------------------------------------初中數(shù)學學科網(wǎng)（）------------------------------------初中數(shù)學學科網(wǎng)（）全國初中數(shù)學競賽輔導(初2)第07講根式及其運算第七講根式及其運算二次根式的概念、性質(zhì)以及運算法則是根式運算的基礎(chǔ)，在進行根式運算時，往往用到絕對值、整式、分式、因式分解，以及配方法、換元法、待定系數(shù)法等有關(guān)知識與解題方法，也就是說，根式的運算，可以培養(yǎng)同學們綜合運用各種知識和方法的能力．下面先復習有關(guān)基礎(chǔ)知識，然后進行例題分析．二次根式的性質(zhì)：二次根式的運算法則：設(shè)a，b，c，d，m是有理數(shù)，且m不是完全平方數(shù)，則當且僅當兩個含有二次根式的代數(shù)式相乘時，如果它們的積不含有二次根式，則這兩個代數(shù)式互為有理化因式．例1化簡：法是配方去掉根號，所以因為x-2＜0，1-x＜0，所以原式=2-x+x-1=1．＝a-b-a+b-a+b=b-a．說明若根式中的字母給出了取值范圍，則應(yīng)在這個范圍內(nèi)進行化簡；若沒有給出取值范圍，則應(yīng)在字母允許取值的范圍內(nèi)進行化簡．例2化簡：分析兩個題分母均含有根式，若按照通常的做法是先分母有理化，這樣計算化簡較繁．我們可以先將分母因式分解后，再化簡．解法1配方法．配方法是要設(shè)法找到兩個正數(shù)x，y(x＞y)，使x+y=a，xy=b，則解法2待定系數(shù)法．例4化簡：(2)這是多重復合二次根式，可從里往外逐步化簡．分析被開方數(shù)中含有三個不同的根式，且系數(shù)都是2，可以看成解設(shè)兩邊平方得②×③×④得(xyz)2=5×7×35=352．因為x，y，z均非負，所以xyz≥0，所以xyz=35．⑤⑤÷②，有z=7．同理有x=5，y=1．所求x，y，z顯然滿足①，所以解設(shè)原式=x，則解法1利用(a＋b)3＝a3＋b3＋3ab(a＋b)來解．將方程左端因式分解有(x-4)(x2＋4x＋10)＝0．因為x2＋4x＋10＝(x＋2)2＋6＞0，所以x-4＝0，x＝4．所以原式＝4．解法2說明解法2看似簡單，但對于三次根號下的拼湊是很難的，因此本題解法1是一般常用的解法．例8化簡：解(1)本小題也可用換元法來化簡．解用換元法．解直接代入較繁，觀察x，y的特征有所以3x2-5xy＋3y2＝3x2＋6xy＋3y2-11xy＝3(x＋y)2-11xy＝3×102-11×1＝289．例11求分析本題的關(guān)鍵在于將根號里的乘積化簡，不可一味蠻算．解設(shè)根號內(nèi)的式子為A，注意到1＝(2-1)，及平方差公式(a＋b)(a-b)＝a2-b2，所以A＝(2-1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)…(2256＋1)＋1＝(22-1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)…(2256＋1)＋1＝(24-1)(24＋1)(28＋1)(216＋1)…(2256＋1)＋1＝…＝(2256-1)(2256＋1)＋1＝22×256-1＋1＝22×256，的值．分析與解先計算幾層，看一看有無規(guī)律可循．解用構(gòu)造方程的方法來解．設(shè)原式為x，利用根號的層數(shù)是無限的特點，有兩邊平方得兩邊再平方得x4-4x2＋4＝2＋x，所以x4-4x2-x＋2＝0．觀察發(fā)現(xiàn)，當x＝-1，2時，方程成立．因此，方程左端必有因式(x＋1)(x-2)，將方程左端因式分解，有(x＋