO，則直線BO即為直線l，如圖，

過點B作BO′⊥AC于O′，∵平面A1ACC1⊥平面ABC，平面A1ACC1∩平面ABC=AC，BO′?平面ABC，

∴BO′⊥平面A1ACC1，即BO′為四棱錐B?A1A【解析】(1)取BC中點P，作直線C1P，再利用線面平行的判定推理作答．

(2)延長AA1，CC22.【答案】解：(1)選①，設(shè)點A(x1,y1)，B(x0,y0)，P(x0,y0)，雙曲線Γ的焦點F(2λ,0)，

依題意，過點A的切線方程為x1x?y1y=λ，過點B的切線方程為x2x?y2y=λ，

而兩切線交于點P(x0,y0)，于是x1x0?y1y0=λ，且x2x0?y2y0=λ，

因此(x1,y1)，(x2,y2)是方程x0x?y0y=λ的兩組實數(shù)解，即點A(x1,y1)，B(x2,y2)在直線x0x?y0y=λ上，

則直線AB的方程為x0x?y0y=λ，又直線AB過點F(2λ,0)，則2λx0=λ，解得x0=2λ2，

所以點P在定直