頻域分析信號的正交分解第1頁，共49頁，2023年，2月20日，星期四第2頁，共49頁，2023年，2月20日，星期四0.0信號的正交分解0.0.1矢量的正交分解1.正交矢量

圖0.0-1兩個矢量正交兩矢量V1與V2正交時的夾角為90°，不難得到兩正交矢量的點積為零，即第3頁，共49頁，2023年，2月20日，星期四圖0.0-2矢量的近似表示及誤差

2.非正交矢量的近似表示及誤差

用與V2成比例的矢量c12V2近似地表示V1，則誤差矢量顯然，當(dāng)兩矢量V1與V2正交時，c12=0，即V1·V2=0。

oV2V1qVec12V2V2第4頁，共49頁，2023年，2月20日，星期四3.矢量的分解圖3.0-3平面矢量的分解圖3.0-4三維空間矢量的分解

第5頁，共49頁，2023年，2月20日，星期四

上述矢量分解的概念可以推廣到n維空間。由n個相互正交的矢量組成一個n維的矢量空間，而正交矢量集{V1,V2,…，Vn}為n維空間的完備正交矢量集。n維空間的任一矢量V，可以精確地表示為這n個正交矢量的線性組合，即式中，Vi·Vj=0(i≠j)，顯然第r個分量的系數(shù)第6頁，共49頁，2023年，2月20日，星期四0.0.2信號的正交分解

1.正交函數(shù)

設(shè)f

(t)和g(t)為定義在(t1,t2)區(qū)間上的兩個函數(shù)，現(xiàn)在要用與g(t)成比例的一個函數(shù)cg(t)近似地表達(dá)f(t)，其誤差函數(shù)為設(shè)f(t)、g(t)均為復(fù)函數(shù)，此時，c可以為實系數(shù)，也可能為復(fù)系數(shù),下面的式中，右上標(biāo)出現(xiàn)“*”則代表取共軛復(fù)數(shù)定義在(t1，t2)區(qū)間的兩個函數(shù)f(t)和g(t),若滿足

則稱f(t)和g(t)在區(qū)間(t1，t2)內(nèi)正交

第7頁，共49頁，2023年，2月20日，星期四(1).實域正交分解如何選擇系數(shù)c使f(t)與近似函數(shù)之間誤差在區(qū)間(t1，t2)內(nèi)為最小?通常使誤差最小,即顯然，如果f(t)與g(t)正交應(yīng)有c=0,因此正交的條件為：第8頁，共49頁，2023年，2月20日，星期四(2).復(fù)域正交分解第9頁，共49頁，2023年，2月20日，星期四上式中，據(jù)平方誤差的定義知Ee≥0，式中惟一可供選擇的參數(shù)為c。為使Ee最小，只有選擇c=B，于是有顯然，如果f(t)與g(t)正交應(yīng)有c=0,因此正交的條件為：第10頁，共49頁，2023年，2月20日，星期四2.信號的正交展開

設(shè)有一函數(shù)集｛g1(t),g2(t)，…，gN(t)｝，它們定義在區(qū)間(t1,t2)上，如果對于所有的i、j(可取1,2,…，N)都有則該函數(shù)集就稱為區(qū)間(t1,t2)上的正交函數(shù)集。如果則稱該函數(shù)集為歸一化正交函數(shù)集。第11頁，共49頁，2023年，2月20日，星期四如果在正交函數(shù)集{g1(t)，g

2(t)，…，g

n(t)}之外，不存在函數(shù)g(t)(≠0）滿足則稱此函數(shù)集為完備正交函數(shù)集。(i=1，2，…，n)三角函數(shù)集{1，cos(nΩt)，sin(nΩt)，n=1,2,…}和虛指數(shù)函數(shù)集{ejnΩt，n=0，±1，±2，…}是兩組典型的在區(qū)間(t0，t0+T)(T=2π/Ω)上的完備正交函數(shù)集。第12頁，共49頁，2023年，2月20日，星期四（1）.實域信號的正交展開

用一個在區(qū)間(t1,t2)上的正交函數(shù)集｛gi(t)｝中各函數(shù)的線性組合來逼近定義在(t1,t2)區(qū)間上的信號f(t)，即如何選擇系數(shù)使f(t)與近似函數(shù)之間誤差在區(qū)間(t1，t2)內(nèi)為最小?通常使誤差最小,即第13頁，共49頁，2023年，2月20日，星期四第14頁，共49頁，2023年，2月20日，星期四

用一個在區(qū)間(t1,t2)上的正交函數(shù)集｛gi(t)｝中各函數(shù)的線性組合就可逼近定義在(t1,t2)區(qū)間上的信號f(t)，即這種近似表示所產(chǎn)生的平方誤差為：

2.復(fù)域信號的正交展開

第15頁，共49頁，2023年，2月20日，星期四第16頁，共49頁，2023年，2月20日，星期四第17頁，共49頁，2023年，2月20日，星期四同樣可以導(dǎo)出，欲使平方誤差最小，其第r個函數(shù)gr(t)的加權(quán)系數(shù)cr應(yīng)按下式選?。?/p>

此時的平方誤差為

(0.1-1)(0.1-2)第18頁，共49頁，2023年，2月20日，星期四

定理0.0-1設(shè)｛gr(t)｝在(t1,t2)區(qū)間上是關(guān)于某一類信號f(t)的完備的正交函數(shù)集，則這一類信號中的任何一個信號f(t)都可以精確地表示為｛gi(t)｝的線性組合，即式中，cr為加權(quán)系數(shù)，且有

式(0.1-3)稱為正交展開式，有時也稱為廣義傅里葉級數(shù)，ci稱為傅里葉系數(shù)。(0.1-3)(0.1-4)第19頁，共49頁，2023年，2月20日，星期四

定理0.0-2在式(0.1-3)條件下，平方誤差Ee=0，由(0.1-2)式有式(0.1-5)可以理解為：f(t)的能量等于在完備正交函數(shù)集中分解的各個分量的能量之和，即能量守恒定理,有時也稱帕塞瓦爾定理。(0.1-5)在用正交函數(shù)去近似f(t)時，所取得項數(shù)越多，即n越大，則誤差越小,當(dāng)n→∞時（為完備正交函數(shù)集）誤差為零。第20頁，共49頁，2023年，2月20日，星期四積化和差公式

和差化積公式

第21頁，共49頁，2023年，2月20日，星期四0.1周期信號的連續(xù)時間傅里葉級數(shù)

0.1.1三角形式的傅里葉級數(shù)

三角函數(shù)集｛cosnΩt,sinnΩt|n=0,1,2,…｝是一個正交函數(shù)集，正交區(qū)間為(t0,t0+T)。這里T=2π/Ω是各個函數(shù)cosnΩt，sinnΩt的周期。三角函數(shù)集正交性的證明可利用如下公式：第22頁，共49頁，2023年，2月20日，星期四上述正交三角函數(shù)集中，當(dāng)n=0時，cos0°=1,sin0°=0，而0不計在正交函數(shù)集中，故正交三角函數(shù)集可具體寫為

式中，Ω=2π/T稱為基波角頻率，a0，an和bn為加權(quán)系數(shù)。由于f(t)為周期信號，且其周期T與三角函數(shù)集中各函數(shù)的周期T相同，故上述展開式在(-∞,∞)區(qū)間也是成立的。

第23頁，共49頁，2023年，2月20日，星期四可得加權(quán)系數(shù)：

第24頁，共49頁，2023年，2月20日，星期四an=Ancosn，bn=–Ansinn，n=1,2,3,…第25頁，共49頁，2023年，2月20日，星期四上式表明，時域周期信號可分解為直流和簡單正余弦分量的線性組合，利用傅里葉級數(shù)的變換，可以把復(fù)雜的問題分解成為簡單問題進(jìn)行分析處理

。這里，

A0為直流分量；A1cos(t+1)稱為基波或一次諧波，它的角頻率與原周期信號相同；A2cos(2t+2)稱為二次諧波，它的頻率是基波的2倍；Ancos(nt+n)稱為n次諧波。第26頁，共49頁，2023年，2月20日，星期四0.2指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)式中，T=2π/Ω為指數(shù)函數(shù)公共周期，m、n為整數(shù)。任意函數(shù)f(t)可在區(qū)間(t0,t0+T)內(nèi)用此函數(shù)集表示為第27頁，共49頁，2023年，2月20日，星期四表明：任意周期信號f(t)可分解為許多不同頻率的虛指數(shù)信號之和，F(xiàn)0=A0為直流分量。第28頁，共49頁，2023年，2月20日，星期四第29頁，共49頁，2023年，2月20日，星期四另一證法：第30頁，共49頁，2023年，2月20日，星期四第31頁，共49頁，2023年，2月20日，星期四0.3周期信號的頻譜總結(jié)：以正余弦信號和虛指數(shù)信號為基本信號，任意輸入信號可分解為一系列不同頻率的正余弦信號或虛指數(shù)信號之和。第32頁，共49頁，2023年，2月20日，星期四周期信號的頻譜是指周期信號中各次諧波幅值、相位隨頻率的變化關(guān)系，即將An~ω(n)和n~ω(n)的關(guān)系分別畫在以ω(n)為橫軸的平面上得到的兩個圖，分別稱為振幅頻譜圖和相位頻譜圖，因為n≥0，所以稱這種頻譜為單邊譜。也可畫|Fn|~ω(n)和n~ω(n)的關(guān)系，稱為雙邊譜。若Fn為實數(shù)，也可直接畫Fn，負(fù)頻率無實際意義。許多場合，周期信號的頻譜比時域表達(dá)更能反映信號的本質(zhì)特征。（周期信號對應(yīng)離散頻譜，Ω周期大小決定頻譜的離散間隔）例子：周期矩形脈沖信號f(t)t0/2/2TTT/2E第33頁，共49頁，2023年，2月20日，星期四（1）三角形式的傅里葉級數(shù)第34頁，共49頁，2023年，2月20日，星期四(2)指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)4/

Ann0

22/nn0

2

第35頁，共49頁，2023年，2月20日，星期四4/

|Fn|n

2

-4/02

2/-2/n

n0

2

2/

Fnn

2

4/02

4/-2/第36頁，共49頁，2023年，2月20日，星期四

取樣函數(shù)定義:是偶函數(shù)，且x→0時，Sa(x)=1；當(dāng)x=kπ時，Sa(kπ)=0。第37頁，共49頁，2023年，2月20日，星期四周期信號頻譜特點：(1)離散性，頻譜由不連續(xù)的譜線組成(2)諧波性，頻譜線只出現(xiàn)在基波頻率Ω的整數(shù)倍頻率上(3)收斂性，此頻譜的各次諧波分量的振幅雖然隨nΩ的變化有起伏變化，總的趨勢是隨著nΩ的增大而逐漸減小。當(dāng)nΩ→∞時，|Fn|→0。第38頁，共49頁，2023年，2月20日，星期四Fnn0

2/4/Fnn0

2/f(t)t0TEt0Tf(t)Et0Tf(t)EFnn0

2/4/第39頁，共49頁，2023年，2月20日，星期四0.3非周期信號的連續(xù)時間傅里葉變換

非周期信號f(t)可看成是周期T→∞時的周期信號，當(dāng)周期T趨近于無窮大時，譜線間隔趨近于無窮小量dω

，而離散頻率nΩ變成連續(xù)頻率ω

。各頻率分量的幅度Fn也趨近于無窮小，但

可望趨于有限值，且為一個連續(xù)函數(shù)。為了描述非周期信號的頻譜特性，引入頻譜密度的概念。令(單位頻率上的頻譜）稱F(jω)為頻譜密度函數(shù)。第40頁，共49頁，2023年，2月20日，星期四傅立葉變換傅立葉逆變換F(j)=F[f

(t)]稱頻譜函數(shù)

f

(t)

=[F(j)]稱為原函數(shù)第41頁，共49頁，2023年，2月20日，星期四F變換對常用函數(shù)的傅里葉變換單邊指數(shù)函數(shù)f(t)=e–tε(t)，>0實數(shù)2.雙邊指數(shù)函數(shù)f(t)=e–t,

>0wF(jw)oa2

第42頁，共49頁，2023